0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y

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2 INTRODUZIONE Osserviamo, in primo luogo, che le funzioni logaritmiche sono della forma y = log a () con a costante positiva diversa da (il caso a = è banale per cui non sarà oggetto del nostro studio). Si possono allora verificare i seguenti due casi (si raccomanda di analizzare i due casi parallelamente e di effettuarne la lettura in senso verticale): I CASO II CASO < a < a > y In entrambi i casi y = log a () si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y = È facile verificare che: = Poiché le funzioni logaritmiche, come si evince dai due grafici precedenti, sono definite solo per i valori positivi della, il loro campo di esistenza si ottiene considerando, non solo il campo di esistenza dell argomento del logaritmo, ma anche imponendo che l argomento stesso sia strettamente positivo = y = log a () = la retta =, ovvero l asse, ovvero l asse y, è un asintoto verticale y = = log a () = (, ) è il punto di intersezione del con l asse ( ) ( ) lim log lim a log a ( non per < ) ( non per < ) lim ( log a ) = lim ( log a ) =+ + + La funzione è sempre decrescente La funzione è sempre crescente La regola di derivazione delle funzioni logaritmiche verrà illustrata negli esempi che seguono Osserviamo, infine, che, nel nostro studio, ci occuperemo esclusivamente delle funzioni logaritmiche aventi per base il numero di Nepero e >, ovvero dei cosiddetti logaritmi naturali, indicati con il simbolo ln.

3 ( ) y = ln CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è logaritmica ed il suo argomento è un polinomio, e quindi definito su tutto l asse reale, essa risulta definita esclusivamente per quei valori della ove l argomento è strettamente positivo (è ben noto che, nel campo reale, esiste solo il logaritmo di un numero positivo), cioè: = { R: > } = { R: ( ) > } = { R: <, > } = = { R: < <, + < < + } Ne segue: A.V.: =, = + + non INTERSEZIONI CON GLI ASSI. Per determinare l intersezione del con gli assi cartesiani occorre risolvere, come di consueto, i due sistemi, osservando, però, che, nel caso in esame, in = non, motivo per cui essa non presenta intersezioni con l asse y: y = y = y = y = y = = ln( ln ) ln( ) = ( ) e = e = = y = y = y = e, =+ ± + = ± =,4 = +,4 Osserviamo che: nel terzo passaggio, abbiamo considerato l esponenziale di ambo i membri dell equazione; nel quarto passaggio, invece, abbiamo tenuto in considerazione sia il fatto che e = (ogni numero elevato a zero è sempre uguale ad uno) sia il fatto che l esponenziale ed il logaritmo sono due funzioni, l una l inversa dell altra, per cui si annullano a vicenda (il principio utilizzato è analogo a quello usato per le radici quadrate, che si elidono se elevate al quadrato, o ancora per le radici cubiche, che si elidono se elevate al cubo). Ne segue allora: A = (,), B = ( +,) Osserviamo che tali punti di intersezione appartengono al campo di esistenza del. SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno del, occorre risolvere la disequazione: y > Quindi: ln( ) ln > e > e > > y > ( ) sono i punti di intersezione del con l asse delle 3

4 Osserviamo che le soluzioni dell equazione associata a tale disequazione sono state trovate precedentemente nello studio delle intersezioni con gli assi. Risulta, pertanto: Segno + è definita non è definita y > y < y < y > LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: ( ) ( ) ( ) ( ) lim y= lim ln ln lim ln lim ln + + = = = + =+ + + lim y= lim ln( ) ln lim ( ) ln lim ( ) ln( ) = = = + =+ Ne segue che, per ±, la y + : dunque non ha asintoti orizzontali. STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Ricordando che: D{ ln f ( ) } = f '( ) f ( ) si ottiene: D ln( ) = D ( ) = ( ) = Per determinare i punti di massimi e di minimo del bisogna sempre risolvere la disequazione: D(y) > cioè: > > > > > ( ) > <, > 4

5 da cui segue: Derivata Prima Decrescenza Crescenza non Poiché in = ed in = non, essa non ha né massimi né minimi. IL GRAFICO. Unendo tutte le informazioni ottenute, si avrà il seguente grafico del: y A non B = = 5

6 y ln = CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è logaritmica ed il suo argomento è una frazione, occorre considerare contemporaneamente il campo di definizione sia del logaritmica (argomento positivo) che del razionale fratta (denominatore diverso da zero): > ( per il logaritmo) > = 4 4 > sempre ( somma di duequadrati) <, >+ 4 ( per la frazione) ± ± { R: < <, + < < + } Ne segue: A.V.: =, = + + non INTERSEZIONI CON GLI ASSI. Per determinare l intersezione del con gli assi cartesiani occorre risolvere, come di consueto, i due sistemi, osservando, però, che nel caso in esame in = ( < < ) non, motivo per cui essa non presenta intersezioni con l asse y: y = y = y = y = y = = ln ln ln = e = e = = 4 4 y = y = = = 4 4 y = mai( il numeratore della frazione non si puòannullaremai: 8 sempre) Ne segue allora che non interseca neanche l asse. SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno del, occorre risolvere la disequazione: y > Quindi: + 4 y > ln > e ln 4 > e + 4 > > 4 8 > 4 6

7 8> 4> sempre <, > Osserviamo, quindi, che è sempre positiva all interno del suo campo di esistenza. Risulta, pertanto: Segno non y > y > LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: lim y= lim ln = ln lim = ln( ) = lim y= lim ln ln ln = lim = ( ) = 4 4 Ne segue che, per ±, la y : dunque la retta y =, ovvero l asse, è un Asintoto Orizzontale sia destro che sinistro del. A.O.: y = STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Si ha: ( 4) ( + 4 ) D ln D = = = ( 4) = = = + 4 ( 4) + 4 ( 4) ( + 4)( 4) Per determinare i punti di massimi e di minimo del, bisogna sempre risolvere la disequazione: D(y) > cioè: > 6( + 4) > > + 4 > sempre ( somma di due quadrati) ( + 4)( 4) ( 4) > sempre ( quadrato) 7

8 > + > 4 sempre ( somma di due quadrati) sempre ( quadrato) > < <+ sempre ( somma di due quadrati) sempre ( quadrato) da cui segue: > 4< sempre ( somma di due quadrati) sempre ( quadrato) Derivata Prima Crescenza Decrescenza non Poiché in = ed in = non, essa non ha né massimi né minimi. IL GRAFICO. Unendo tutte le informazioni ottenute, si avrà il seguente grafico del: y non = - = y = 8

9 ( 5 6) y = ln + CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è logaritmica ed il suo argomento è un polinomio, e quindi definito su tutto l asse reale, essa risulta definita esclusivamente per quei valori della ove l argomento è strettamente positivo, cioè: = { R: > } = { R: <, > 3} = { R: < <, 3 < < + } poiché risulta: + 5± 5 4 5± =, = = = = ed = = 3 Ne segue: A.V.: =, = 3 3 non INTERSEZIONI CON GLI ASSI. Si ha: = A= (, ln 6) è il punto di intersezione del con l asse delle y y = ln( 6),8 y = y = y = y = = ln( 5 + ln 6) ln( 5+ 6) = ( ) e = e 5+ 6= y = y = 5+ 5= + 5± 5 5± 5, = = y = y = 5 5 e 5+ 5 =,3 = 3,6 Ne segue allora: 5 5 B =,, 5 5 C + =, sono i punti di intersezione del con l asse delle Osserviamo che tutti i punti di intersezione appartengono al campo di esistenza del. SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno del, occorre risolvere la disequazione: y > Quindi: ln( ) ln 5+ 6 > 5 + e 6 > e 5+ 6> 5+ 5> y > ( ) 9

10 Osserviamo che le soluzioni dell equazione associata a tale disequazione sono state trovate precedentemente nello studio delle intersezioni con gli assi. Risulta, pertanto: Segno 3 è definita non è definita y > y < y < y > LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: ( 5 6) ( 5 6) ( ) ( ) lim y= lim ln ln lim ln lim ln = + = = + =+ + + lim y= lim ln( 5 6) ln lim ( 5 6) ln lim ( ) ln( ) + = + = = + =+ Ne segue che, per ±, la y + : dunque non ha asintoti orizzontali. STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Si ha: 5 D ln( 5+ 6) = D ( 5+ 6) = ( 5) = Per determinare i punti di massimi e di minimo del, bisogna sempre risolvere la disequazione: D(y) > cioè: 5 5 5> 5 > =,5 CE.. > < < > <, > 3 Osserviamo che le soluzioni dell equazione associata alla disequazione di secondo grado che figura nel sistema sono state trovate precedentemente nello studio del campo di esistenza del.

11 Ne segue: Derivata Prima Decrescenza Crescenza non Poiché in = ed in = 3 non, essa non ha né massimi né minimi. IL GRAFICO. Unendo tutte le informazioni ottenute, si avrà il seguente grafico del: y A non B 3 C = = 3

12 y ln + = CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è logaritmica ed il suo argomento è una frazione, risulta: > sempre > ( per il logaritmo) = + + > sempre ( somma di duequadrati) + ( per la frazione) + sempre ( somma di due quadrati) { R: < < + } INTERSEZIONI CON GLI ASSI. Risulta: = A= (,) O è il punto di intersezione del con l asse delle y y = ln = ln( ) = y = y = y = y = y = = ln ln = ln e = e = = + + y = y = y = y = = = = = + + (,) B = A O è il punto di intersezione del con l asse delle SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno del, occorre risolvere la disequazione: y > Quindi: ln y > ln > e + > e > > > > < mai ( èun quadrato) + > sempre ( somma di due quadrati) sempre ( somma di due quadrati) Osserviamo, quindi, che è sempre negativa all interno del suo campo di esistenza. Risulta, pertanto: Segno ovunque y <

13 LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: lim y= lim ln ln ln = lim = ( ) = lim y= lim ln ln ln = lim = ( ) = + + Ne segue che, per ±, la y : dunque non ha asintoti orizzontali. STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Si ha: ( + ) ( ) ( ) D ln D = ( ) = = + = ( + + ) Per determinare i punti di massimi e di minimo del, bisogna sempre risolvere la disequazione: D(y) > cioè: > < > + + > sempre ( somma di due quadrati) < sempre ( somma di due quadrati) da cui segue: Crescenza M Decrescenza Derivata Prima ovunque In =, quindi, ha un Massimo M. L ordinata corrispondente ad = è già stata calcolata facendo l intersezione con l asse delle y. Dunque M = (, ) O A B è il punto di Massimo. 3

14 IL GRAFICO. Unendo tutte le informazioni ottenute, si avrà il seguente grafico del: y A B O M 4

15 ESERCIZI PROPOSTI Studiare le seguenti funzioni logaritmiche: y=ln ( ) y=ln( + 4) y=ln( ) 3 y=ln( + ) y=ln + + y=ln y=ln + 4 y=ln ( + ) y=ln ( + ) y=ln + 4 y=ln( ) 3 3 y=ln( ) 5