SOLUZIONE DEL PROBLEMA 2 CORSO DI ORDINAMENTO x 2, con dominio R (infatti x per ogni ( x) = x 2

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1 SOLUZIONE DEL PROBLEMA CORSO DI ORDINAMENTO. Studiamo la funzione f(x) = x R). Notiamo che f( x) = 4 + x, con dominio R (infatti x + 4 per ogni 4 + ( x) = 4 + x = f(x), cioè la funzione è pari e il grafico di f è simmetrico rispetto all asse y. Cerchiamo ora le intersezioni di f con gli assi cartesiani. Asse x: y = y = 4 + x y = y = 4 + x = x Asse y: x = y = 4 + x x = y = 4 = La funzione interseca dunque l asse y nel punto M(; ). Passiamo allo studio del segno della funzione f: dunque f è positiva (strettamente). f(x) > > per ogni x R, 4 + x Calcoliamo i limiti della funzione e ricerchiamone gli eventuali asintoti. Notiamo innanzitutto che, poiché f è definita su tutto R, la funzione non presenta nessun asintoto verticale. Possiamo però calcolare i limiti per x che tende all infinito: lim f(x) = x + lim f(x) = x lim x + lim x 4 + x =, 4 + x =. c Zanichelli Editore

2 Esiste quindi un asintoto orizzontale ed è y =. asintoti obliqui. Non serve ricercare eventuali Procediamo calcolando la derivata prima di f: f (x) = x (4 + x ) = 6x (4 + x ) e studiandone il segno: f (x) > 6x (4 + x ) > 6x (4 + x ) <. Compiliamo lo schema dei segni: il numeratore assume segno positivo per x >, mentre il denominatore è positivo per ogni x in R. Quindi f (x) > per x <, cioè la funzione f è crescente per x <, presenta un massimo in x = (in cui assume valore f() = ) e decresce per x >. f + O x f max Studiamo ora la concavità della funzione, calcolandone la derivata seconda. f (x) = 6(4 + x ) 6x (4 + x )x (4 + x ) 4 = 6(4 + x ) 64x (4 + x ) (4 + x ) 4 = = (4 + x )(64 + 6x 64x ) = 4x 64 (4 + x ) 4 (4 + x ) = 6(x 4) (4 + x ) Vediamo il segno di f : f (x) > 6(x 4) (4 + x ) > c Zanichelli Editore

3 e studiamone separatamente numeratore e denominatore: 6(x 4) > x 4 > x 4 > x < x > x < x >, (4 + x ) > 4 + x > per ogni x R. Compiliamo nuovamente lo schema dei segni. x x + f O + + O O + O x f flesso flesso Notiamo che f è convessa per x <, concava per < x < e di nuovo convessa per x >. Vi sono dunque due punti di flesso, che chiameremo G e H, di coordinate: ( f ) = = ( G ( ) f = = ( H ) ;, ) ;. Con le informazioni dedotte finora, possiamo finalmente tracciare il grafico della funzione. c Zanichelli Editore

4 y f(x) = 4 + x O 4 5 6x Cerchiamo le equazioni delle tangenti a Φ in P ( ; ) e Q(; ). A tal fine, calcoliamo la pendenza delle tangenti in questi due punti. f ( ) = 6( ) (4 + ( ) ) = 64 = f () = 6 (4 + ) = 64 = La generica retta per P è y = m(x + ). Allora deve valere m =, dunque la tangente a Φ in P è y = x + t : y = x +. La generica retta per Q è y = m(x ). Di nuovo, deve valere m =, dunque la tangente a Φ in Q è y = (x ) t : y = x +. P S y f(x) = 4 + x Q O 4 5 6x Troviamo le coordinate del punto d intersezione delle due rette t e t : y = x + y = x + = x + x = x + y = x + y = 4 c Zanichelli Editore

5 e chiamiamo questo punto S(; ). Per verificare che il quadrilatero è un rombo, dobbiamo controllare che è un parallelogrammo e che i suoi quattro lati sono congruenti. Verifichiamo dapprima che i lati sono a due a due parallelli. Troviamo l equazione della retta che passa per OP : r OP : y = x r OP : y = x e l equazione della retta che passa per OQ: r OQ : y = y = x r OQ : y = x. Dunque r OP // t e r OQ // t, quindi OQSP è un parallelogrammo. Calcoliamo ora le misure dei lati, ricordando la formula OP = 4 + = 5, OQ = 4 + = 5, P S = 4 + = 5, SQ = 4 + = 5, dunque OQSP è un rombo. P P = (x P x P ) + (y P y P ). (In alternativa, una volta dimostrato che OQSP è un parallelogrammo, si poteva scegliere di dimostrare che le sue diagonali sono perpendicolari tra loro; anche in questo modo si sarebbe potuto concludere che OQSP è un rombo.) Ricordiamo che, date due rette s e t, la tangente dell angolo γ compreso tra le due è data da Dunque vale: Poiché OQSP è un rombo, 5 = 6 5. tg SPˆ O = 4 SPˆ O = tg γ = m s m t + m s m t. = 4 ˆ SP O 5. ˆ SQO e ˆ P SQ = QOP ˆ = SP ˆ O = 5 c Zanichelli Editore

6 . La circonferenza Γ ha equazione x +(y ) = e l equazione di una generica retta passante per l origine è t :. Calcoliamo le coordinate di A. x + (y ) = x + m x mx = x (m + ) mx = Per x =, otteniamo l origine O. Possiamo quindi supporre x e semplificare la seconda equazione: x(m + ) m = x = m m + y = m m + ( ) m A m + ; m. m + y Γ B A y= O x Calcoliamo le coordinate di B: y = x = m y = B ( ) m ;. Verifichiamo che (x B, y A ) è un punto di Φ sostituendo nell equazione y = f(x). Deve valere: y A =, 4 + x B 6 c Zanichelli Editore

7 cioè m m + = m m + = 4m + 4 m m m + = m m + = Il punto (x B, y A ) appartiene effettivamente a Φ.. Calcoliamo l area di R con un integrale. A(R) = = f(x) dx = ( 4 + m m 4m + 4 m m x dx = 4 + x dx = ( x ) ) dx = 4 [ arctg x ] ( π ) = 4 = π. 4 L area del cerchio delimitato da Γ è invece data dalla formula A Γ = πr = π. Dunque R e il cerchio delimitato da Γ sono equivalenti. Calcoliamo ora l area della regione compresa tra Φ e l intero asse x: integriamo nell intervallo illimitato [, + [, ricordando che f(x) è pari. + f(x) dx = + = lim x + + f(x) dx = x = 4 π = 4π dt = lim 4 + t x x dx = [ 4 arctg t 4. Prendiamo x tale che x e consideriamo il cilindro la cui base è centrata in O e ha raggio x, e la cui altezza è f(x). ] x = 7 c Zanichelli Editore

8 y f(x) = 4 + x O x x z La superficie laterale del cilindro è data da S(x) = πxf(x). Per ottenere il volume di W basta dunque integrare S(x) da a : V W = π x xf(x) dx = π 4 + x dx. Alternativamente, si poteva suddividere il volume ricercato in un cilindro (di raggio e altezza f() = ) e in un solido dato dalla rotazione attorno all asse y del tratto di f(x) compreso tra le ascisse e. Procedendo in questo modo, si poteva scrivere: V = πr h + π g (y)dy dove f(x) = y = /(4 + x ), e dunque, invertendo, g(y) = x = ( 4y)/y. c Zanichelli Editore