Istituzioni di matematica

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1 Istituzioni di matematica TUTORATO 2 - Soluzioni Mercoledì 28 novembre 2018 Esercizio 1. Studiare la seguente funzione e tracciarne il graco f(x) = x 3 3x 2 - Il dominio di denizione è l'insieme D = R - La funzione si annulla nei punti x 1 = 0 e x 2 = 3 ed è positiva nell'intervallo (3, + ). - Per studiare gli eventuali asintoti orizzontali calcoliamo i seguenti iti: f(x) = + x + f(x) = x Ne concludiamo che la funzione non possiede asintoti orizzontali. Non ci sono asintoti obliqui, infatti f(x) x ± x = x ± x2 3x = + Inne non ci sono asintoti verticali in quanto la funzione è sempre denita su R. f (x) = 3x 2 6x 1

2 Abbiamo f (x) > 0 in (, 0 ) ( 2, + ) e f (x) < 0 in ( 0, 2 ), dunque la funzione è crescente in (, 0 ) ( 2, + ) e decrescente in ( 0, 2 ). Il punto x = 0 è di massimo relativo e il punto x = 2 è di minimo relativo. f (x) = 6x 6 Abbiamo f (x) > 0 in (1, + ) e f (x) < 0 in (, 1), dunque la funzione è convessa in (1, + ) e concava in (, 1). La derivata seconda si annulla in x = 1 che quindi è un punto di esso. Figura 1: Graco esercizio 1 2

3 Esercizio 2. Studiare la seguente funzione e tracciarne il graco f(x) = 2 x x - Il dominio di denizione è l'intervallo D = [ 0, 2 ] - La funzione si annulla nel punto x = 1 ed è positiva nell'intervallo [0, 1) e negativa in (1, 2]. - Dato il dominio di denizione concludiamo che la funzione non ha nessun tipo di asintoto. f 1 (x) = 2 2 x 1 2 x che non è denita nei punti x 1 = 2 e x 2 = 0 dove diverge. La derivata è sempre negativa in tutti gli altri punti del dominio di denizione e non si annulla mai. Dunque la funzione è sempre decrescente e non ha massimi né minimi. f 1 (x) = 4 (2 x) x 3 che non è denita nei punti x 1 = 2 e x 2 = 0 dove diverge. Abbiamo f (x) > 0 in (0, 1) e f (x) < 0 in (1, 2), dunque la funzione è convessa in (0, 1) e concava in (1, 2). La derivata seconda si annulla nel punto x = 1, che è quindi un punto di esso. 3

4 Figura 2: Graco esercizio 2 Esercizio 3. Studiare la seguente funzione e tracciarne il graco f(x) = x log x - Il dominio di denizione è l'insieme D = (0, + ) - La funzione si annulla nei punti x 1 = 0 e x 2 = 1, è positiva in (0, 1) e negativa in (1, + ). - La funzione non possiede asintoti orizzontali né obliqui, infatti f(x) = + x + f(x) x + x = + Per studiare gli eventuali asintoti verticali calcoliamo i seguenti iti: x 0 log x f(x) = x log x = + x 0 + x x x 2 = x 0 + x = 0 Per calcolare il ite precedente si è ricorso alla regola di de l'hopital. Concludiamo che non esistono asintoti verticali. 4

5 f (x) = log x + 1 Abbiamo f (x) > 0 in ( 1 e, + ) e f (x) < 0 in (0, 1 e ), dunque la funzione è crescente in ( 1 e, + ) e decrescente in (0, 1 e ). Il punto x = 1 e è di minimo assoluto. f (x) = 1 x che è sempre positiva in (0, + ) e non si annulla mai. funzione è convessa e non ha punti di esso. Dunque la Figura 3: Graco esercizio 3 5

6 Esercizio 4. Studiare la seguente funzione e tracciarne il graco f(x) = e 1 x - Il dominio di denizione è l'insieme D = R\{0} - La funzione non si annulla mai ed è sempre positiva nel dominio di denizione. - Per studiare gli eventuali asintoti orizzontali calcoliamo i seguenti iti: x ± f(x) = 1 Ne concludiamo che la funzione ha un asintoto orizzontale per x ±, la retta di equazione y = 1. Non ci sono asintoti obliqui. Per studiare gli eventuali asintoti verticali calcoliamo i seguenti iti: f(x) = + x 0 + f(x) = 0 x 0 La funzione quindi ha un asintoto verticale per x 0 +, la retta di equazione x = 0. f (x) = e 1 x x 2 che è sempre negativa e non si annulla mai nel dominio di denizione. Dunque la funzione è sempre decrescente e non ha punti di massimo o minimo. ( ) f (x) = e x x x 4 Abbiamo f (x) > 0 in ( 1 2, 0) (0, + ) e f (x) < 0 in (, 1 2 ), dunque la funzione è convessa in ( 1 2, 0) (0, + ) e concava in (, 1 2 ). La derivata seconda si annulla nel punto x = 1 2 che è quindi un punto di esso. 6

7 Figura 4: Graco esercizio 4 7