Limiti di funzioni 1 / 39

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1 Limiti di funzioni 1 / 39

2 Comportamento agli estremi: operazione di ite 2 / 39 Sia f (x) una funzione definita su R e supponiamo di voler studiare l andamento della funzione agli estremi del dominio: x +, x Indichiamo tale operazione con f (x), x + f (x) x

3 Esempi 3 / 39 f (x) = 2 x x + 2x = + x 2x = 0 La retta y = 0 si dice asintoto orizzontale per la funzione f. ( ) 1 x g(x) = x + ( ) 1 x + 1 = 1 2 x ( ) 1 x + 1 = + 2 La retta y = 1 si dice asintoto orizzontale per la funzione g.

4 Esempi 4 / 39 La seguente funzione non ammette ite. f (x) = cos(x) cos(x) = x + cos(x) = x

5 Limite di una funzione all infinito 5 / 39 Si dice che il ite per x che tende a + della funzione f (x) é + f (x) = + x + se M > 0 k > 0 tale che x > k si ha f (x) > M. Si dice che il ite per x che tende a + della funzione f (x) é l R f (x) = l x + se ε > 0 k > 0 tale che x > k si ha f (x) l < ε.

6 Definizione intuitiva generale di ite 6 / 39 Se f (x) é una funzione definita sui R, e c,l R, dire che: "l é il ite di f (x) per x tendente a c" equivale a dire che "se x é molto prossimo, ma non identico, a c, allora f (x) é molto vicina a l". Esempio. Verificare che f (x) = l x c x 2 x x 1 = 2 Osservazione. L esistenza del ite di una funzione in un dato punto c, é assolutamente indipendente dal comportamento della funzione nel punto stesso.

7 Limite finito per una funzione in un punto 7 / 39 Si dice che il ite per x che tende a c della funzione f (x) é l R x c f (x) = l se ε > 0 si puó sempre determinare un intorno completo H del punto x 0 tale che x H (x x 0 ) si ha ossia f (x) l < ε l ε < f (x) < l + ε. Esempio. Verificare che risulta x 1 x 1 x 1 = 2

8 Limite infinito per una funzione in un punto Sia data la funzione f (x) = 1 x questa funzione non é definita su tutto l insieme R. Il suo dominio di esistenza é D = (,0) (0,+ ). Possiamo allora studiare il comportamento della funzione agli estremi, finiti e/o infiniti, del suo intervallo di definizione. Per quanto riguarda gli estremi infiniti si ha 1 x x = 0 1 x + x = 0 La retta y = 0 é un asintoto orizzontale della funzione. Osservazione Nell operazione di ite dividere per una quantitá che tende a da 0 (basti pensare a 1/1000 = 0.001) 8 / 39

9 Limite infinito per una funzione in un punto 9 / 39 Per quanto riguarda gli estremi finiti si hanno invece le seguenti operazioni 1 x 0 x = 1 0 = e si dice che x tende a 0 da sinistra; 1 x 0 + x = = + e si dice che x tende a 0 da destra. La retta x = 0 si dice asintoto verticale della funzione. Osservazione Nell operazione di ite dividere per una quantitá che tende a zero produce una quantitá infinita (basti pensare a 1/0.001 = 1000).

10 Limite infinito per una funzione in un punto 10 / 39 Si dice che il ite per x che tende a x 0 R della funzione f (x) é + x x 0 f (x) = + se M > 0 si puó sempre determinare un intorno completo H del punto x 0 tale che x H (x x 0 ) si ha f (x) > M. Se x x0 f (x) = allora M > 0 si puó sempre determinare un intorno completo H del punto x 0 tale che x H (x x 0 ) si ha f (x) < M.

11 Condizione esistenza ite 11 / 39 Condizione necessaria e sufficiente perché esista il x x0 f (x) é che esistano il ite destro (x x 0 + ) e il ite sinistro (x x0 ) e siano uguali. Esempio infatti 1 x 0 x = 1 1 = x 0 x x 0 + x = +

12 Riepilogando: ite di una funzione all infinito Si possono avere tre situazioni: la funzione converge f (x) = l x ± allora l equazione y = l é un asintoto orizzontale la funzione diverge la funzione non ha ite f (x) = ± x ± x ± f (x) = 12 / 39

13 Riepilogando: ite di una funzione in un punto Sia x 0 R. Si possono avere tre situazioni: la funzione converge { l = f (x0 ) f (x) = l = x x 0 l f (x 0 ) la funzione diverge f (x) = ± x x 0 allora l equazione x = x 0 é un asintoto verticale la funzione non ha ite f (x) = x x 0 13 / 39

14 Riepilogando: ite di una funzione in un punto 14 / 39 Sia data la funzione x 2 se x < 0 f (x) = 1 se x = 0 x 2 se x > 0 allora f (x) = 0 f (0) = 1 x 0 dove x 0 f (x) = 0 perché x 0 + f (x) = 0 = x 0 f (x)

15 Operazioni sui iti: somma 15 / 39 Date due funzioni f (x) e g(x) definite in un dominio comune D ( R) e a valori in R: Se, per x 0 R finito o infinito, x x0 f (x) = l 1 e x x0 g(x) = l 2 allora x x 0 (f (x) ± g(x)) = l 1 ± l 2 Esempi x 3x +3x = 0 = 10x+3x 2 = 10(3)+3(3 2 ) = 57 = f (3) x 3 x + 2x + x 3 = + =? Si ha una forma indeterminata/ di indecisione quando l 1 = + e l 2 = = l 1 + l 2 = +

16 Operazioni sui iti: somma Valgono le seguenti regole per il ite della somma: a + = a = + + = + = 16 / 39

17 Operazioni sui iti: prodotto 17 / 39 Date due funzioni f (x) e g(x) definite in un dominio comune D ( R) e a valori in R: Se, per x 0 R finito o infinito, x x0 f (x) = l 1 e x x0 g(x) = l 2 allora x x 0 (f (x)g(x)) = l 1 l 2 Esempi x 2 3x log(x 2) = 3 2 ( ) x 3 x (x+1) = (+ )( ) = x + 3 x (x + 1) = (0)(+ ) =? Si ha una forma indeterminata/ di indecisione quando l 1 = 0 e l 2 = ± = l 1 l 2 = 0(± ) l 1 = ± e l 2 = 0 = l 1 l 2 = (± )0

18 Operazioni sui iti: rapporto Date due funzioni f (x) e g(x) definite in un dominio comune D ( R) e a valori in R: Se, per x 0 R finito o infinito, x x0 f (x) = l 1 e x x0 g(x) = l 2 allora f (x) x x 0 g(x) = l 1 l 2 Esempi x 2 3 x log 2 (4x) = 9 3 = 3 x x 2 + x + 2 = = + x x 0 2 x x + 1 = + =? x + x 3 4x 3x 2 = 0 0 =? 18 / 39

19 Operazioni sui iti: rapporto 19 / 39 Si ha una forma indeterminata/ di indecisione quando l 1 = ± e l 2 = ± = l 1 = ± l 2 ± l 1 = 0 e l 2 = 0 = l 1 l 2 = 0 0

20 Operazioni sui iti: prodotto e rapporto 20 / 39 Valgono le seguenti regole per il ite del prodotto e del rapporto: a( ) = con a 0 a = 0 a 0 = con a 0

21 Operazioni sui iti Sia c R e x + f (x) = +, allora se c 0 allora 3. (c + f (x)) = + x + (cf (x)) = x + x + { + se c > 0 se c < 0 c f (x) = 0 Esempio Studiare il comportamento della funzione f (x) = 5e 3x agli estremi del suo dominio. 21 / 39

22 Polinomi e forme indeterminate 22 / 39 Risolvere i seguenti iti sui polinomi con forme indeterminate: Forma indeterminata ( 9x 2 ( 9x + 1 3x) = x)( 9x x) x + x + ( 9x x) = x + (9x x 2 ) ( 9x x) = Forma indeterminata 0 0 x + 1 ( 9x x) = 0 x + x 3 x 0 4x 3x 2 = x(1 + x 2 ) x 0 x(4 3x) = (1 + x 2 ) x 0 (4 3x) = 1 4

23 23 / 39 Polinomi e forme indeterminate Risolvere i seguenti iti sui polinomi con forme indeterminate: Forma indeterminata ± x + ± 2x + x x 3 2x = x + Forma indeterminata 0(± ): si risolve trasformandola nella forma ± ± o 0 0 x 1 (x + 1) = x2 x x 3 2 = 3 2 x + 1x 3 3 = (x + 1) x 2 Risolvere i seguenti esercizi 1 = x + x = 1 = 0 x 2 + x x + 4x 3x 2 x 2 + x x + x + 2

24 Confronti: ordine di infiniti 24 / 39 Una funzione che diverge (a ± ) si dice infinito. Siano f (x) e g(x) due infiniti. Allora il rapporto dei loro iti puó essere: f (x) = ± = f (x) diverge piú velocemente di x x0 g(x) g(x) (f é un infinito di ordine superiore) f (x) = 0 = f (x) diverge piú lentamente di g(x) x x0 g(x) (f é un infinito di ordine inferiore) f (x) = l 0 = f (x) e g(x) divergono con la x x0 g(x) stessa velocitá (f e g sono infiniti dello stesso ordine)

25 Confronti: ordine di infiniti 25 / 39 Nel caso dei polinomi esiste una semplice regola per calcolare l ordine degli infiniti. Siano e P(x) = p r x r + p r 1 x r p 1 x + p 0 Q(x) = q s x s + q s 1 x s q 1 x + q 0 due polinomi di grado r ed s rispettivamente. Si ha ± se r > s P(x) x ± Q(x) = 0 se r < s se r = s p r q s dove il segno di ± dipende dal rapporto tra i polinomi. Quindi l ordine di infinito corrisponde al grado dei polinomi.

26 Confronti: ordine di infiniti 26 / 39 Per gli altri infiniti esiste la seguente scala di velocitá logaritmi << polinomi << esponenziali y e x x 2 x x log(x) x

27 Esempi 27 / 39 Calcolare i seguenti iti applicando il confronto fra ordini di infinito. x 2 x 5x x x 2 5x 3 x x 2 5x 2 5x x + e 2x log(x) x + 2x x 5 x log(2x) x + e3x + 3e x2

28 Confronti: ordine di infinitesimo 28 / 39 Una funzione che converge a 0 si dice infinitesimo. Siano f (x) e g(x) due infinitesimi. Allora il rapporto dei loro iti puó essere: f (x) = ± = f (x) tende a zero piú lentamente x x0 g(x) di g(x) (f é un infinitesimo di ordine inferiore) f (x) = 0 = f (x) tende a zero piú velocemente x x0 g(x) di g(x) (f é un infinitesimo di ordine superiore) f (x) = l 0 = f (x) e g(x) tendono a zero con x x0 g(x) la stessa velocitá (f e g sono infinitesimi dello stesso ordine)

29 Confronti: ordine di infinitesimo 29 / 39 Per gli infinitesimi esistono le seguenti scale di velocitá [ 1 esponenziali ] [ 1 polinomi ] [ 1 logaritmi ] << x + << x + x + [x n ] x 0 << [x n 1 ] x 0 <<... << [x 2 ] x 0 << [x] x 0

30 Confronti: ordine di infinitesimo 30 / 39 Risolvere i seguenti esercizi: x 5 x 0 x 3 = x 0 x2 = 0 x 0 x 3 = x10 x 0 1 x 7 = + x 0 x 2 + 3x x 3 2x 2 + 4x = x 0 x 2 x + 3x x x 3 x 2x2 x + 4x x = x 0 x + 3 x 2 2x + 4 = 3 4

31 Asintoti 31 / 39 Se x x0 f (x) = ± = x = x 0 é un asintoto verticale; Se f (x) = l = y = l é un asintoto x ± orizzontale;

32 Studio del comportamento agli estremi del dominio 32 / 39 Sia data la funzione f (x) = x2 + 1 x il suo dominio sará dato da D = (,0) (0,+ ). Cosa succede agli estremi dell intervallo? x = = x = 0 asintoto verticale x 0 x x = + = x = 0 asintoto verticale x 0 + x

33 Ricerca dell asintoto: esercizi 33 / 39 Determinare gli asintoti delle seguenti funzioni e rappresentarli nel piano cartesiano: f (x) = x2 4 x + 1 x 2 + 1

34 Funzione continua 34 / 39 Una funzione f : D R R si dice continua in un punto x 0 D se x x 0 f (x) = f (x 0 ) Si dice che f é continua in un intervallo I R se essa é continua in tutti i punti dell intervallo. In termini non rigorosi si ha che una funzione é continua quando é possibile tracciarne il grafico con un tratto continuo, senza dover mai staccare la penna dal foglio.

35 Funzione continua: esempi Le funzioni seguenti sono continue in x 0 = 0? x 2 se x < 0 f (x) = x 2 e g(x) = 1 se x = 0 x 2 se x > 0 f(x) y g(x) y x x x 0 x2 = 0 = f (0) g(x) = 0 g(0) = 1 x 0 f (x) é continua, g(x) no. Questa discontinuitá si puó einare definendo g(0) = 0 = x 0 g(x). 35 / 39

36 La funzioni seguente é continua? f (x) = x x = sign(x) = Funzione continua: esempi { 1 se x < 0 1 se x > 0 y 1 0 x 1 f (x) = 1 x 0 f (x) = 1 x 0 + I iti destro e sinistro sono diversi, per cui non esiste il ite x 0 f (x). Nel punto x = 0 si ha un salto uguale a 2. Si parla di discontinuitá di prima specie. 36 / 39

37 La funzioni seguente é continua? Funzione continua: esempi f (x) = 1 x y 0 x f (x) = x 0 f (x) = + x 0 + Entrambi i iti divergono e si dice che la funzione ha una discontinuitá di seconda specie. 37 / 39

38 Funzione continua: punti di discontinuitá 38 / 39 Data una funzione di variabile reale in R, e x 0 un punto del dominio (o un estremo del dominio) diciamo che la funzione f (x) ha in x 0 un punto di discontinuitá se si ha: 1. x x0 f (x) = l R e l f (x 0 ) = discontinuitá einabile. 2. f (x) = l 1 e f (x) = l 2,l 1 l 2 = discontinuitá x x0 x x 0 + di prima specie (salto). 3. x x0 f (x) = ± oppure x x0 f (x) = = discontinuitá di seconda specie.

39 Funzione continua: esercizi 39 / 39 Dire se le seguenti funzioni sono continue nel loro dominio, studiare il loro andamento agli estremi del dominio e rappresentare queste informazioni nel grafico: { x + 2 se x > 0 f (x) = 3x + 1 se x 0 f (x) = f (x) = 1 x 1 f (x) = e 1 x 2 { 1 + log(x) se x > 1 x 2 se x 1 f (x) = x 2 1