DERIVATA di una funzione

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1 DERIVATA di una unzione Sia e * A punto di accumulazione di A : A R * è il RAPPORTO INCREMENTALE * Il rapporto incrementale di calcolato in * rappresenta il coeiciente angolare della secante passante per i punti P e P

2 Se esiste ed è inito il * * * allora è derivabile in *; il valore inito del ite si chiama DERIVATA di in * e si indica con * o d d *

3 Signiicato GEOMETRICO della derivata derivabile in * * * s t * * m s m t * m t * * * * *

4 La derivata di in * rappresenta il coeiciente angolare della retta tangente alla curva nel punto P**,* : A R Sia e * A Se è derivabile in *, la curva y è dotata di retta tangente nel punto P**,* e l equazione di tale retta è y * + * *

5 CCq ESEMPIO Costo che un impresa deve sostenere per produrre una certa quantità q di merce costo in unzione della quantità C q q C q* C q* q* C q C q* q q* q q* Rapporto incrementale di Cq cioè rapporto tra la variazione del costo di produzione e la variazione della quantità prodotta, quando l impresa l passa da una produzione q* ad una produzione q tasso di variazione dei costi Variazione di C relativa ad una variazione ininitesima di q costo marginale in q*

6 Sia : A R e * A punto di accumulazione di A Si dice che è dierenziabile in * * se a R: * * a * a-* * si chiama DIFFERENZIALE di in * * * NB : dierenziabile [ * a * ] [ * ] a * * dierenziabile continua

7 a * derivabile in * e * * * * * * * : dierenziabile in * * * * a a a R a dierenziabile in * dierenziabile in * derivabile in * derivabile in * * dierenziabile in * e a * * * * * * * * * derivabile in * * *

8 * Se è dierenziabile in * { * + * * } * Da un punto di vista geometrico questo signiica che se è dierenziabile in *, nei punti vicini ad *, la curva è ben approssimata dalla retta ad essa tangente in *,*

9 : A R Sia e * A derivabile in * dierenziabile in * continua in * NB: continua in * derivabile in *

10 ESEMPIO è continua in * - Λ inatti > + < è continua in * ma non è derivabile in quel punto Il punto * si chiama punto angoloso

11 ESEMPIO Λ è continua in * inatti 3 2 è continua in * ma non è derivabile in quel punto Il punto * si chiama cuspide

12 Calcolo della derivata di alcune unzioni elementari Sia c :R R * c c * R, * * * * * * è derivabile * * R R e la sua derivata è zero * * R; resta quindi deinita una nuova unzione :R R,, derivata di : R

13 2 Sia :R R * * R, * * * * è derivabile * * R La unzione :R R,, derivata di è R * *

14 3 Sia n :R R * R, * * * * * n n 2 + * * * n * n * * n n * n è derivabile * * R La unzione :R R,, derivata di è n n R

15 NB: una unzione :A R R si dice derivabile dierenziabile in A se è derivabile dierenziabile * * A

16 In maniera analoga alla precedente, in base a deinizione, si possono calcolare le derivate delle altre unzioni elementari e compilare la seguente tabella riepilogativa delle derivate di unzioni elementari

17 TABELLA DELLE DERIVATE DI ALCUNE TABELLA DELLE DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI FUNZIONI ELEMENTARI tg e a c c n cos sen e a a c n c n 2 cos sen cos ln {} {} {} { } Z k k R R R R R a R R c R Z n R R + + +, 2,,, * * π π

18 ± REGOLE di derivazione ricavate utilizzando la deinizione di derivata Siano,g:A R R e derivabili in * ± g g è derivabile g ' * è se inoltre g derivabile g ' * * g * in ' * in ' *, ' * * e ± * e g g * è g * g' * + [ g *] 2 * derivabile * g' * in g' * * e

19 ESEMPIO d d tg d d sen cos cos 2 + sen cos 2 2 cos 2

20 DERIVATA di unzione inversa Sia :I R, invertibile e continua in I. Se è derivabile in * e * *, allora la sua inversa è derivabile in y* *** e - y* '*

21 ESEMPIO d dy log y d d e log y e log y y

22 In maniera analoga alla precedente, utilizzando la regola di derivazione della unzione inversa, si possono aggiungere alla tabella delle derivate di unzioni elementari le seguenti derivate

23 TABELLA DELLE DERIVATE DI ALTRE FUNZIONI ELEMENTARI log log a arctg arcsen arccos log + 2 a 2 2 < < R R R * *, a R + * { }

24 DERIVATA di unzione composta Sia deinita la unzione og:i R e sia * I. Se g è derivabile in * e è derivabile in y*g* *,, allora og è derivabile in * e * g ' g * g ' *

25 ESEMPIO ESEMPIO sen e sen g h g y y h Sia g g d d cos sen 2 ' ' sen

26 ELASTICITA In molti modelli economici, per esempio quando si studia la quantità di merce domandata in unzione del prezzo, è più signiicativo considerare, piuttosto che gli incrementi assoluti delle variabili dipendente e indipendente, gli incrementi relativi o percentuali di queste: * * e * * per due motivi:

27 l incremento percentuale evidenzia meglio l importanza l delle variazioni considerate. considerate. Per es. se rappresenta un prezzo, una aumento -* * ha un signiicato molto diverso a seconda che il prezzo iniziale sia *5 o * aumento del 2 % nel primo caso e del % nel secondo 2 gli incrementi relativi sono numeri puri cioè non dipendono dalle unità di misura usate. usate. Per es. se si considera la variazione del prezzo -*, *, il signiicato di tale incremento è diverso a seconda che tale prezzo sia calcolato in lire oppure in dollari mentre non importa quale sia l unitl unità di misura usata se consideriamo l incremento l relativo il prezzo è aumentato del %

28 Si chiama ELASTICITA D ARCO per una unzione in un punto *, il rapporto tra gli incrementi relativi * * * * * * * * Se * * elasticità puntuale di in * * E * ' * * ' * * *

29 ESEMPIO Sia qqp la unzione di domanda di un bene rispetto al prezzo p E q p q' p p q p Se Eqp p-2 signiica che in corrispondenza di un aumento del prezzo del % si ha una diminuzione della domanda del 2% Se Eqp p-/5 signiica che in corrispondenza di un aumento del prezzo del % si ha una diminuzione della domanda del 2%

30 DERIVATA E PUNTI DI MAX E DI MIN Sia :I R, * punto interno di ma o min relativo, derivabile in * ' * NB: * punto interno di I signiica, per deinizione, che I*,r I

31 Dimostrazione * punto di ma rel. I*,r I tc I*,r * * - * se > * e I*,r * - * se < * e I*,r * - * - * e * + * * * Poiché - * - * derivabile in * * + * * * - * * *

32 NB: L annullarsi della derivata prima in un punto interno di massimo o minimo relativo è condizione necessaria ma non suiciente Es : 3 : R R ' 3 2 ' Come si vede dal graico * non è né di massimo nén di minimo relativo

33 Alla luce del precedente risultato, i punti di massimo o minimo relativo si possono trovare: in corrispondenza di punti interni in cui si annulla la derivata prima in corrispondenza di punti di non derivabilità in corrispondenza degli estremi dell intervallo di deinizione

34 ,, 2, 3, 4, minimi relativi sono possibili massimi e p.to di ma rel estremo dell'intervallo p.to di min rel p.to di non derivabilità p.to di ma rel in cui ' nè di ma nè di min rel nè di ma nè di min rel p.to di non derivabilità p.to di min rel estremo dell'intervallo

35 MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI Poiché un punto di massimo minimo assoluto è anche punto di massimo minimo relativo, i punti di massimo minimo assoluto,se esistono, si possono trovare acendo un conronto ra i valori assunti dalla unzione in corrispondenza dei possibili punti di massimo minimo relativo

36 Tornando al graico precedente: conrontando i valori {,,..., } 5 si vede che è il massimo assoluto e 2 5 è il minimo assoluto di

37 TEOREMA di Rolle Sia :[a,b] :[a,b] R, continua in [a,b] e derivabile in a,b con ab c a, b : ' c

38 Dimostrazione Per il T. di Weierstrass dotata di massimo e di minimo I caso: il ma M e il min m si hanno in I caso: corrispondenza degli estremi dell intervallo Poiché ab mm mm costante a,b; II caso: almeno uno dei due tra il ma M e il min m si ha in corrispondenza di un punto interno. Per issare le idee sia * p.to di ma interno di [a,b[ a,b]. Poiché la unzione è derivabile in a,b lo è in * *

39 TEOREMA di Lagrange Sia :[a,b] :[a,b] R, continua in [a,b] e derivabile in a,b b a c a, b : ' c b a

40 Siano,g TEOREMA di Cauchy,g:[a,b] :[a,b] R,,g continue in [a,b] e derivabili in a,b. Se g a,b b a c a, b : g b g a g ' c ' c

41 DERIVATA E CRESCENZA E DECRESCENZA Sia :a,b R, derivabile in a,b crescente in a,b a,b decrescente in a,b a,b

42 Dimostrazione Dimostrazione ',,, in crescente b a a,b a,b c b a ' c b a in crescente ', Poichè ' :, c,,,

43 Dato un p.to * che potrebbe essere di ma o di min relativo, * o * p.to di non derivabilità o * estremo dell intervallo intervallo come si a a stabilire se esso è veramente di massimo o di minimo relativo? Si analizza il comportamento di nell intorno del punto

44 Se è derivabile nell intorno di *-{* *} ' positiva negativa nell'intorno sinistro di * ' negativa positiva nell'intorno destro di * * * * p.to di ma min min relativo

45 positiva negativa nell intorno di *-{* *} * * * p.to di crescenza decrescenza Se * * p.to di lesso a tangente orizzontale

46 NB: Se * è un estremo ad es. quello ineriore, il segno della derivata nell intorno destro permette di stabilire se il punto è di ma o di min relativo * * * p.to di minimo massimo relativo

47 : I R Sia, dotata di derivata prima e seconda continue in I 2 C I. Si dimostra che: convessa concava in I l crescente decrescente l La derivata seconda ornisce inormazioni determinanti per stabilire se un punto di, *, in cui * sia un punto di ma o di min relativo

48 Se è dotata di derivata prima e seconda continue nel punto * '* ''* > * p.to di min relativo '* ''* < * p.to di ma relativo Se *?

49 : I R Sia, dotata in * di derivate continue ino all ordine n. Sia '* ''* n- * e n * > < se n è pari, * se se se n è dispari, * p.to di di min ma relativo dispari,, *p.to di crescenza decrescenza, * p.to di lesso a tangente orizzontale

50 Esempio Esempio 2 '' ' * 2 > 6 ''' '' ' * 2 3 > 24 ''' '' ' * <

51 Deinizione : I R Un p.to * I I in cui sia derivabile si dice p.to di lesso se in corrispondenza di esso la unzione cambia la sua convessità a sinistra concava e a destra convessa o viceversa La tangente alla curva in un p.to di lesso si chiama tangente di lesso

52 In base a deinizione, è evidente che se * è di lesso ed è dotata di derivata seconda in * allora * NB: non vale il viceversa. Esempio: per 4 si ha '' ma * non è di lesso

53 Sia : I R, C 2 I Come stabilire se * I in corrispondenza del quale * sia un p.to di lesso? * * * p.to di lesso * * non è p.to di lesso *

54 Esempio La unzione , 5 > rappresenta il costo totale di una certa merce in unzione della quantità prodotta. Scrivere l espressione l del costo medio 2Calcolare il minimo e tracciare un graico qualitativo di g. g 3Calcolare poi l elasticità di e controllare che nel p.to di uguale ad. di min essa è uguale ad g

55 4 g + +, > 5 Dom g R + * R : > g + ; g + 2 { } g' g '' g' per ± g di min g

56 3 + E ' E In *2 il costo marginale coincide con il costo medio. Questo signiica che se si ha un aumento della quantità del %, ad esempio, si avrà un aumento del costo pari anch esso al %

57 ASINTOTI Sia :R R * ± * è ASINTOTO VERTICALE

58 Sia :R :R R + L ' L '' yl L è ASINTOTO ORIZZONTALE destro sinistro

59 Una retta ym+n si deinisce asintoto obliquo destro sinistro di se { [ m + n] } + { [ ]} m + n

60 ym+n è asintoto obliquo destro sinistro di + m m e e + [ m ] n [ ] m n

61 Esempio 4 Vediamo se la unzione g + +, 5 precedentemente considerata, è dotata di asintoto obliquo destro. + g g La unzione è dotata di asintoto obliquo y/+/5 5

62 Teorema Siano,g TEOREMA di de l Hopitall,g:a,b :a,b R, * a,b. Sia,g derivabili in a,b-{* *}, 2 3 g a,b a,b-{* *}, 4 * ' ' * g * g ' * g * g '

63 Teorema 2 Siano,g,g:a,b :a,b-{* *}, R,,g derivabili in a,b-{* *}, 2 3 g a,b a,b-{* *}, 4 * ' ' * g ± e * ' * g * g ' g ±

64 NB: per i Teoremi di de l Hopitall non vale il viceversa + e Consideriamo 2 + sen e g 2 g + sono Inatti ' g ' + derivabili Cosa + + si 2 2 g 2 2 può e + Nulla + sen sen cos cos dire a + di priori g + sen sen sen?

65 Esempio: Esempio: Calcolare Calcolare + + e e e e e e g + ' ' e e e e g 2 '' '' + e e e 2 ' ' ' ' ' ' g g g