Teoremi fondamentali dell'analisi Matematica versione 1

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1 Teoremi fondamentali dell'analisi Matematica versione 1 Roberto Boggiani 7 novembre Richiami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo che dati due punti del piano A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ) con x 1 x 2 la retta passante per questi due punti ha per equazione y y 1 = m(x x 1 ) ed il valore di m ossia del coeciente angolare della retta sarà dato da m = y 2 y 1 x 2 x 1 Ad esempio se si vuole trovare l'equazione della retta passante per i punti A(1, 3) e B(2, 4) procediamo come segue: troviamo l'equazione della retta passante per il punto A che sarà data da y 3 = m(x 1) troviamo il valore del coeciente angolare della retta passante per A e B che sarà dato da l'equazione della retta cercata sarà data da m = = 1 y 3 = 1(x 1) ossia y = x Signicato geometrico della derivata La derivata di una funzione f(x) calcolata in un punto x 0 ha un signicato geometrico ben preciso. Se consideriamo due punti di coordinate A[x 0, f(x 0 )] B[x 0 + h, f(x 0 + h)] sappiamo che la quantità RI(x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) h coincide con il coeciente angolare della retta passante per i punti A e B ossia si avrà che: m = RI(x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) h 1

2 4 Teoremi fondamentali del calcolo dierenziale Al tendere di h a 0 il punto B si muove sulla curva f(x) avvicinandosi sempre di più al punto A e la retta passante per i punti A e B viene a coincidere con la retta tangente la funzione nel punto A. Ora se f(x) è derivabile in x 0 si avrà che: e quindi si avrà che: f (x 0 ) = lim h 0 RI(x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h m = f (x 0 ) Da questo fatto possiamo dire che la derivata della funzione f(x) calcolata nel punto x 0 è uguale al coeciente angolare della retta tangente la funzione stessa nel punto x 0 Da queste considerazioni di carattere geometrico è anche immediato calcolare l'equazione di una retta tangente una funzione in un suo punto particolare. Il procedimento da seguire è illustrato nel seguente esempio. Calcolare l'equazione della retta tangente la funzione f(x) = x 3 nel punto di ascissa x 0 = 2. Il punto di tangenza sarà dato allora da: (x 0, f(x 0 )) = (2, 8) e quindi l'equazione della retta passante per questo punto sarà data da: y 8 = m(x 2) Il valore di m si ottiene dunque calcolando la derivata della funzione f(x) = x 3 nel punto x 0 = 2 e sarà data da: m = f (2 + h) 3 8 (2) = lim = 12 h 0 h da cui l'equazione della retta tangente cercata sarà data da: y 8 = 12(x 2) 3 Derivabilità e continuità Fino a questo punto non abbiamo detto nulla circa la continuità delle funzioni di cui stiamo studiando la derivabilità. Vale a tal proposito il seguente: Teorema 3.1 Se una funzione f(x) denita in un insieme A R è derivabile nel punto X 0 A allora in tale punto essa è anche continua. In base a questo teorema si avrà allora che la derivabilità di una funzione ne implica anche la continuità. Parlare quindi di funzioni derivabili signica sottointendere che tali funzioni sono anche continue nel loro dominio di denizione. 4 Teoremi fondamentali del calcolo dierenziale I teoremi fondamentali del calcolo dierenziale sono di fondamentale importanza per le applicazioni della teoria delle derivate alla ricerca dei massimi e dei minimi assoluti, nonchè della crescenza e decrescenza di una funzione. Essi sono i seguenti: Teorema 4.1 (di Rolle) Data una funzione f(x) avente come dominio [a, b] R e tale che: f(x) è continua in [a, b] f(x) è derivabile in ]a, b[ f(a) = f(b) allora esiste almeno un punto x 0 interno ad [a, b] in cui f (x 0 ) = 0 Se le ipotesi del teorema di Rolle sono vericate esisterà sicuramente un punto di coordinate[x 0, f(x 0 )] il cui la tangente ad f(x) è parallela all'asse delle ascisse. Teorema 4.2 (di Lagrange) Data una funzione f(x) avente come dominio [a, b] R e tale che: derivate 2 rb

3 5 Ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti di una funzione f(x) è continua in [a, b] f(x) è derivabile in ]a, b[ allora esiste almeno un punto x 0 interno ad [a, b] in cui f (x 0 ) = f(b) f(a) b a Se le ipotesi del teorema di Lagrange sono vericate esisterà sicuramente un punto di coordinate[x 0, f(x 0 )] il cui la tangente ad f(x) è parallela alla retta passante per i punti [a, f(a)] e [b, f(b)]. Teorema 4.3 (dei punti di massimo e minimo relativi) Data una funzione f(x) avente come dominio A R e tale che: f(x) è continua in A f(x) è derivabile nei punti interni ad A se x 0 è un punto interno ad interno ad A di massimo o di minimo relativo allora f (x 0 ) = 0 Vogliamo notare che questo teorema non è invertibile ossia può accadere che per un punto x 0 interno ad A sia f (x 0 ) = 0 senza che necessariamente x 0 sia un punto di minimo o di massimo relativo. L'esempio classico che viene fatto riguarda la funzione f(x) = x 3 che ha per derivata f (x) = 3x 2. Notiamo che l'equazione 3x 2 = 0ha per soluzione x 0 = 0 ma tale punto non è di massimo o di minimo relativo in quanto in tale punto la funzione è crescente come si denota dal graco della funzione f(x) = x 3. Teorema 4.4 (dei punti di esso) Data una funzione f(x) avente come dominio A R e tale che: f(x) è continua in A f(x) è derivabile almeno due volte nei punti interni ad A se x 0 è un punto interno ad interno ad A di esso allora f (x 0 ) = 0 Vogliamo notare che questo teorema non è invertibile ossia può accadere che per un punto x 0 interno ad A sia f (x 0 ) = 0 senza che necessariamente x 0 sia un punto di esso. 5 Ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti di una funzione Un problema molto importante che si pone nelle applicazioni è quello relativo alla ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluto di una funzione. Per arontare in maniera adeguata la soluzione di questo problema sarà opportuno richiamare il seguente: Teorema 5.1 (di Weierstrass) Ogni funzione f(x) continua in intervallo chiuso e limitato [a, b] ammette il massimo e il minimo assoluto. Quindi se la funzione f(x) è: continua denita in un intervallo chiuso e limitato [a, b[ f(x) ammette sia il minimo che il massimo assoluto. Per la ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti in un intervallo qualsiasi vae invece il seguente: Teorema 5.2 (della ricerca degli estremi assoluti) Data una funzione f(x) avente come dominio A R gli eventuali punti di massimo e di minimo sono da ricercarsi: negli estremi dell'intervalloa nei punti interni ad A in cui f (x) = 0 nei punti interni ad A in cui f(x) non è derivabile Ciò signica allora che la ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti di una funzione dovrà essere ricondotta ai seguenti punti: derivate 3 rb

4 5 Ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti di una funzione gli estremi dell'intervallo di denizione della funzione stessa nei punti interni ad A in cui f (x) = 0 i punti interni ad A in cui f(x) non è derivabile Detti x 1, x 2, x 3, 1,..., x n tali punti si avrà che: il massimo assoluto sarà dato dal valore f(x i ) con i = 1..n che presenterà il valore più elevato, mentre il corrispondente valore di x i sarà detto punto di massimo assoluto il minimo assoluto sarà dato dal valore f(x i ) con i = 1..n che presenterà il valore più basso, mentre il corrispondente valore di x i sarà detto punto di minimo assoluto Vediamo ora alcuni esempi. Si avrà che: Trovare il massimo e il minimo assoluto della funzione f(x) = x 2 denita in D f : [ 3, 5]. Notiamo prima di tutto che la funzione così denita soddisfa alle ipotesi del teorema di Weierstrass e quindi siamo certi dell'esistenza del massimo e del minimo assoluto. I punti di massimo e di minimo assoluto sono allora da ricercarsi tra: gli estremi dell'intervallo di denizione della funzione ossia tra i punti { 3, 5} nei punti interni a D f il cui la derivata prima si annulla ossia essendo f (x) = 2x nei punti per cui 2x = 0 ossia nel punto {0} nei punti interni a D f in cui la funzione non è derivabile. Nel nostro caso non esistono punti appartenenti a questa categoria. I punti di massimo e di minimo assoluto sono allora solamente i seguenti { 3, 0, 5} ed avendosi che possiamo concludere che f( 3) = 9 f(0) = 0 f(5) = 25 il massimo vale 25 mentre il punto di massimo è 5 il minimo vale 0 mentre il punto di minimo è 0 Trovare il massimo e il minimo assoluto della funzione f(x) = 3 x denita in D f : [ 8, 8]. Notiamo prima di tutto che la funzione così denita soddisfa alle ipotesi del teorema di Weierstrass e quindi siamo certi dell'esistenza del massimo e del minimo assoluto. I punti di massimo e di minimo assoluto sono allora da ricercarsi tra: gli estremi dell'intervallo di denizione della funzione ossia tra i punti { 8, 8} nei punti interni a D f il cui la derivata prima si annulla ossia essendo f (x) = si vede x2 che tale derivata non si annulla in alcun punto appartenente al dominio della funzione nei punti interni a D f in cui la funzione non è derivabile. Nel nostro caso si nota che a tale categoria appartiene solamente il punto {0} I punti di massimo e di minimo assoluto sono allora solamente i seguenti { 8, 0, 8} ed avendosi che possiamo concludere che f( 8) = 2 f(0) = 0 f(8) = 2 il massimo vale 2 mentre il punto di massimo è 8 il minimo vale 0 mentre il punto di minimo è 0 derivate 4 rb

5 7 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: primo metodo 6 Ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza di una funzione Per la ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza di una funzione vale il seguente: Teorema 6.1 (della crescenza e decrescenza) Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile nei punti interni ad A si avrà allora che: se per ogni punto x interno ad A f (x) > 0 allora f(x) è crescente in A se per ogni punto x interno ad A f (x) < 0 allora f(x) è descrescente in A Tale teorema anche se molto semplice nella sua formulazione può dar adito a problemi in sede di applicazione. Facciamo allora se seguenti osservazioni: per poter essere applicato devono essere soddisfatte tutte le sue ipotesi in particolare si fa notare la completa derivabilità della funzione nei punti interni ad A si noti che se f(x) è crescente in A allora in ogni punto interno ad A si avrà che f (x) 0 e quindi in teorema dato non potrà essere invertito si noti che se f(x) è descrescente in A allora in ogni punto interno ad A si avrà che f (x) 0 e quindi in teorema dato non potrà essere invertito nelle applicazioni non accade quasi mai di trovare una funzione totalmente crescente o decrescente nel suo dominio, quindi il teorema sarà applicato in sotto intervalli del dominio di f(x) Vediamo alcuni esempi relativi alla ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza di una funzione. Si avrà: data la funzione f(x) = x(x+1) 2 avente come dominio R la sua derivata è data da f = 3x 2 +4x+1. Si nota quindi che anche la derivata ha come dominio R, e quindi la funzione è continua e derivabile in tutto il suo dominio di esistenza. Per trovare gli intervalli di crescenza e decrescenza dobbiamo allora risolvere la disequazione: 3x 2 + 4x + 1 > 0 da cui possiamo dedurre che: la funzione è crescente negli intervalli ], 1[ ] 1 3, + [ la funzione è decrescente nell'intervallo ] 1 3, 1[ data la funzione f(x) = ln(x) avente come dominio R + la sua derivata è data da f = 1 x. Si nota quindi che anche la derivata ha come dominio R, e quindi la funzione è continua e derivabile in tutto il suo dominio di esistenza. Per trovare gli intervalli di crescenza e decrescenza dobbiamo allora risolvere la disequazione: 1 x > 0 da cui possiamo dedurre che la funzione è sempre crescente in tutto il suo dominio di esistenza 7 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: primo metodo Per la ricerca dei punti di massimo e minimo relativi e dei essi a tangente orizzontale vale il seguente: Teorema 7.1 Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile nei punti interni ad A ed x 0 è un punto interno ad A tale che f (x 0 ) = 0 si avrà allora che: se f (x) < 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) > 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di minimo relativo se f (x) > 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) < 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di massimo relativo se f (x) < 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) < 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di esso discendente a tangente orizzontale derivate 5 rb

6 8 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: secondo metodo se f (x) > 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) > 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di esso ascendente a tangente orizzontale Tale teorema anche se molto semplice nella sua formulazione può dar adito a problemi in sede di applicazione. Facciamo allora se seguenti osservazioni: per poter essere applicato devono essere soddisfatte tutte le sue ipotesi in particolare si fa notare la completa derivabilità della funzione nei punti interni ad A il teorema permette di trovare i punti di massimo e di minimo relativi interni ad A, si ricorda per inciso che eventuali punti di massimo e di minimo relativi per una funzione si possono trovare anche agli estremi del dominio se la funzione è denita in un intervallo chiuso e limitato di R si noti che tale teorema è molto potente in quanto risulta valido anche se la funzione non è derivabile in x 0 basta solo che in tale punto essa sia continua tale teorema da solo una condizione suciente per la ricerca dei punti dei massimi e di minimo relativi, posso infatti esistere dei punti che non soddisfano tale teorema ma che sono in ogni caso o punti di massimo o punti di minimo relativi per la funzione oggetto di studio Vediamo ora un esempio di applicazione di tale teorema. Se si devono trovare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione f(x) = x 3 2x 2 + x 1 avente come dominio R dobbiamo prima di tutto calcolare la sua derivata prima data da f (x) = 3x 2 4x + 1 che anch'essa ha come dominio R. La funzione è quindi continua e derivabile in tutto R. Risolviamo la disequazione: 3x 2 4x + 1 > 0 ottenendo come soluzioni ], 1 [ ]1, + [ 3 Ciò signica allora in base al teorema del presente paragrafo che: il punto x 0 = 1 3 è un punto di massimo relativo il punto x 0 = 1 è un punto di minimo relativo 8 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: secondo metodo Per la ricerca dei punti di massimo e minimo relativi e dei essi a tangente orizzontale possiamo utilizzare anche un altro metodo derivante dal seguente: Teorema 8.1 Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile almeno tre volte nei punti interni ad A ed x 0 è un punto interno ad A tale che f (x 0 ) = 0 si avrà allora che: se f (x 0 ) = 0 ed f (x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di minimo relativo se f (x 0 ) = 0 ed f (x 0 ) < 0 allora x 0 è un punto di massimo relativo se f (x 0 ) = f (x 0 ) = 0 ed f (x 0 ) < 0 allora x 0 orizzontale è un punto di esso discendente a tangente se f (x 0 ) = f (x 0 ) = 0 ed f (x 0 ) > 0 allora x 0 è un punto di esso ascendente a tangente orizzontale Vediamo ora un esempio di applicazione di tale teorema riprendendo l'esempio relativo fatto nel precedente paragrafo. Se si devono trovare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione f(x) = x 3 2x 2 + x 1 avente come dominio R dobbiamo prima di tutto calcolare la sua derivata prima data da f (x) = 3x 2 4x + 1 che anch'essa ha come dominio R. La funzione è quindi continua e derivabile in tutto R. Risolviamo l'equazione: 3x 2 4x + 1 = 0 ottenendo come soluzioni { } 1 3, 1 Calcoliamo allora la derivata seconda della f(x) data da f (x) = 6x 4 Essendo allora f ( 1 3) = 2 il punto x0 = 1 3 è un punto di massimo relativo f (1) = 2il punto x 0 = 1 è un punto di minimo relativo derivate 6 rb

7 10 Ricerca degli intervalli di concavità e di convessità di una funzione 9 Osservazione sulla ricerca dei massimi e dei minimi relativi Data una funzione f(x) avente come dominio A R con i metodi esposti nei paragra precedenti possiamo trovare i punti di massimo e di minimo relativo solamente se f(x) è derivabile in tutti i punti interni ad A. Potrebbe però accadere il caso in cui i punti di massimo e di minimo relativo si trovano anche negli estremi del dominio A della funzione f(x). Si consideri ad esempio la funzione f(x) = x + 1 avente come D f : [3, 5] la quale presenta il minimo relativo nel punto x 0 = 3 e il punto di massimo relativo nel punto x 0 = 5. Da quanto detto sarà quindi necessario ricordare che i punti di massimo e di minimo relativi di una funzione f(x) denita in un insieme A R potranno trovarsi: negli estremi dell'intervallo A nei punti interni ad A in cui f (x) = 0 item nei punti interni ad A in cui la funzione non è derivabile Precisiamo in ogni caso senza entrare in dettagli che nei casi in cui la funzione non è derivabile in qualche punto interno ad A in tali punti potremmo trovare: punti angolosi: se la derivata destra e quella sinistra calcolata in tali punti esistono ma sono diverse tra di loro punti di cuspidi: se il limite della derivata prima destra e sinistra per x che tende al punto di non derivabilità tendono ambedue a ma non segno diverso essi a tangente verticale: se il limite della derivata prima per x che tende al punto di non derivabilità tende o a + o a. 10 Ricerca degli intervalli di concavità e di convessità di una funzione Per la ricerca degli intervalli di concavità e di convessità di una funzione vale il seguente: Teorema 10.1 (della concavità e convessità) Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile almeno due volte nei punti interni ad A si avrà allora che: se per ogni punto x interno ad A f (x) > 0 allora f(x) è convessa in A se per ogni punto x interno ad A f (x) < 0 allora f(x) è concava in A Tale teorema anche se molto semplice nella sua formulazione può dar adito a problemi in sede di applicazione. Facciamo allora se seguenti osservazioni: per poter essere applicato devono essere soddisfatte tutte le sue ipotesi in particolare si fa notare la completa derivabilità no alla derivata seconda della funzione nei punti interni ad A si noti che se f(x) è convessa in A allora in ogni punto interno ad A si avrà che f (x) 0 e quindi in teorema dato non potrà essere invertito si noti che se f(x) è concava in A allora in ogni punto interno ad A si avrà che f (x) 0 e quindi in teorema dato non potrà essere invertito nelle applicazioni non accade quasi mai di trovare una funzione totalmente concava o convessa nel suo dominio, quindi il teorema sarà applicato in sotto intervalli del dominio di f(x) Vediamo alcuni esempi relativi alla ricerca degli intervalli di concavità e convessità di una funzione. Si avrà: data la funzione f(x) = x(x + 1) 2 avente come dominio R la sua derivata prima è data da f = 3x 2 + 4x + 1. La sua derivata seconda è invece data da f = 6x + 4 Si nota quindi che anche la derivata seconda ha come dominio R, e quindi la funzione è continua e derivabile in tutto il suo dominio di esistenza. Per trovare gli intervalli di concavità e di convessità dobbiamo allora risolvere la disequazione: 6x + 4 > 0 da cui possiamo dedurre che: derivate 7 rb

8 12 Teorema de L'Hospital la funzione volge la concavità verso l'alto nell'intervallo ] 2 3, + [ la funzione volge la concavità verso il basso nell'intervallo ] infty, 2 3 [ data la funzione f(x) = ln(x) avente come dominio R + la sua derivata prima è data da f = 1 x. La sua derivata seconda è invece data da f = 1 x Si nota quindi che anche la derivata seconda ha 2 come dominio R, e quindi la funzione è continua e derivabile in tutto il suo dominio di esistenza. Per trovare gli intervalli di concavità e di convessità dobbiamo allora risolvere la disequazione: 1 x 2 > 0 da cui possiamo dedurre che la funzione volge sempre la concavità verso il basso in tutto il suo dominio di esistenza 11 Ricerca dei punti di esso a tangente obliqua Per la ricerca dei punti di esso a tangente obliqua vale il seguente: Teorema 11.1 (della ricerca dei punti di esso a tangente obliqua) Data una funzione f(x) avente come dominio A R se tale funzione è derivabile almeno due volte nei punti interni ad A ed x 0 è un punto interno ad A tale che f (x 0 ) 0 ed f (x 0 ) = 0 si avrà allora che: se f (x) < 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) > 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di esso ascendente a tangente obliqua se f (x) > 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) < 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di esso discendente a tangente obliqua se f (x) < 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) < 0 in un intorno destro di x 0, allora in x 0 la funzione è concava se f (x) > 0 in un intorno sinistro di x 0 ed f (x) > 0 in un intorno destro di x 0, allora in x 0 la funzione è convessa 12 Teorema de L'Hospital In certi casi di indeterminazione visti nel calcolo dei limiti possiamo applicare per il calcolo degli stessi un teorema molto importante detto teorema de l'hospital. Tale teorema aerma che: Teorema 12.1 (de l'hospital) Se f(x) e g(x) sono due funzioni continue in [a, b] e derivabili in ]a, b[, escluso al più il punto x 0 ]a, b[, con g (x) 0 x ]a, b[ x x 0 f(x 0 ) = 0 e g(x 0 ) = 0 oppure f(x 0 ) = e g(x 0 ) = e se esite nito il: allora esiste anche: e risulta che: f (x) lim x x 0 g (x) f(x) lim x x 0 g(x) f (x) lim x x 0 g (x) = lim f(x) x x 0 g(x) Bisoghna stare molto attenti nella applicazione di questo teorema in quanto tutte le sue ipotesi devono essere vericate prima di poterlo applicare (e sono molte). Vediamo un esempio di applicazione. Sia da calcolare il seguente: 1 e x lim = 0 x 0 x 0 si verica facilmente che tutte le ipotesi sono vericate e quindi calcoliamo: e x lim = 1 x 0 1 quindi esistendo il limite del rapporto delle derivate, tale limite sarà uguale a quello cercato. derivate 8 rb

9 Indice Indice Indice 1 Richiami di geometria analitica 1 2 Signicato geometrico della derivata 1 3 Derivabilità e continuità 2 4 Teoremi fondamentali del calcolo dierenziale 2 5 Ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti di una funzione 3 6 Ricerca degli intervalli di crescenza e decrescenza di una funzione 5 7 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: primo metodo 5 8 Ricerca dei punti di massimo e minimo relativi: secondo metodo 6 9 Osservazione sulla ricerca dei massimi e dei minimi relativi 7 10 Ricerca degli intervalli di concavità e di convessità di una funzione 7 11 Ricerca dei punti di esso a tangente obliqua 8 12 Teorema de L'Hospital 8 derivate 9 rb