2 Argomenti introduttivi e generali

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1 1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti a lezione. Alcuni di questi esercizi sono risolti in fondo. Argomenti introduttivi e generali Exercise 1 Trovare un vettore ortogonale a v = (1,. Exercise Trovare due vettori x, y R tali che x, y = x y. Exercise 3 Trovare due vettori x, y R tali che x, y = 0.5 x y. Exercise 4 Dire quali dei seguenti insiemi del piano sono aperti: A = { (x, y : x + y < 1 }, B = { (x, y : x + y = 1 } C = { (x, y : x y }, B = { (x, y : x + y > 1 }. Exercise 5 Dire qual è la frontiera per ciascuno degli insiemi precedenti. Exercise 6 Raffigurare gli insiemi precedenti. Exercise 7 Dire quali sono i punti di accumulazione di tali insiemi. Exercise 8 Tracciare alcune (es. tre curve di livello delle seguenti funzioni: f (x, y = x + y + 1 f (x, y = x y + log y f (x, y = xy 1 Exercise 9 Immaginare il grafico della funzione f (x, y = 1+x 4 +y esaminando la funzione ristretta alle rette passanti per l origine. Exercise 10 Fare lo stesso per la funzione f (x, y = x 4y. Exercise 11 Trovare il dominio delle seguenti funzioni: f (x, y = x + y f (x, y = log (x e y f (x, y = x xy + 5 f (x, y = arcsin (x + y. 1

2 3 Limiti e continuità Exercise 1 Dire se la funzione f (x, y = x y è continua sul suo dominio x+y (determinarlo e capire se c è il limite agli estremi finiti di tale dominio (cioè nei punti (x, y R che non sono nel dominio ma sono punti di accumulazione. Exercise 13 Trovare il dominio della funzione f(x, y = log arctan xy, raffigurarlo e riconoscere che sul dominio è continua. Capire se c è il limite (anche infinito agli estremi finiti di tale dominio. Exercise 14 (un po più difficile Si consideri la funzione f(x, y = definita sull insieme D = {(x, y : x > 0, y > 0}. Dimostrare che essa tende a zero per (x, y (0, 0. Exercise 15 Mostrare che x xy+y x +xy+y non ha limite per (x, y 0. 4 Derivate in più variabili Exercise 16 Calcolare le derivate parziali delle seguenti funzioni: f (x, y = x + y f (x, y = log (x e y f (x, y = x xy + 5 f (x, y = arcsin (x + y f (x, y, z = sinh(xyz f (x, y, z = tan(x + z + arctan(yz. Exercise 17 Scrivere il gradiente di alcune delle funzioni precedenti. Scrivere l equazione del piano tangente in un punto a scelta. Exercise 18 Dire, per le funzioni precedenti, se esiste il piano tangente (o se sono differenziabili in ogni punto del loro dominio. Exercise 19 Calcolare la derivata nella direzione 1 (1, 1, nell origine, della funzione f (x, y = sin x 1 xy. xy x+y

3 Exercise 0 Calcolare, in ogni punto in cui sia possibile, la matrice hessiana delle seguenti funzioni f (x, y = x + y + 1 f (x, y = x e y f (x, y = xy 1 f (x, y = x + y + log y. Exercise 1 Si calcoli il suo polinomio di Taylor del secondo ordine in (0, 0 della funzione f (x, y = (1 exp x sin y. Facoltativamente, trovarlo usando solo strumenti di Analisi I. Exercise Calcolare, in ogni punto in cui sia possibile, la matrice jacobiana delle seguenti funzioni f = (f 1, f, di una o due variabili, a valori in R : f 1 (t = log t, f (t = t t f 1 (x, y = x + y, f (x, y = sin x cos y. Exercise 3 Riconoscere che la funzione f(x, y = x + y è continua su tutto R ma non è differenziabile in (0, 0. Exercise 4 (più difficile Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità in tutto il dominio per la funzione { x y per (x, y (0, 0 f (x, y = x +y 0 per (x, y = (0, 0. 5 Massimi e minimi relativi e convessità in insiemi aperti Exercise 5 Trovare massimi e minimi relativi (ed assoluti, facoltativamente delle seguenti funzioni f (x, y = xy 1 f (x, y = x + xy + y f (x, y = x y x. 3

4 Exercise 6 Esaminare convessità o concavità delle precedenti funzioni. Exercise 7 Trovare gli estremi relativi della funzione f(x, y = x 3 xy + x + y. Exercise 8 (serve un trucchetto Trovare gli estremi relativi della funzione f(x, y = xy log (xy nel primo quadrante. Exercise 9 (serve un trucchetto Trovare gli estremi relativi della funzione f(x, y = (x + y 3 (x + y. 6 Curve. Estremi vincolati Exercise 30 Per la funzione f (x, y = x y, capire com è fatto il luogo dei punti f (x, y = 1. Exercise 31 Scrivere il luogo di punti come insieme di più curve parametriche regolari. Exercise 3 Nei suoi punti di intersezione con la retta x = 3y, calcolare un versore tangente ed un versore ortogonale. Exercise 33 In tali punti, scrivere l equazione della retta tangente. Exercise 34 Determinare la direzione di massima crescita di f (x, y = x y nel punto (1, 1. Com è questa direzione rispetto al luogo degli zeri di f? Exercise 35 Ripetere gli esercizi precedenti per la funzione f (x, y = x e y e la retta x = 0. Exercise 36 Si consideri la funzione f (x, y = sin x + (sin y. Calcolare il suo polinomio di Taylor del secondo ordine in (0, 0 e capire così approssimativamente come sono fatte le sue curve di livello nell intorno di (0, 0. Exercise 37 Trovare i punti critici vincolati della funzione f (x, y = e x e y sulla curva g (x, y = 1, dove g (x, y = y x. Capire eventualmente se sono massimi e minimi. Svolgere l esercizio tramite sostituzione del vincolo. Exercise 38 Svolgere l esercizio tramite moltiplicatori di Lagrange. 4

5 Exercise 39 Ripetere i due esercizi precedenti per le funzioni f (x, y = x 3 + y, g (x, y = y x. Exercise 40 Ripetere i due esercizi precedenti per le funzioni f (x, y = x 1+y, g (x, y = x y. Exercise 41 La curva γ (t = (sin t, cos t, t [0, π], è semplice? E regolare? Exercise 4 La curva γ (t = (sin t, t, t [0, π], è semplice? E regolare? Exercise 43 Trovare una parametrizzazione non regolare della curva γ (t = (t, t, t R. 7 Soluzioni Soluzione es. 8. Per f (x, y = x + y + 1 basta scrivere f (x, y = C nella forma y = C/ (x + 1 /, tracciare il grafico di y = (x + 1 / e traslarlo per alcuni valori di C. Per f (x, y = x y + log y basta scrivere f (x, y = C nella forma x = C + y log y, tracciare il grafico di x = y log y nel sistema di assi y x e poi traslarlo. Poi si può ribaltare. Per f (x, y = xy 1, si può risolvere y = (C + 1 /x e raffigurarlo per alcuni valori di C. Queste non sono semplici traslazioni al variare di C. Soluzione es. 1. Il dominio è R meno la retta y = x. Sul suo dominio è continua in quanto ottenuta con le usuali operazioni a partire da funzioni elementari continue. Bisogna esaminare il limite per (x, y (x 0, y 0 per ciascun punto (x 0, y 0 della retta suddetta, ovvero con y 0 = x 0. In tali punti diversi dall origine, è facile capire che il limite è infinito: infatti il denominatore tende a zero, mentre il numeratore tende a x 0 y 0, che (essendo y 0 = x 0 vale x 0 + 4x 0 = 5x 0 0. Per essere più precisi, il limite di f (x, y è + e ai due lati della retta. Nel punto (x 0, y 0 = (0, 0 il limite non esiste, come si verifica restringendosi a diverse rette, come in un esercizio fatto a lezione (si veda il registro. Soluzione es. 14. Su D la funzione è positiva. Basta quindi trovare una funzione g(x, y tale che 0 f(x, y g(x, y e lim (x,y (0,0 g(x, y = 0. x Vale ad esempio 1, in quanto x x + y (su D. Ma allora x+y basta prendere g(x, y = y. Essendo g continua, vale lim (x,y (0,0 g(x, y = g(0, 0 = 0. 5

6 Soluzione es. 16. A titolo illustrativo, svolgiamo l esercizio per f (x, y = log (x e y : f x (x, y = 1 x e, f y y (x, y = ey x e. y Soluzione es. 17. Come nel caso precedente: ( 1 f (x, y = x e, e y y x e y ed il piano tangente ad es. in (3, 1 è π (x, y = f (3, 1 + f (3, 1, (x 3, y 1 = log (3 e + 1 e (x 3 (y 1. 3 e 3 e Soluzione es. 19. Vale ( cos x (1 xy + y sin x sin x f (x, y = (1 xy, (1 xy quindi f (0, 0 = (1, 0, ed infine, posto v = 1 (1, 1, D v f (0, 0 = f (0, 0, v = 1 (1, 0, (1, 1 = 1. Soluzione es. 0. Per f (x, y = x + y + log y : f x (x, y = 1, f y (x, y = y f xx (x, y = 0, f xy (x, y = 0, f yy (x, y = 1 y quindi Soluzione es. 1. Vale H = ( y. f x (x, y = exp x sin y, f y (x, y = (1 exp x cos y f xx (x, y = exp x sin y, f xy (x, y = exp x cos y, f yy (x, y = (1 exp x sin y 6

7 che in (0, 0 valgono f x = 0, f y = 0, f xx = 0, f xy = 1, f yy = 0. Pertanto il polinomio di Taylor è P (x, y = f (0, 0 + f (0, 0, (x, y + 1 f xxx + f xy xy + f yy y = xy. Per ottenerlo con strumenti di Analisi I basta sviluppare al secondo ordine le due funzioni 1 exp x e sin y, moltiplicare e tenere solo i termini di grado. Soluzione es f (x, y = xy 1: f (x, y = (y, x; f (x, y = 0 nell origine, dove H = ( : punto sella. f (x, y = x + xy + y : f (x, y = (x + y, x + y; f (x, y = 0: y = x, x 4x = 0, x = 0, y = 0, quindi solo nell origine, dove ( 1 H = : minimo relativo (ed assoluto. 1 3 f (x, y = x y x : f = (1 x, y; si annulla in y = 0, x = 1/, dove ( 0 H = : massimo relativo (ed assoluto. 0 Soluzione es. 6. Applicando i criteri del libro, (1 non è né convessa né concava; ( è convessa; (3 è concava. Soluzione es. 7. Vale f = ( xy + x, 3y + y x. f x = 0: xy + x = 0, che vale o per x = 0 o per y = 1. La soluzione x = 0 si accoppia con 3y +y = 0, quindi a y = 0 e y = /3. La soluzione y = 1 si accoppia con x = 5, ovvero x = ± 5. Riassumendo, i punti sono (0, 0, (0, /3, ( ± 5, 1. Vale H = ( y + x x 6y + 7

8 ( 0 quindi H (0,0 = 0 ( 0 5 ( /3 0, minimo; H (0,/3 = 0 6, entrambi sella., minimo; H ( 5,1 = 5 8 Soluzione es. 8. Si possono fare i soliti ragionamenti, ma si incontrano delle complicazioni cercando di verificare le condizioni sull hessiano. Oppure si può osservare che f(x, y = g (xy con g (t = t log t ed i max/min di f corrispondono ai max/min di g. Per la g vale g (t = log t + 1, quindi g (t = 0 per log t = 1, t = e 1. Si verifica inoltre che esso è punto di minimo. L equazione xy = e 1 si risolve per tutti i punti y = 1, che ex risultano essere tutti punti di minimo relativo (debole. Soluzione es. 30. L equazione x y = 1 ha soluzioni x = ± y + 1. Quindi il luogo di punti è composto dal grafico della funzione x = y + 1 (nel piano y x, definita su tutto R, e dalla sua simmetrica x = y + 1. Si traccino questi due grafici. Soluzione es. 3. Intanto si vedano graficamente le intersezioni con x = 3y, per non sbagliare. Algebricamente, vale (3y y = 1, ovvero 8y = 1, y = ±1/ (. Ad essi corrispondono i valori x = ± 1/8 + 1 = ±3/ (. I punti sono quindi A = ( ( 3, 1 3, B =, 1. Tangente e ortogonale si possono ora calcolare in più modi. Anche se non è il più veloce, calcoliamo il versore tangente usando una parametrizzazione (che risolve l esercizio precedente. Parametrizziamo il primo ramo con γ (t = ( t + 1, t ( ; per t = 1 troviamo il punto A. quindi γ t (t = t,, 1 +1 γ ( 1 = ( 1 3, 1, ( γ 1 = = 10 = 10, T = 3 ( ( , 1 3 =, Un vettore ortogonale si calcola ad esempio col gradiente di f (x, y = x y : f (x, y = (x, y, ( ( 3 f (A = f, 1 3 =, 1 8

9 9 f (A = + 1 = 5, quindi un versore ortogonale è ( 1 3, 1 = 5 ( 3, Si poteva trovare ovviamente anche in altro modo. Soluzione es. 36. Con alcuni calcoli si trova che il polinomio è P (x, y = x + y. Quindi approssimativamente le sue curve di livello nell intorno di (0, 0 sono le circonferenze x + y = r. Soluzione es. 37. Il vincolo è y x = 1, ovvero la retta y = x + 1. Si può anche vedere come la curva parametrica γ (t = (t, t + 1. Sostituendolo nell espressione di f troviamo la funzione ϕ (t = e t e t+1 = e t e e t e t = e t ( 1 e e t. Vale ϕ (t = e t e t+1 = e t (1 e e t, per cui ϕ (t = 0 se e solo se e e t = 1, e t = 1/ (e, t = log (e. Con la derivata seconda si capisce poi la natura del punto critico. Nel piano, si tratta del punto ( log (e, log (e + 1. Soluzione es. 38. Vale f (x, y = (e x, e y, g (x, y = (, 1. Cerchiamo le terne (x, y, λ che risolvono il sistema e x = λ, e y = λ, y = x + 1. Dalle prime due equazioni si trova e x = e y, in cui, immettendo la terza, troviamo e x = e x+1, che equivale a 1 = e x+1. Si trova allora x + 1 = log, ovvero x = 1 log, che è uguale alla soluzione x = log (e trovata sopra. Determinare la natura del punto è meno facile, con questo approccio (si può ad esempio cercare di capire qualitativamente com è fatto il grafico e da lì farsi un idea visiva della natura del punto. Soluzione es. 41. Si osservino separatamente i grafici di sin t e cos t: il primo compie un periodo, il secondo due, per t [0, π]. Calcoliamo alcuni punti, suggeriti dai punti importanti dei due grafici separati: γ (0 = (0, 1, γ ( ( π 4 = sin π, 0, γ ( ( π 4 = (1, 1, γ 3π ( 4 = sin 3π, 0, γ (π = (0, 1. Da 4 un lato si può intuire il supporto, dall altro abbiamo scoperto che non è semplice: γ (π = γ (0. Non è regolare: γ (t = (cos t, sin t, cos t = 0 per t = π, 3π, ecc. e vale sin π = 0; cioè γ ( π = (0, 0. Soluzione es. 4. Sì, come ogni curva cartesiana. Precisamente, cambiando parametrizzazione (s = t, si tratta della curva γ (s = (sin (s/, s, s [0, 4π], che è cartesiana. E quindi semplice e regolare. 9

10 Soluzione es. 43. γ (s = (s 3, s 6, s R. 10