Istituzioni di matematica

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1 Istituzioni di matematica TUTORATO 1 - Soluzioni Mercoledì 1 novembre 018 Esercizio 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne il graco f(x) = x x D = {x R : x 0} = R \ {0} - La funzione non è pari né dispari. - La funzione non si annulla mai in quanto l'equazione f(x) = 0 non possiede soluzioni reali, inoltre è positiva nell'intervallo (0, + ) e negativa in (, 0). - Per studiare gli eventuali asintoti orizzontali calcoliamo i seguenti iti: f(x) = + x + x Ne concludiamo che la funzione non possiede asintoti orizzontali. Esiste invece un asintoto obliquo, infatti e inoltre f(x) x ± x = x ± x + 5 x = 1 f(x) x = x ± x ± x = 1 Dunque esiste un asintoto obliquo per x ±, la retta y = x + 1. Per studiare gli eventuali asintoti verticali calcoliamo i seguenti iti: f(x) = + x 0 + 1

2 x 0 Ne concludiamo che esiste un asintoto verticale per x 0 ±, la retta di equazione x = 0. e i suoi punti di massimo e minimo studiamo la derivata: f (x) = 1 5 x che non esiste nel punto x = 0 dove diverge. Abbiamo f (x) > 0 in (, 5 ) ( + 5, + ) e f (x) < 0 in ( 5, + 5 ), dunque la funzione è crescente in (, 5 ) ( + 5, + ) e decrescente in ( 5, + 5 ). Il punto x = + 5 è di minimo relativo e il punto x = 5 è di massimo relativo. f (x) = 10 x 3 che non esiste nel punto x = 0 dove diverge. Abbiamo f (x) > 0 in (0, + ) e f (x) < 0 in (, 0), dunque la funzione è convessa in (0, + ) e concava in (, 0). La derivata seconda non si annulla mai, quindi non ci sono punti di esso. Figura 1: Graco esercizio 1

3 Esercizio. Studiare la seguente funzione e tracciarne il graco f(x) = xe x - La funzione non è pari né dispari. D = {x R : x 0} - La funzione si annulla nel punto x = 0 ed è sempre positiva nel dominio di denizione. - Per studiare gli eventuali asintoti orizzontali calcoliamo il seguente ite: x + f(x) = 0 Ne concludiamo che la funzione possiede un asintoto orizzontale per x +, la retta di equazione y = 0. Poiché è presente un asintoto orizzontale non ci sono asintoti obliqui. Osserviamo che non è necessario considerare il ite per x dal momento che la funzione non è denita sul semiasse dei reali negativi. ed i suoi punti di massimo e minimo studiamo la derivata: ( 1 f (x) = x ) x e x che non esiste nel punto x = 0 dove diverge. Abbiamo f (x) > 0 in (0, 1 ) e f (x) < 0 in ( 1, ), dunque la funzione è crescente in (0, 1 ) e decrescente in ( 1, ). Il punto x = 1 è di massimo assoluto. ( f (x) = ) x e x 4x 3 x che non esiste nel punto x = 0 dove diverge. Abbiamo f (x) > 0 in ( 1+, + ) e f (x) < 0 in (0, 1+ ), dunque la funzione è convessa in ( 1+, + ) e concava in (0, 1+ ). La derivata seconda si annulla nei punti x = ± 1+, quindi il punto x = + 1+, interno al dominio di denizione, è un punto di esso. 3

4 Figura : Graco esercizio Esercizio 3. Studiare la seguente funzione e tracciarne il graco f(x) = log (cos x) D = {x R : cos x > 0} = ( π ) + kπ, +π + kπ, k Z - La funzione è pari e periodica di periodo T = π. Ci iteremo a studiare la funzione nell'intervallo ( π, + π ). - La funzione, in generale, si annulla nei punti {x R : cos x = 1} = {x R : x = kπ, k Z}, dunque nel particolare intervallo considerato la funzione si annulla nel punto x = 0. Inoltre abbiamo f(x) < 0 in tutto il dominio di denizione in quanto la funzione coseno assume sempre valori in modulo minori di 1. - La funzione non possiede asintoti orizzontali né obliqui.per studiare gli eventuali asintoti verticali calcoliamo i seguenti iti: x π x π + 4

5 Ne concludiamo che esiste un asintoto verticale per x π, la retta di equazione x = π e un asintoto verticale per x π +, la retta di equazione x = π. ed i suoi punti di massimo e minimo studiamo la derivata: f (x) = tan x Abbiamo f (x) > 0 in ( π, 0) e f (x) < 0 in (0, + π ), dunque la funzione è crescente in ( π, 0) e decrescente in (0, + π ). Il punto x = 0 è di massimo assoluto. f (x) = 1 cos x che è sempre negativa e non si annulla mai nel dominio di denizione. Dunque la funzione è concava e non ha punti di esso. Figura 3: Graco esercizio 3 5

6 Esercizio 4. Studiare la seguente funzione e tracciarne il graco f(x) = 1 sin x cos x D = R Potremmo pensare che la funzione non sia denita nei punti x = π + kπ dove il numeratore è uguale a e il denominatore si annulla. Tuttavia si può vericare che f(x) = x π x π cosx sinx = 0 dove per svolgere il ite si è usata la regola di de l'hopital. - La funzione non è pari né dispari ma è periodica di periodo T = π. Ci iteremo a studiare la funzione nell'intervallo [ 0, π ]. - La funzione, in generale, si annulla nei punti {x R : sin x = 1} = {x R : x = π + kπ, k Z}, dunque nel particolare intervallo considerato la funzione si annulla nel punto x = π. Inoltre abbiamo f(x) > 0 in (0, π ) ( 3 π, π) e f(x) < 0 in ( π, 3 π). - La funzione non possiede asintoti orizzontali né obliqui.per studiare gli eventuali asintoti verticali calcoliamo i seguenti iti: x 3π f(x) = x 3π f(x) = + + Ne concludiamo che esiste un asintoto verticale per x 3π ±, la retta di equazione x = 3π. ed i suoi punti di massimo e minimo studiamo la derivata: f (x) = 1 cos x che è sempre negativa e non si annulla mai. Dunque la funzione è sempre decrescente e non ha punti di massimo o minimo. 6

7 f (x) = tan x cos x Abbiamo f (x) > 0 in ( π, π) e f (x) < 0 in (0, π ) (π, π), dunque la funzione è convessa in ( π, π) e concava in (0, π ) (π, π). La derivata seconda [ ] si annulla nei punti x = kπ con k Z, quindi nell'intervallo 0, π i punti x = 0, π, π sono punti di esso. Figura 4: Graco esercizio 4 7