MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio FILA A

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1 MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio FILA A Nome e cognome Matricola I Parte OBBLIGATORIA (quesiti preliminari: 1 punto ciascuno). Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i vari passaggi e calcoli. 1. Dire, giustificando la risposta con semplici calcoli, se la seguente identità è vera log x = 2x 2. Risolvere la seguente disequazione 2x 3 + 4x 2 6x 0 3. Disegnare nel piano cartesiano il grafico delle due curve di equazione y = 2x 2 e y = 8 e calcolare le coordinate dei loro punti di intersezione 1

2 II Parte. Per accedere alla seconda parte dell esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata e l esame risulterà insufficiente. Problema (max 15 punti) Il costo di un impianto industriale per controllare le emissioni di sostanze tossiche è dato da C(x, y) = 100x y 2 2 log y 10xy 10y , dove x rappresenta la riduzione in Kg al giorno in emissioni di zolfo e y rappresenta la riduzione in Kg al giorno in emissioni di piombo. (a) Calcolare le quantità x ed y che rendono minima la funzione di costo. (b) Calcolare le quantità che minimizzano il costo nel caso in cui la riduzione giornaliera di piombo debba essere il doppio di quella dello zolfo. Quesiti (max 4 punti ciascuno) (c) Descrivere il modello lineare di domanda e offerta (con variabile indipendente il prezzo), specificandone il significato economico dei parametri. Cosa è il punto di equilibrio? Fornire una rappresentazione grafica del modello. (d) Completare le frasi seguenti: Sia f una funzione derivabile due volte su R. Se g (0) = 0 e g (0) < 0 il punto x = 0 è... Se il grafico di una funzione e convesso sull intero dominio, allora la sua derivata prima è... sull intero dominio e la sua derivata seconda è... sull intero dominio. Motivare brevemente le risposte. (e) Si tratteggi sul piano il dominio della funzione f(x, y) = log 1 derivate parziali f x(x, y) e f y(x, y). e si calcolino le 2

3 SVOLGIMENTO 1. L identità è corretta, in quanto log x = log 10 (10 2 ) x = log x = 2x. 2. Raccogliendo, si ha 2x(x 2 + 2x 3) 0 e quindi 2x(x 1)(x + 3) 0. Per la regola dei segni si ha: S = [ 3, 0] [1, + ). 3. I punti di intersezione della parabola e della retta orizzontale sono (2, 8) e ( 2, 8). Problema (a) Calcolo i punti critici: { 200x 10y = 0 20y 2 y 10x 10 = 0 { x = y/20 20y 2 y y 2 10 = 0 { x = y/20 39y 2 20y 4 2y = 0 Risolvendo l equazione di secondo grado in y e sostituendo nella prima equazione, l unico punto critico accettabile risulta essere: { x = y = La matrice hessiana è: H(x, y) = [ /y 2 ]. Poiché deth(0.033, 0.666) = 4800 > 0 e C xx(0.033, 0.666) = 200 > 0, il punto critico trovato è un punto di minimo. (b) Se y = 2x, la funzione di costo diventa C(x) = 120x 2 2 log(2x) 20x Annullando la derivata prima C (x) = 240x 2/x 20 si ottengono due punti stazionari e, studiando il segno della derivata prima, si ottiene che il punto x = 0.14 (e quindi y = 0.28) minimizza il costo. Quesiti (c) Cfr. Waner, Costenoble (2006), par (d) Se g (0) = 0 e g (0) < 0 il punto x = 0 è un punto a tangente orizzontale in cui la funzione g è concava, perciò e un punto di massimo relativo per g. Se il grafico di una funzione è convesso sull intero dominio, allora la sua derivata prima è crescente sull intero dominio e la sua derivata seconda è non negativa sull intero dominio. Per approfondimenti vedi testo Waner, Costenoble (2006), par (e) Deve essere > 0, ossia il dominio è il semipiano y > x. Infine f x(x, y) = 1 e f y(x, y) = 1 3

4 MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 7 febbraio FILA B Nome e cognome Matricola I Parte OBBLIGATORIA (quesiti preliminari: 1 punto ciascuno). Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i vari passaggi e calcoli. 1. Dire, giustificando la risposta con semplici calcoli, se la seguente identità è vera log x = x 2 2. Risolvere la seguente disequazione x 3 2x 2 3x 0 3. Disegnare nel piano cartesiano il grafico delle due curve di equazione y = x2 3 e x = 3 e calcolare le coordinate dei loro punti di intersezione 4

5 II Parte. Per accedere alla seconda parte dell esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata e l esame risulterà insufficiente. Problema (max 15 punti) Il costo di un impianto industriale per controllare le emissioni di sostanze tossiche è dato da C(x, y) = 100x y 2 2 log y 100xy 10y , dove x rappresenta la riduzione in Kg al giorno in emissioni di zolfo e y rappresenta la riduzione in Kg al giorno in emissioni di piombo. (a) Calcolare le quantità x ed y che rendono minima la funzione di costo. (b) Calcolare le quantità che minimizzano il costo nel caso in cui la riduzione giornaliera di zolfo debba essere il doppio di quella dello piombo. Quesiti (max 4 punti ciascuno) (c) Descrivere il modello lineare di costo-ricavo-profitto, specificandone il significato economico dei parametri. Cosa è il punto di pareggio? Fornire una rappresentazione grafica del modello. (d) Completare le frasi seguenti: Sia f una funzione derivabile due volte su R. Se g (0) = 0 e g (0) > 0 il punto x = 0 è... Se il grafico di una funzione e concavo sull intero dominio, allora la sua derivata prima è... sull intero dominio e la sua derivata seconda è... sull intero dominio. Motivare brevemente le risposte. (e) Si tratteggi sul piano il dominio della funzione f(x, y) = e 1 parziali f x(x, y) e f y(x, y). e si calcolino le derivate 5

6 SVOLGIMENTO 1. L identità non è corretta, in quanto log x = log 10 (10 2 ) x = log x = 2x. 2. Raccogliendo, si ha x(x 2 2x 3) 0 e quindi x(x + 1)(x 3) 0. Per la regola dei segni si ha: S = [ 1, 0] [3, + ). 3. Il punto di intersezione della parabola e della retta orizzontale è (3, 3). Problema (a) Calcolo i punti critici: { { 200x 100y = 0 x = y/2 200y 2 y 100x 10 = 0 200y 2 y 50y 10 = 0 { x = y/2 150y 2 10y 2 y = 0 Risolvendo l equazione di secondo grado in y e sostituendo nella prima equazione, l unico punto critico accettabile risulta essere: { x = 0.15 y = La matrice hessiana è: H(x, y) = [ /y 2 ]. Poiché deth(0.15, 0.30) = > 0 e C xx(0.15, 0.30) = 200 > 0, il punto critico trovato è un punto di minimo. (b) Se x = 2y, la funzione di costo diventa C(y) = 300y 2 2 log y 10y Annullando la derivata prima C (y) = 600y 2/y 10 si ottengono due punti stazionari e, studiando il segno della derivata prima, si ottiene che il punto y = (e quindi x = 0.133) minimizza il costo. Quesiti (c) Cfr. Waner, Costenoble (2006), par (d) Se g (0) = 0 e g (0) > 0 il punto x = 0 è un punto a tangente orizzontale in cui la funzione g è convessa, perciò e un punto di minimo relativo per g. Se il grafico di una funzione è concavo sull intero dominio, allora la sua derivata prima è decrescente sull intero dominio e la sua derivata seconda è minore o uguale a 0 sull intero dominio. Per approfondimenti vedi testo Waner, Costenoble (2006), par (e) Deve essere x + y 0, ossia il dominio è l intero piano x, y ad esclusione della retta y = x. Infine f x(x, y) = e 1 e f () y(x, y) = e 1. 2 () 2 6