SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

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1 SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina per quale valore di k la funzione f k e g hanno la stessa tangente nel punto di ascissa.. Detta f la funzione determinata al punto precedente, studia la continuità e la derivabilità di f e g nel punto.. Studia le funzioni f e g e disegna i grafici riferiti allo stesso sistema cartesiano ortogonale.. Calcola l area della regione finita di piano delimitata da f e da g, appartenente al semipiano. PRBLEMA In una circonferenza di diametro AD r è inscritto il triangolo isoscele ABC di base BC. Costruisci la piramide che ha per base il triangolo ABC e altezza il segmento AV congruente a BC.. Posto AH, essendo H il punto medio del segmento BC, determina la funzione f () che esprime il volume della piramide ABCV.. Disegna il grafico di f e determina per quale valore di il volume della piramide è massimo.. In corrispondenza di tale valore determina l angolo formato dalle facce ABC e VBC.. Se è il valore del volume massimo, calcola l area della regione finita di piano appartenente al semipiano, delimitata dalla funzione f e dalla sua simmetrica rispetto alla retta di equazione. QUESTINARI Determina un espressione generale delle coppie di numeri interi relativi che risolvono l equazione: 5 6. L equazione nel piano cartesiano determina: a) due rami di iperbole. b) l unione di un ramo di iperbole con un arco di circonferenza. Zanichelli Editore, 6

2 c) due punti soltanto. d) l insieme vuoto. e) quattro punti soltanto. Soltanto una delle alternative proposte è giusta. Rispondi dando adeguata motivazione. La proposizione: «un cono è equivalente a una piramide con base equivalente e altezza congruente a quella del cono» è vera o falsa? Motiva adeguatamente la risposta. Determina la funzione f () sapendo che: 5e, () 5, () 5 5 e Sia data la funzione f A R con A sottoinsieme proprio di R, f derivabile A. Discuti la verità della seguente proposizione dando esauriente motivazione e riferendo almeno un esempio: «condizione necessaria e sufficiente affinché f sia crescente (decrescente) su A è che risulti f () (f () ) A». Dimostra la seguente formula: n n k Dimostra che la funzione f () k n. è biiettiva nell intervallo ;. Determina il campo di esistenza, il codominio e l espressione analitica della funzione inversa. 8 9 È data la funzione f () continua su tutto R e della quale si sa che: f () d, R. Per quali valori reali di k è possibile calcolare l integrale k f k d? Fornisci un esempio. Dimostra la seguente proposizione: «Se f è una funzione strettamente positiva, derivabile in tutto il suo dominio e tale che, f ()f() [f()], allora la funzione reciproca f () soddisfa la seguente relazione: f ( ) f () f ()». Se eliminiamo l ipotesi «strettamente positiva» la proposizione è ancora vera? Dimostra che la funzione interseca l asse delle ascisse in due punti. Zanichelli Editore, 6

3 SLUZINE DELLA SIMULAZINE D ESAME CRS DI RDINAMENT PRBLEMA. Riscriviamo le funzioni applicando le proprietà del logaritmo: k ln se se ln f k () k ; g (). Tutte le funzioni date sono continue e derivabili per, con derivate: f k () k ln k, g () ln quindi f k () k, g (). Perciò f k e g hanno la stessa tangente in se f k () g (), ossia se k.. Indichiamo con f () la funzione f () corrispondente a k : f () ln se. se se se ln lim ln lim lim (De L Hospital) pertanto f è continua per. lim ( h ) f () h f lim h h ln h lim ln h. h h h La f non è derivabile in nel senso che la derivata diverge negativamente quindi ha per tangente l asse delle ordinate. lim ln ln lim lim, pertanto g è continua in. lim ( h ) g () h g lim h h h lim h ln h. h lnh h La g è derivabile in e ha per tangente l asse delle ascisse.. Studio di f e g. Segno di f e intersezioni con gli assi: ln per f () se f () se f (). lim ln lim l n lim ln f non ha asintoti orizzontali né obliqui. Zanichelli Editore, 6

4 Derivata prima: crescenza e decrescenza, massimi e minimi: f () ln per e f è crescente per e f è decrescente per e A(e ; e ) minimo relativo e assoluto. f () Segno di g e intersezioni con gli assi: concavità verso l alto. ln per g () se g () se g (). lim ln lim ln lim ln Derivata prima: crescenza e decrescenza, massimi e minimi: g () ( ln ) per e g non ha asintoti orizzontali né obliqui. g è crescente per e g è decrescente per e B e ; e min. rel. e assoluto. g () ln per e = g() f() concavità verso l alto per e concavità verso il basso per e C e ; e punto di flesso. C B A Figura.. L area richiesta è data dal seguente integrale che calcoleremo per parti: ( ln ln ) d ln ln d 9 ln ln d 5 ln ln. 96 Zanichelli Editore, 6

5 PRBLEMA. Costruiamo la figura. V B A H C D A H C D B Figura. Figura. Il dominio geometrico della variabile AH è l intervallo r. Scriviamo l espressione del volume della piramide ABCV tenendo conto che AV BC BH: V p S ABC AV BC AH AV BH AH (BH ) BH AH. Applichiamo il secondo teorema di Euclide al triangolo rettangolo ADB (inscritto in una semicirconferenza) per esprimere BH in funzione di : BH AH HD AH, HD r BH (r ). ra scriviamo il volume della piramide in funzione di : V p f () (r ) r, [; r ].. Disegniamo il grafico eseguendo lo studio completo della funzione su tutto il suo campo di esistenza cioè R. f è un polinomio di terzo grado quindi è continua e derivabile R, non ha asintoti, ha un punto di flesso. Segno e intersezioni con gli assi: f () (r ), r ; f () (r ), r ; f () (radice doppia) oppure r. f + + r r Figura. 5 Zanichelli Editore, 6

6 In r la funzione interseca l asse delle ascisse. In la funzione è tangente all asse delle ascisse perché ha una radice di molteplicità. Derivata prima: crescenza e decrescenza, massimi e minimi. f () 8 r dunque: f () r ; f () r. f' f dominio geometrico + r r Figura 5. (; ) è punto di minimo relativo; M r ; 6 r 8 è punto di massimo relativo. Nell intervallo [; r ] la funzione, e quindi il volume della piramide, ha il massimo assoluto 6 r 8 per r. Completiamo lo studio con l analisi della derivata seconda per la concavità e i flessi. f () 8 r f () r, dunque: concavità verso il basso; f () r, concavità verso l alto; F r ; r 8 punto di flesso. f'' f + r r= Figura 6. M F Figura 7.. Le facce ABC e VBC formano un diedro convesso la cui sezione normale VĤA è l angolo richiesto. Determiniamo VĤA mediante la sua tangente goniometrica: A V tg(vĥa). A H 6 Zanichelli Editore, 6

7 Poiché AH r e AV BH (r ) r avremo: tg(vĥa) (VĤA 57,75 ).. Tracciamo il grafico sommario della funzione simmetrica di f rispetto alla retta 6 r senza ricavare la sua espressione analitica. 8 A B 6 = 8 M r= = Figura 8. L area da determinare, evidenziata con un fondino, è doppia dell area della regione di piano delimitata dalla retta, dall asse delle ordinate e dalla funzione f. Pertanto: S MA S MB r ( f ()) d r 6 8 Calcoliamo i due integrali separatamente. r 6 r d 8 r [ ] r 5 r 8 8. r d r r d. r r d r 8 r r Il valore dell area è dunque: S MA 5 r 56 r 56 r. 56 r 5 r 56 r. QUESTINARI Ricaviamo la in funzione di, quindi scriviamo le soluzioni dell equazione: 6 5 ; 6 5 con, Z. è un numero intero se il numeratore 6 ( ) è multiplo di 5, ossia se, 5,, 5, 5p 5p, p Z. La soluzione dell equazione è data dalle seguenti coppie ordinate di numeri interi: ( 5p ; p), p Z. 7 Zanichelli Editore, 6

8 La funzione valore assoluto per definizione è non negativa quindi l equazione è equivalente al sistema:. Le sue soluzioni sono: ossia i quattro punti (; ), (; ). Figura 9. Disponiamo il cono e la piramide con le basi nello stesso piano e i vertici nel medesimo semispazio. Poiché i due solidi hanno la stessa altezza, i vertici appartengono a uno stesso piano parallelo ad e ogni altro piano a essi parallelo e che intersechi uno dei due solidi interseca anche l altro. Il cono e la piramide hanno basi equivalenti quindi, come conseguenza del teorema di Talete nello spazio, le sezioni intercettate da sono equivalenti perché equidistanti dai rispettivi vertici. Per il principio di Cavalieri i due solidi sono dunque equivalenti. β γ α Figura. L espressione generale della derivata prima della funzione incognita è data dall integrale indefinito della sua derivata seconda: 5e d 5e k. La derivata prima della funzione richiesta è quella che soddisfa la condizione: 5e k 5 k quindi 5e. 8 Zanichelli Editore, 6

9 In modo simile determiniamo l espressione generale della funzione incognita: 5e d 5e k. In particolare, dovendo essere soddisfatta la condizione () 5 5 e, avremo: 5e k 5 5 e k 5 quindi 5( e ). 5 Una funzione f A R si dice crescente su A se, A, con, si ha f ( ) f ( ). La funzione f, derivabile in A, può essere crescente su A e avere derivata nulla in qualche punto. Per esempio la funzione f (), [; ], è crescente sull intervallo [; ] ma f () (figura.a). Pertanto la condizione f () A non è necessaria. Se la derivata di f è positiva A può tuttavia accadere che f ( ) f ( ) per qualche, A,. Per esempio la funzione f (), (R {}), è derivabile in tutto il dominio però f () f () pur essendo (figura.b). Questa funzione è crescente nei due sottoinsiemi disgiunti R ed R ma non su (R {}). Pertanto la condizione f () A non è sufficiente. La proposizione è dunque falsa. = = a. b. Figura. 6 7 n, per k,,, n, è il numero delle combinazioni semplici di n elementi distinti di classe k ed è k anche il generico coefficiente dello sviluppo di (a b) n, ossia: (a b) n n n b k. k ank k Basta dunque scegliere a b per ottenere: ( ) n n n k n n n c.v.d. k nk k k k La funzione data è continua (il denominatore non ha radici reali ed è positivo R) e derivabile su R. Dallo studio della sua derivata prima f () ( ) 9 Zanichelli Editore, 6

10 otteniamo: f () ef crescente; f () ef decrescente; f em ; ma rel. e ass. Nell intervallo ; la funzione è monotona decrescente e quindi è biiettiva e perciò invertibile (figura.a). Questo intervallo è anche il codominio della funzione inversa. Poiché in tale intervallo la f è strettamente positiva e è il massimo assoluto, l intervallo ; è il codominio di f e quindi il dominio della sua inversa f (figura.b). a. La funzione f. b. La funzione inversa di f. Figura. Per determinare l espressione analitica di f poniamo f () e risolviamo l equazione ottenuta rispetto alla variabile : ; ; ;. Scegliamo la soluzione con, compatibile con la condizione e scambiamo le due variabili per ottenere l espressione analitica di f :. ; ; 8 Calcoliamo l integrale incognito col metodo della sostituzione: k t,, d kdt, pertanto k t k t f k d k f (t) dt k, k. Zanichelli Editore, 6

11 Un esempio semplice è il seguente: ( ) d 6 ; k 9 d 6 7 ( ) d. 9 Dalle ipotesi su f deduciamo immediatamente che f esiste per tutti i punti del dominio di f ; inoltre: f () f (). [ f ( )] Pertanto, poiché per ipotesi è f () f () [ f ()], si ha: f () f () f () [ f ( )] c.v.d. [ f ()] f ( ) f ( ) f ( ) Se eliminiamo l ipotesi «strettamente positiva» la proposizione non è vera perché la funzione f non esiste per quegli tali che f (). Naturalmente la proposizione rimane valida se la funzione data è strettamente negativa. La funzione è continua e derivabile in R e non ha radici razionali. sserviamo che: lim per è strettamente decrescente per è strettamente crescente per è il minimo assoluto. Per il teorema di esistenza degli zeri la funzione si annulla in due punti soltanto. Il primo è compreso fra e perché () e (). Il secondo è compreso fra e perché () e (). Zanichelli Editore, 6

12 Per esercitarti ancora sugli argomenti trattati nel Svolgi il Problema Problema 6 pag. W Problema pag. V 9 Problema pag. S 8 Problema Problema pag. V 85 Esercizio 5 pag. W Quesito Esercizio 8 pag. S 7 Esercizio 9 pag. S 7 Quesito Teorema delle sezioni parallele di un angoloide pag. Esercizio 5 pag. 8 Esercizio 6 pag. 8 Quesito Problema 8 pag. W 7 Quesito 5 Quesito pag. V 88 Quesito 6 Quesito pag. W 77 Quesito 7 Esercizio pag. V 5 Quesito 8 Quesito pag. W 5 Quesito Quesito 6 pag. V 6 Zanichelli Editore, 6