Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

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1 Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera / fratta Funzione trascendente: logaritmica / esponenziale / goniometrica (elementare /inversa) Funzione composta da una combinazione delle precedenti: specificare Campo di Esistenza Individua gli intervalli in cui la funzione assume valori reali; ovvero determina l'insieme dei punti x i in cui la funzione non è definita ed escludili. La classificazione può aiutarti: se è una funzione razionale intera il suo C.E. è costituito da tutto l'asse reale se la funzione è una razionale fratta, imponi che il denominatore sia diverso da zero. I punti che annullano il denominatore della funzione non appartengono al suo C.E., per tali punti x i la funzione non esiste; le rette verticali passanti per quei punti sono asintoti verticali per la curva se la funzione è irrazionale, guarda l'indice del radicale:» se è pari imponi che il radicando sia non negativo poiché la funzione è a valori reali,» se è dispari, non ci sono imposizioni se la funzione è logaritmica imponi che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo se la funzione è esponenziale non ci sono imposizioni se la funzione è goniometrica imponi che gli argomenti della funzione tangente ( o cotangente) siano diversi da multipli dispari di angoli retti ( o multipli interi di angoli 0 e ); per le funzioni seno e coseno non ci sono imposizioni se la funzione è goniometrica inversa: per le funzioni arcsen e arccos imponi che gli argomenti siano compresi fra -1 e +1, per le funzioni arctg e arccotg non ci sono imposizioni se la funzione è composta da funzioni di tipo diverso tutte le imposizioni dovranno essere verificate contemporaneamente, ovvero le condizioni dovranno essere legate e condotte algebricamente come un sistema di equazioni. Scrivi il C.E. come UNIONE dei diversi intervalli in cui la funzione assume valori reali. Segna graficamente gli intervalli(ombreggiandoli) o i punti(con linee continue) in cui la funzione non esiste. Particolari Simmetrie Periodicità Stabilisci se la funzione presenta particolari simmetrie, calcolando f(-x): se f(-x)=f(x), la funzione è pari, cioè simmetrica rispetto all asse y se f(-x)=-f(x), la funzione è dispari, cioè simmetrica rispetto all origine degli assi Nel caso in cui la funzione sia simmetrica, si può restringere lo studio della funzione ai soli valori positivi e dunque costruire il grafico nel solo semipiano x 0; per ottenere il grafico completo basterà simmetrizzare la curva ottenuta rispetto all'asse y o all'origine. Trova il minimo valore positivo di T per cui risulti f(x+t)=f(x) Le più importanti hanno i seguenti periodi: sinx, cosx, secx, cosecx: 2π tanx, cotanx: π In generale non si possono stabilire regole per determinare il periodo delle funzioni. Ci si può solo attenere alle indicazioni che seguono. Se una funzione f(x) è periodica di periodo T, allora la funzione f(kx), con k reale diverso da zero, è periodica di periodo T/ k. Se si hanno due funzioni periodiche con diverso periodo T 1 e T 2 e se esistono

2 Intersezione con l asse y Intersezione con l asse x Giacitura Continuità Asintoti Verticali multipli interi comuni dei due periodi, allora le funzioni somma, prodotto, quoziente, hanno periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi. Se si hanno due funzioni periodiche con lo stesso periodo T, allora le funzioni somma, prodotto, quoziente, hanno periodo minore o uguale al periodo comune T. Il grafico di una funzione periodica si può tracciare per ripetizione del grafico ottenuto restringendo il dominio ad un qualunque intervallo di ampiezza T Ricerca l'eventuale intersezione con l'asse y Poni, se possibile, a sistema l'equazione della funzione con l'equazione dell'asse delle ordinate: y f ( x) x 0 ovvero calcola f(0). Rappresenta l eventuale punto A(0;f(0)) Ricerca le eventuali intersezioni con l'asse x Poni a sistema l'equazione della funzione con l'equazione dell'asse delle ascisse: y f ( x) y 0 ovvero calcola le soluzioni dell equazione f(x)=0. Se non è possibile determinare algebricamente gli zeri della funzione f(x), radici dell equazione f(x)=0, si può utilizzare un metodo numerico che conduca a valori approssimati delle soluzioni cercate (vedi nota). Rappresenta gli eventuali punti. Studia il segno della funzione. Risolvi la disequazione f(x) 0 nel C.E. della funzione Scrivi gli intervalli in cui la funzione è positiva (I.P.) e quelli in cui è negativa (I.N.) Negli intervalli in cui la funzione risulta positiva, la curva sarà situata sopra l'asse delle ascisse. Negli intervalli in cui la funzione risulta negativa, la curva sarà situata sotto l'asse delle ascisse. Riporta i risultati sul grafico, escludendo le zone che la curva non attraversa. Studia la continuità della funzione Generalmente internamente agli intervalli in cui è definita una funzione somma/differenza/prodotto/quoziente/composizione di funzioni continue è continua Considera i valori x i estremi (inclusi ed esclusi) del C.E. Calcola i limiti, sinistro e destro, della funzione nell'intorno dei punti x i Classifica, in base ai risultati, le eventuali discontinuità della funzione e riporta con un segno grafico il comportamento della curva nell'intorno di tali punti. Ricerca gli eventuali asintoti verticali Considera i valori x i estremi (stavolta solo gli esclusi) del C.E. Calcola i limiti, sinistro e destro, della funzione nell'intorno dei punti x i Se tali limiti sono infiniti, le rette x=x i sono asintoti verticali (dx, sx, sup, inf) Asintoti Orizzontali Ricerca gli eventuali asintoti orizzontali Calcola i limiti per x tendente a della funzione Se tali limiti sono finiti e uguali a l, le rette y=l sono asintoti orizzontali (dx, sx, sup, inf) Se tali limiti sono infiniti ricerca gli asintoti obliqui

3 Asintoti Obliqui Altre intersezioni Derivata Prima Derivabilità Punti Stazionari Monotònia Max e Min Relativi successive (1) Ricerca gli eventuali asintoti obliqui f ( x) Calcola il limite per x tendente a di x Se tale valore è finito fornisce l eventuale coefficiente angolare m dell asintoto Calcola il limite per x tendente a di [f(x) mx] Se tale valore è finito fornisce il valore del termine noto q In questo caso y = mx + q è l equazione dell asintoto dx Ripetere tutto per l asintoto sx, con i limiti per x tendente a Se necessario, determina le eventuali intersezioni con Asintoti orizzontali e/o obliqui Riporta i risultati sul grafico Calcola y = f (x)= Determina il C.E. della derivata prima Se questo coincide con quello della f(x), allora essa è derivabile nel suo C.E. Se x 0 è un punto appartenente al C.E. della f(x), ma non a quello della f (x), la funzione non è derivabile in x 0 : o Calcola i limiti sinistro e destro della f (x) (oppure quelli dei corrispondenti rapporti incrementali): Se almeno uno è finito oppure sono entrambi finiti e distinti, allora avrai un punto angoloso Se il sinistro tende a + e il destro a - ( o viceversa), allora avrai una cuspide verso l alto (o verso il basso) Se entrambi tendono a + (oppure a - ), allora avrai un flesso a tangente verticale o Calcola le ordinate corrispondenti sostituendo le x 0 in y = f(x) o Determina le equazioni delle tangenti nei punti trovati e le rispettive tangenti Determina gli eventuali punti stazionari Imponi f (x) = 0 Risolvi l equazione nel C.E. della funzione Se non è possibile determinare algebricamente gli zeri della funzione f (x), radici dell equazione f (x)=0, si può utilizzare un metodo numerico che conduca a valori approssimati delle soluzioni cercate (vedi nota). Determina gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce Risolvi la disequazione f (x) 0 nel C.E. della funzione Rappresenta (nel C.E. della funzione) gli intervalli in cui la derivata prima è positiva e quelli in cui è negativa Negli intervalli in cui la derivata risulta positiva, la funzione sarà crescente Negli intervalli in cui la derivata risulta negativa, la funzione sarà decrescente Determina gli eventuali punti di max e/o min relativo Essi vanno cercati fra i punti stazionari, quelli angolosi e le cuspidi Ricorda che per essere un max (o min) relativo la funzione deve essere crescente a sx e decrescente a dx (o viceversa) Calcola le ordinate corrispondenti sostituendo in y = f(x) Se f(x) è una funzione derivabile almeno n volte in x 0 e risulta f (x 0 )= f (x 0 )= f (x 0 )= f n-1 (x 0 )=0 e f n (x 0 ) 0, allora: Se n è pari e f n (x 0 )>0, x 0 è un punto di minimo relativo Se n è pari e f n (x 0 )<0, x 0 è un punto di massimo relativo Max e Min Assoluti Determina gli eventuali punti di max e/o min assoluti Essi vanno cercati fra i max (min) relativi e i valori assunti dalla funzione agli

4 Derivata Seconda Concavità e Convessità Punti di Flesso successive (2) successive (3) Tangenti inflessionali Grafico Altre simmetrie estremi del C.E. Confronta le ordinate I valori delle ordinate max (min) corrispondono ai punti di max (min) assoluto Calcola y = f (x)= Determina gli intervalli in cui la curva è concava o convessa Imponi f (x) = 0 Risolvi l equazione nel C.E. della funzione, trovando le ascisse degli eventuali punti di flesso Se non è possibile determinare algebricamente gli zeri della funzione f (x), radici dell equazione f (x)=0, si può utilizzare un metodo numerico che conduca a valori approssimati delle soluzioni cercate (vedi nota). Risolvi la disequazione f (x) 0 nel C.E. della funzione Rappresenta (nel C.E. della funzione) gli intervalli in cui la derivata seconda è positiva e quelli in cui è negativa Negli intervalli in cui la derivata risulta positiva, la funzione rivolgerà la concavità verso l alto Negli intervalli in cui la derivata risulta negativa, la funzione rivolgerà la concavità verso il basso Determina gli eventuali punti di flesso I punti x F in cui si annulla la derivata seconda, corrispondenti ad un cambio di concavità/convessità della curva sono punti di flesso Classifica i flessi ( a tg orizzontale/obliqua, ascendente/discendente) Sostituisci in y = f(x) e ricava le ordinate y F Se f(x) è una funzione derivabile almeno n volte in x 0 e risulta f (x 0 )= f (x 0 )= f (x 0 )= f n-1 (x 0 )=0 e f n (x 0 ) 0, allora: Se n è dispari e f n (x 0 )>0, x 0 è un punto di flesso orizzontale ascendente Se n è dispari e f n (x 0 )<0, x 0 è un punto di flesso orizzontale discendente Se f(x) è una funzione derivabile almeno n volte in x 0 e risulta f (x 0 ) 0, f (x 0 )= f (x 0 )= f n-1 (x 0 )=0 e f n (x 0 ) 0, allora: Se n è dispari e f n (x 0 )>0, x 0 è un punto di flesso obliquo ascendente Se n è dispari e f n (x 0 )<0, x 0 è un punto di flesso obliquo discendente Se n è pari e f n (x 0 )>0, in x 0 f(x) rivolge la concavità verso l alto Se n è pari e f n (x 0 )<0, in x 0 f(x) rivolge la concavità verso il basso Determina le tangenti inflessionali Sostituisci le ascisse dei punti di flesso in y = f (x) e ricava i coefficienti angolari delle tg inflessionali Determina le equazioni delle tg inflessionali con y-y F =f (x F ) (x-x F ) Rappresenta graficamente la funzione Usa le matite colorate Assegna sempre un nome a punti e/o rette significative Controlla che il grafico sia coerente con le informazioni analitiche trovate Se devi dimostrare che f(x) è simmetrica rispetto ad un punto C(α;β) Verifica che f(2α-x)+f(x)=2β Spesso i centri di simmetria sono anche flessi Se devi dimostrare che f(x) è simmetrica rispetto ad una retta x=h Verifica che f(2h-x)=f(x) Spesso gli assi di simmetria sono asintoti verticali o rette verticali passanti per e- stremi relativi

5 Nota Soluzione approssimata di un equazione Se non è possibile determinare algebricamente gli zeri di una funzione f (x), radici dell equazione f(x)=0, si può utilizzare un metodo numerico che conduca a valori approssimati delle soluzioni cercate. La ricerca delle soluzioni avviene in tre fasi: Fase 1 isola la radice: Riscrivi l equazione f(x)=0 come uguaglianza di altre due funzioni g(x)=h(x), almeno una di esse nota, per cui la ricerca è ricondotta alla risoluzione del sistema y g( x) y h( x) Rappresenta graficamente le funzioni g(x) e h(x) Determina approssimativamente gli intervalli [a;b] in cui cadono le soluzioni da trovare Fase 2 ricerca gli intervalli in cui compare una e una sola radice: Dimostra che esiste almeno una radice, ovvero che f(x) è continua in [a;b] e che f(a)f(b)<0 Dimostra che essa è unica, ovvero che f (x) 0 in [a;b], oppure f (x) di segno costante in [a;b] Fase 3 determina la soluzione approssimata (metodo di bisezione): Posto a 0 =a e b 0 =b, calcola x 0 =(a 0 +b 0 )/2 e f(x 0 ) Se f(x 0 ) = 0 allora x 0 è lo zero cercato Se f(a 0 ) f(x 0 )>0 si pone a 1 =x 0 e b 1 =b 0 Se f(a 0 ) f(x 0 )<0 si pone a 1 =a 0 e b 1 =x 0 Si ripete il procedimento all intervallo [a 1 ;b 1 ] e così via Risulta utile avvalersi del seguente schema: n a n b n f(a n ) f(b n ) x n f(x n ) bn an Il procedimento si arresta quando: b a <, con indicato dal testo o scelto a piacere, oppure n n f x ) 0, oppure ( n entrambe le condizioni