D Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica)

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1 COGNOME NOME Matr. D Firma dello studente Tempo: ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni è corretta. Indicatela con una croce. È consentita una sola correzione per ogni domanda; per annullare una risposta ritenuta errata racchiuderla in un cerchio. Non si richiede la giustificazione della risposta data. Risposta esatta:.5 punti; risposta sbagliata: punti; risposta non data: 0 punti. Test : Sia z = i. Allora esprimere in forma algebrica il seguente numero complesso ( z) + iz + z + z i (A) 7 + i (B) i (C) + i (D) 7 i Test : log log x dx = x (il logaritmo si intende in base e) (A) log (log x) + C (B) log(log(log x)) + C (C) log x(log log x) log x + C (D) log log x + C Test : Sia x 0 il punto di massimo per la funzione sull intervallo [0, e ] e y 0 = f(x 0 ). Allora x 0 vale? (A) (B) / (C) /4 (D) f(x) = arctan x log( + x) Test 4: Il polinomio di Mac Laurin di ordine 4 della funzione (sin(x)) 4 log( + x ) vale? (A) 5x + 9x 4 (B) 5x 5x 4 (C) x 5x 4 (D) x + 9x 4 vale? Test 5: Il ite n + n n + π + sin(n + ) + n + n π n (A) 0 (B) (C) (D) + Test 6: Sia data la funzione Allora f (π/6) =? f(x) = log( + cos (x)) + e x4 (A) 6 (B) + e (π/6)4 (C) (D) 0

2 Soluzione dei test: Test : Si ha z = i z = + i ( z) = + 4i 4 = + 4i iz = i( i) = i + ( z) + iz + z + z i = + 4i + i + + i + 5i = + 5i i + i i = 6i + 5i + 5 = 7 i quindi la risposta corretta è la (D). Test : Proviamo ad operare la seguente sostituzione log x = t x = e t dx = e t dt x log(log x) dx = e t log t et dt = log t dt = t log t t + C = (log x)(log(log x)) log x + C quindi la risposta corretta è la (C) (N.B. è chiaro che derivando le quattro espressioni delle risposte si ottiene sicuramente quella che è la classe di primitive richieste). Test : La funzione data è continua e derivabile su R + con derivata f (x) = x( + x) + x = x ( + x) x che si annulla per x = /4. Valutando il segno della derivata prima si ottiene che la funzione prima cresce e poi decresce, perciò x 0 = /4 è il punto di massimo nell intervallo richiesto. Quindi siccome viene richiesto il valore x 0 si ha che la risposta corretta è la (B). Test 4: Usando gli sviluppi di Mac Laurin delle funzioni seno e logaritmo si ha che (sin(x)) = (x (x) 6 + o(x )) = 9x 7x 4 + o(x 4 ) mentre log( + x ) = x x4 + o(x4 ) (sin(x)) 4 log( + x ) = 9x 7x 4 4x + x 4 + o(x 4 ) = 5x 5x 4 + o(x 4 ) La risposta corretta è pertanto la (B). Test 5: Supponendo che non ci siano forme di indecisione, svolgiamo i tre iti separatamente. Dalla gerarchia degli infiniti si ha invece dal teorema del confronto si ha Infine perché n n + Quindi la risposta corretta è la (B). Test 6: n + n n + π = sin(n + ) = 0. n + n π + n = ( + /n n n ) = exp ( n n log ( + n )) = log ( + ) = log. n + n

3 Applicando la formula della derivata del quoziente di funzioni e della derivata della funzione composta si ha che f (x) = ( +cos (x) cos(x)( sin(x))) ( + ex4 ) 4x (e x4 ) log( + cos (x)) ( + e x4 ) in modo evidente si ottiene f (π/6) = 0, quindi la risposta corretta è la (D).

4 Esercizio (4 punti) Si calcoli + (cos(x) ) 0 e x log( + t ) dt Primo modo: Proviamo a calcolare la primitiva della funzione log( + t ). Integrando per parti si ha A questo punto 0 e x + t dt = log( + t ) dt = t log( + t ) + t dt + t + t dt = t log( + t ) t + + t dt t + t t + dt = log + t t + t t dt + (t /) + /4 dt = log + t log + t t + arctan ( t ) + C log( + t ) dt = (e x ) log( + (e x ) ) (e x ) + log( + (e x )) log( + (ex ) (e x )) + arctan ( (e x ) ) + arctan(/ ). Analizziamo i vari termini separatamente attraverso gli sviluppi di Mac Laurin. Possiamo considerare come se avessimo x al posto di e x (andrebbe dimostrato rigorosamente!). Quindi è come se dovessimo lavorare con x log( + (x) ) 6x + log( + x) log( + 4x x) + arctan ( x ) + arctan(/ ) A questo punto, fermandoci fino al quarto ordine si ottiene D altra parte x log( + (x) ) 6x 4 log( + x) x (x) + (x) (x)4 4 = x x + 8 x 4x 4 log( + 4x x) = [(4x x) (4x x) + (4x x) 4 (4x x) 4 ] = x x 4x + 4 x x 4 + o(x 4 ) Infine ponendo f(x) = arctan ( x ) + arctan(/ ) si riesce a dimostrare che f(0) = 0, f (0) = f (0) = 6 f (0) = 0 f iv (0) = 44 Quindi, scrivendo lo sviluppo di Taylor di f centrato in 0 si ha A questo punto allora f(x) = f(0) + f (0)x + f (0)x +! f (0)x + 4! f iv (0)x 4 + o(x 4 ) = x + x 6x 4 + o(x 4 ). x log( + (x) ) 6x + log( + x) log( + 4x x) + arctan ( x ) + arctan(/ ) = 6x 4 6x + x x + 8 x 4x 4 + x x 4x + 4 x x 4 + x + x 6x 4 + o(x 4 ) quindi ricordando che per x 0 + si ha (cos(x) ) = ( (x) + o(x )) = 4x 4 + o(x 4 ) il ite proposto diventa 4x 4 + o(x 4 ) + x 4 + o(x 4 ) =. 4

5 Secondo modo: Si tratta di una forma di indecisione [ 0 ]. Proviamo ad applicare il teorema di de l Hospital. Usando 0 il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale si ottiene + (cos(x) ) 0 e x A questo punto dai iti notevoli, per x 0 + si ottiene mentre log( + t ) dt H log( + (e x ) )e x = + (cos(x) )( sin(x)) log( + (e x ) ) (e x ) (x) = 8x (cos(x) )( sin(x)) (x) ( x) 4x log( + (e x ) )e x + (cos(x) )( sin(x)) = 6x e x =. + 6x Si noti come questo secondo modo sia molto più agevole del primo. Esercizio (4 punti) Per quali valori di α R risulta convergente la seguente serie numerica? n= n α tan n 5n + n 5 n sin n n Si tratta senza dubbio di una serie a termini non negativi. Dai iti notevoli si ottiene che, per n tan n n n 5 n sin n n n5 n n n = n quindi dal criterio del confronto asintotico la serie data si comporta come la serie n= n α n (5n + n ) = 6 che è una serie armonica generalizzata di esponente γ = 4 α e dunque converge se γ > cioè se 4 α > ossia α <. n= n 4 α 5

6 Esercizio (8 punti) Si studi la seguente funzione Si ha f(x) = f(x) = x e ex + x e = g(x) ex + x e x = h(x) ex + x Il dominio della funzione assegnata è x /e. Il numeratore è sempre positivo per la definizione di valore assoluto, il denominatore è positivo per x > /e, negativo altrimenti. Quindi f(x) > 0 per x > /e, f(x) < 0 altrimenti. I punti di intersezione con gli assi sono (e, 0) e (0, e/). La retta x = /e è un asintoto verticale per la funzione assegnata, infatti inoltre mentre f(x) = x /e f(x) = x /e + f(x) = g(x) = x + x + x + La derivata prima di f(x) esiste per x e ed è e < e h(x) =, x /e h(x) = +, + x /e x ex + x + e ex + = x + f(x) = h(x) = g(x) = x x x e. ex + e(x e) + e = se x > e f (x) = (ex + ) (ex + ) + e se x < e, (ex + ) e + /x = e, Si vede quindi chiaramente che f (x) > 0 per x > e, f (x) < 0 altrimenti, quindi la funzione è decrescente per x < e e crescente per x > e. La derivata seconda, sempre per x e, è ( + e ) se x > e f (x) = (ex + ) ( + e ) se x < e, (ex + ) quindi, se x > e, f (x) < 0 e, di conseguenza, la funzione è concava. Passiamo a studiare il caso x < e dividendo l analisi nei due casi /e < x < e e x < /e. In entrambi i casi il numeratore positivo, ma se /e < x < e il denominatore positivo, quindi f (x) > 0. Se invece x < /e, allora il denominatore è negativo, quindi f (x) < 0. Riassumendo quindi la funzione è convessa per /e < x < e e concava per x < /e e x > e. In figura riportiamo il grafico di tale funzione. 6

7 5 /e 5 /e e Figure : Grafico della funzione f(x) = x e /(ex + ). Tema: (5 punti) Si esponga quanto si sa circa il concetto di ite per funzioni di una variabile, partendo dalla definizione di ite finito o infinito, distinguendo anche i casi in cui la variabile indipendente tende a un valore finito/infinito. Sia I intervallo e sia c I, con f I R tranne al più il punto c; l intervallo I può essere itato o ilitato, aperto o chiuso e c può anche eventualmente essere ±. Consideriamo una successione x n I con x n c e x n c per n ; poi consideriamo la successione delle immagini f(x n ). Definizione successionale di ite Si dice che se f(x) = l c, l R {x n } n c, x n c f(x n ) l per n. Si dice intorno di un punto x 0 R un intervallo aperto che contiene x 0, cioè è un intervallo del tipo (x 0 δ, x 0 + δ) per qualche δ > 0. Un intorno di + un intervallo del tipo (a, + ); un intorno di un intervallo del tipo (, b). Diciamo che una funzione f(x) possiede una certa proprietà definitivamente per x c se esiste un intorno U di c tale che la proprietà vale per f(x) per ogni x U, x c. Definizione topologica di ite Sia c R e sia f una funzione definita almeno definitivamente per x c. Si dice che f(x) = l l R se U l intorno di l V c intorno di c tale che x V c, x c, f(x) U l. Distinguiamo ora quattro casi in cui alternativamente c e l sono finiti o infiniti e andiamo a caratterizzare le corrispondenti proprietà. Limite finito all infinito In questo caso f(x) = l si scrive nel dettaglio: 7

8 se c = + e l R se c = e l R Ad esempio: ε > 0 K > 0 x, x > K f(x) l < ε ε > 0 K > 0 x, x < K f(x) l < ε. x ex = 0 + arctan x = π x +. In questo caso si dice che f ha un asintoto orizzontale cioè una retta di equazione y = l con l R tale che per x + oppure per x si abbia f(x) = l rispettivamente f(x) = l. x + x Quindi ogni situazione di ite finito all infinito corrisponde graficamente a un asintoto orizzontale. Limite infinito all infinito In questo caso f(x) = l si scrive nel dettaglio: se c = + e l = + se c = + e l = se c = e l = + se c = e l = Ad esempio: H > 0 K > 0 x, x > K f(x) > H; H > 0 K > 0 x, x > K f(x) < H; H > 0 K > 0 x, x < K f(x) > H; H > 0 K > 0 x, x < K f(x) < H. x + ex = + sin x + x x = +. Nei casi in cui una funzione presenta ite infinito all infinito può accadere (ma non detto!) che esista una retta obliqua a cui la funzione si avvicina indefinitamente. Tale retta si chiama asintoto obliquo. Precisamente: Si dice che una funzione f(x) ha asintoto obliquo y = mx + q (con m 0, q R) per x + (oppure x ) se accade che [f(x) mx q] = 0 oppure rispettivamente [f(x) mx q] = 0. x + x Vale la seguente: Proposizione La funzione f(x) ammette asintoto obliquo per x + se e solo se valgono le seguenti due condizioni: ) esiste finito f(x) x + x = m 0 ) esiste finito [f(x) mx] = q. x + In tale caso l asintoto è esattamente y = mx + q. Analogo criterio può essere enunciato nel caso x. Esempio: la funzione f(x) = e x + x + ammette come asintoto obliquo per x la retta y = x +. Limite infinito al finito In questo caso f(x) = l si scrive nel dettaglio: se c R e l = + se c R e l = Ad esempio: K > 0 δ > 0 x c, x c < δ f(x) > K K > 0 δ > 0 x c, x c < δ f(x) < K. x = +. In questo caso il ite f(x) = l esiste solo se esistono e sono entrambi uguali a l i iti destro e sinistro, cioè rispettivamente f(x) = l f(x) = l. + 8

9 Tuttavia può accadere che i iti destro e sinistro esistano e siano diversi tra loro oppure che uno solo dei due iti esista. In tal caso si dice che il ite dato non esiste. Ad esempio si ha che Infatti si ha x + x = + non esiste. x =. In questi casi accade che f abbia un asintoto verticale. Più precisamente: si dice che f ha un asintoto verticale di equazione x = c (con c R) per x c (oppure per x c + o x c ) se accade che o rispettivamente a seconda dei casi f(x) = + oppure f(x) = f(x) = + oppure f(x) = + + f(x) = + oppure f(x) = Ad esempio x = 0 asintoto verticale ad esempio per le funzioni f(x) = /x, g(x) = /x, h(x) = log x. Limite finito al finito In questo caso f(x) = l si scrive nel dettaglio Esempio: Oppure consideriamo la funzione allora è facile dimostrare con la definizione che ε > 0 δ > 0 x c, x c < δ f(x) l < ε. sin x = 0. f(x) = { x 0 0 x = 0 f(x) = perché per ogni successione di punti diversi da 0, la funzione calcolata nei valori della successione vale sempre costantemente. D altra parte f(x) = 0 = f(0). Invece nel caso dell esempio precedente, sin x = 0 = sin 0. La differenza sta nel fatto che la funzione seno ha una proprietà che l altra funzione non ha: la continuità. Precisamente: Sia f I R con I intervallo e sia c I. Allora si dice che f è continua in c se esiste f(x) = f(c). Si dice che f è continua in I se continua in ciascun punto di I. Una funzione non continua in un punto c si dice discontinua. Si dice che c un punto di discontinuità a salto per f(x) quando i iti destro e sinistro esistono finiti ma diversi tra loro. In questo caso si definisce salto in c = f(x) f(x). + Se uno dei due iti destro o sinistro coincide per x c con f(c) si dice che f è continua da destra o da sinistra rispettivamente. Ad esempio La funzione f(x) = x/ x = x /x presenta una discontinuità a salto per x = 0, visto che ± x x = ± e il salto in 0 vale. Naturalmente in generale in ognuno dei 4 casi presentati, il ite può anche non esistere, anche nel caso di funzioni continue o itate. Ad esempio sin x. x + 9