VERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE.

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1 VERIFIC DI MTEMTIC CLSSI TERZE (S, BS, CS, DS, ES) settembre COGNOME E NOME.. CLSSE. Esercizio In un piano cartesiano ortogonale determinare: a) l equazione della parabola con asse parallelo all asse, passante per (;) e avente vertice V(;) b) l equazione della retta parallela all asse sulla quale la parabola stacca una corda di lunghezza uguale a c) l equazione della circonferenza di centro C(:) e tangente alla retta V. Esercizio Traccia il grafico della curva 7 + 8, indica se si tratta di una funzione e in caso affermativo specificane il dominio. Determina le equazioni delle rette tangenti alla curva nel suo punto P di ascissa e nel suo punto Q di ascissa. Esercizio Risolvi graficamente la seguente disequazione: Esercizio ( + ) + ( 9 ) Esercizio + 8 Esercizio > ( ) Esercizio 7 Determinare il campo di esistenza, le intersezioni con gli assi e tracciare il grafico delle seguenti funzioni: a) b) È consentito l uso della calcolatrice scientifica non programmabile. Durata della prova: minuti

2 SOLUZIONI Esercizio In un piano cartesiano ortogonale determinare: a. l equazione della parabola con asse parallelo all asse, passante per (;) e avente vertice V(;) Noto il vertice della parabola con asse verticale l equazione è del tipo a( + ), imponendo il passaggio per si determina il parametro a, cioè l apertura e la concavità della parabola: p : a( + ) a L equazione della parabola è quindi: ( + ), scritta in forma esplicita: V a( V ) quindi: V b. l equazione della retta parallela all asse sulla quale la parabola stacca una corda di lunghezza uguale a Il fascio di rette parallele all asse ha equazione k, la lunghezza della corda staccata sulla parabola si può determinare calcolando le coordinate dei punti di intersezione: k k + + k ± k P Q Quindi se k k si hanno due punti di intersezione di coordinate: k k P Q k + k E di conseguenza la corda PQ ha lunghezza che dipende da k secondo la relazione: PQ k Per determinare la particolare retta del fascio che stacca sulla parabola una corda di lunghezza è sufficiente risolvere l equazione: k k, la retta del fascio ha equazione c. l equazione della circonferenza di centro C(:) e tangente alla retta V. Il raggio della circonferenza da determinare è la distanza tra il centro e la retta tangente V, occorre quindi trovare l equazione della retta tangente e quindi, utilizzando la formula della distanza punto retta, si può determinare il raggio. Retta V: V V + + Distanza C retta: R Equazione della circonferenza: + R + ( ) ( ) ( ) C c + + V C

3 Esercizio Traccia il grafico della curva 7 + 8, indica se si tratta di una funzione e in caso affermativo specificane il dominio. Determina le equazioni delle rette tangenti alla curva nel suo punto P di ascissa e nel suo punto Q di ascissa. Elevando alla seconda dopo aver messo le condizioni di esistenza ed accettabilità si riconosce l equazione di una ellisse: Utilizzando il metodo di completamento del quadrato è possibile trovare centro e semiassi ( 8 + 6) ( ) + 6 ( ) + C(;) a b6 9 6 Dell ellisse bisogna prendere solo le parti negative data la condizione di concordanza 6 Dal grafico si deduce immediatamente che si tratta di una funzione, cioè una corrispondenza UNIVOC che ad ogni nel dominio associa una e una sola. P 6 8 D (come si ottiene anche risolvendo la condizione di esistenza impostata) P e Q sono punti particolari in quanto vertici dell ellisse di conseguenza le rette tangenti sono rispettivamente verticale e orizzontale di equazioni: Il dominio [ ; 7] in P: in Q: -6 6 Q Esercizio Risolvi graficamente la seguente disequazione: Ponendo ciascun membro uguale ad si possono disegnare i grafici di due funzione e quindi confrontarli: + + Elevando alla seconda dopo aver messo le condizioni di esistenza ed accettabilità si riconosce l equazione di una circonferenza:

4 + + + C(;) R Della circonferenza bisogna prendere solo le parti positive data la condizione di concordanza + Il grafico si ottiene a partire da quello della funzione omografica, ribaltando poi rispetto all asse delle ascisse le parti negative C ; punto di passaggio P(;) + α Dal grafico si deduce che la semicirconferenza è sotto alla curva dedotta dalla funzione omografica per α + dove < α <. Esercizio ( + ) + ( 9 ) + > C.E: 9 > > > ( + ) + ( 9 ) > ( ) ( 9 ) + Passando all uguaglianza tra gli argomenti si ottiene l equazione esponenziale: ( + ) ( 9 ) t t (t>) t 8 ± 7 t , con

5 Esercizio + 8 C.E: > Cambiando base, si possono scrivere tutti i aritmi in base e applicando le proprietà dei aritmi si ottiene: + tenendo conto delle C.E. < Esercizio > ( ) > ( ) > < < < < Studio del segno: + + > ( ) > > con t ( ) > ( ) < > > t t > < t < < < < tenendo conto delle C.E. ( imp) t > < < Esercizio 7 Determinare il campo di esistenza, le intersezioni con gli assi e tracciare il grafico delle seguenti funzioni: a) C.E. > Intersezioni: Il grafico si ottiene a partire ad quello di, quindi (che si ottiene prendendo tute le parti con positiva più le corrispondenti simmetriche rispetto all asse verticale) (traslazione a destra di ) (dilatazione verticale di )

6 b) Non ci sono condizioni di esistenza da imporre Intersezioni: ± Il grafico si ottiene a partire ad quello di, quindi (traslazione a destra di ) (che si ottiene prendendo tute le parti con positiva più le corrispondenti simmetriche rispetto all asse verticale) ( facendo il simmetrico rispetto all asse delle ascisse) (che si ottiene prendendo tute le parti con positiva più le corrispondenti simmetriche rispetto all asse verticale)

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