Integrali doppi - Esercizi svolti

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1 Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi senza cambiamento di variabili Si disegni il dominio e quindi si calcolino gli integrali multipli seguenti:... xy dx dy, con (x, y R x, y x x }; x + y dx, con (x, y R x /, x y x}; x cos y dx dy, (x, y R x, y x };. Ridurre ad un integrale semplice il seguente integrale doppio: x dx dy, dove è il trapezio di vertici (,, (,, (,, (, ; + y 5. e y dx dy, ove è il triangolo di vertici (,, (,, (,. Integrali doppi con e senza cambiamenti di variabili Si calcolino gli integrali doppi seguenti sia in coordinate cartesiane sia passando a coordinate polari xy dx dy, ove è il semicerchio di centro (,, raggio ed y > ; x dx dy ove è il semicerchio di centro (,, raggio ed x > ; x y dx dy, ove y x dx dy, con xy sin x cos y dx dy, con (x, y R y, } y y x y ; } (x, y R x, x y ; x dx dy, con (x, y R x + y }. (x, y R } π y π x, x π.

2 Interali multipli ed integrali iterati; scambio di ordine d integrazione Rappresentare gli integrali iterati seguenti come integrali doppi e quindi scambiare l ordine di integrazione. Il calcolo del valore dell integrale non è richiesto [ +x x π/ [ x sin x [ x x [ y [ e x x [ /x e x [ y y [ ( sin log(x y dy dx; ( sin log(x y dy dx; f(x, y dy f(x, y dx dy; f(x, y dy f(x, y dy f(x, y dx dx; dx; dx [?; dy; (sgn y y / f(x, y dy Coordinate polari dx [?. Passando a coordinate polari, si calcolino i seguenti integrali:.. [ x [ x. I r x x e x +y dy (x + y dy dx; dx; e x y dx dy, (x, y x + y < r }. Calcolare quindi I lim r + I r. Notare che e x y e x e y ed usare i risultati precedenti per mostrare che π/; + e x dx. x dx dy ove è la corona circolare di centro (, e raggi e ;

3 x + y dx dy ove è la corona circolare di centro (, e raggi e ; x + y dx dy ove è il settore di cerchio di centro (,, raggio e contenuto nel primo quadrante; (x + y dx dy ove è il cerchio individuato da x + y x; (x y dx dy, (x, y R x + y <, y }; Altri cambiamenti di coordinate Per il calcolo degli integrali seguenti, si usino i cambiamenti di coordinate indicati: 8. x aρ cos θ, y bρ sin θ, per il calcolo dell integrale essendo l ellisse (x/a + (y/b ; (x/a (y/b dx dy, 9. x ρ cos θ, y ρ sin θ, per il calcolo dell integrale (y/ ;. u x+y, v y/x per l integrale (y/x b}, con a e b parametri positivi. Applicazioni. Si calcolino i centri di massa delle figure seguenti xy dx dy, essendo l ellisse (x/ + xy dx dy, (x, y R (/a x+y a, (/b (a Una piastra piana omogenea, delimitata da y x, x y, x. (b Una piastra piana omogenea, delimitata da y x, x + y. (c Il disco x + y x la cui densità in ogni punto è uguale alla distanza del punto dall origine.. Calcolare i momenti di inerzia dei corpi seguenti, supposti omogenei, con densità. L asse di rotazione (rispetto a cui i momenti di inerzia vanno calcolati è ortogonale al piano della figura e passa per il punto P indicato. (a Un disco (P giace sulla circonferenza;

4 (b un ellisse (P è il centro; (c un quadrato di lato l (P è un vertice; (d un rettangolo (P è il punto di intersezione delle diagonali; (e un triangolo isoscele (P è il vertice opposto alla base; (f un disco, ruotante intorno ad una sua retta tangente. Ulteriori integrali doppi Si calcolino gli integrali seguenti:. cosh(y x dx dy ove è l insieme (x, y y x, y + x }; I 7. K x y dx dy ove è l insieme (x, y x + y, x + y }; f(x, y dx dy ove A } f(x, y min x + y,, (x, y x, y, x + y }. (y + e x dx dy, con A (x, y x y x }. xy x + y dx dy, con K (x, y R x y } x, xy.

5 SOLUZIONI Integrali doppi senza cambiamento di variabili. xy dx dy, (x, y R x, y x x }. Si può fare sia riducendo rispetto all asse x che rispetto all asse y, ma la difficoltà del calcolo non è la medesima nei due casi. Primo metodo. Proiettando l insieme sull asse x si trova l intervallo [, e per ogni x la sezione S x è (x, y y x x }. S x x unque [ [ x x [ x x xy dx dy xy dy dx xy dy dx x y dy dx S x } x x x y dx x(x x dx x(x + x x dx (x + x 5 x dx x + 6 x6 } 5 x } Secondo metodo. Riducendo rispetto all asse y, la proiezione di sull asse y è l intervallo [,. Fissato y, S y (x, y y x + y}. y S y

6 unque [ [ + y xy dx dy y S y x dx dy y x + } y y dy y y [ + ( y + y [ + ( y } y dy y y dy y y dy. La sostituzione y s dà il seguente calcolo della primitiva y y dy ( s ss ds (s s ds s } 5 s5 + c. unque e y y dy ( y + 5 ( y 5 + c y y dy ( y + 5 ( y x + y dx dy, (x, y R x, x y x} y x y x / / Riducendo rispetto all asse delle ascisse [ x x + y dy dx Ora, x x log( + y x x } dx x log( + x dx log( + x dx x log( + x ( x log( + x x x + + dx x + x log( + x log( + x (x + dx x log( + x log( + x x + x + c. } x log( + x log( + x dx. x + x dx

7 Inoltre x log( + x dx log( + x dx x log( + x x x dx + x x log( + x x + x dx ( x log( + x x x + x dx x log( + x x + log( + x + c e quindi l integrale da calcolare è x log( + x x log( + x } dx [ x log( + x log( + x x + x x log( + x + x log( + x ( log log log log 5 8 log 5 8 log log 5 8 log Riducendo rispetto all asse y, la proiezione di è il segmento y S y (y, x y x y} se y S y (y, x y < x < } se y. Vanno calcolati separatamente due integrali e quindi sommati [ y [ x y + y dx y dy x dx dy + y y + y y y } dy ( y + dy + y [ [ y + y log( + y + log log 5. } (, y y e per ogni y + y [x y dy Si calcola quindi [ x + y dx dy y + y dy ( 8 [ + y } + log 8 + log log + 8 log 5. y 8 8 (x y dy + y y + 8 [ + y y dy dy 8 [ y + y log( + y [ 5 8 log + log 5 Sommando si trova log + log 5 ( log 5 8 log

8 Riducendo rispetto all asse x, [ x [ x x cos y dy dx x cos y dy dx x sin( x dx sin( x d( x sin sin }. Lo stesso risultato si può dedurre dal fatto che la funzione da integrare f(x, y x cos y è dispari in x e l insieme di integrazione è simmetrico rispetto all asse y.. x dx dy. + y y x Riducendo rispetto all asse x [ x x + y dx [ arctan y x x dy dx [ x x + ( y x x π dx π log. ( y d dx x

9 Invece, proiettando sull asse y si ha [ x + y dx dy + ( x ( d y + x y ( y arctan x y dy + [ ( arctan y y arctan y y arctan y dx y x + y dx dy ( dy + x ( d dy y y + x y ( y arctan x y dy y dy + (arctan y y arctan dy arctan y dy π log. I due integrali si calcolano per sostituzione e per parti. In particolare abbiamo arctan y dy y s ( (arctan s d s s arctan s s + s ds e y arctan y dy y s (arctan s ( s d s (arctan s ds s arctan s + s + s ds. Avendo ridotto gli integrali ad integrali di funzioni razionali, si sa che il calcolo è possibile ma, in questi casi, piuttosto laborioso. 5. e y dx dy. y x [ Proiettando sull asse x si ha e y dy x si esprimono mediante funzioni elementari. Invece, proiettando sull asse y e y dx dy [ y dx. Tuttavia si sa che le primitive di e y non [ y e y dx dy e y dx dy ye y dy [e y e.

10 Integrali doppi con e senza cambiamento di variabili 6. xy dx dy y x x Riducendo rispetto all asse x, [ x x [ x x xy dy dx x y dy dx x [y x x dx x(x x dx [ x } x In coordinate polari l equazione della semicirconferenza y x x è r cos θ, con θ π. r θ unque il cambio di coordinate è x r cos θ y r sin θ θ π r cos θ xy dx dy π π [ cos θ (r cos θ (r sin θr dr dθ [cos θ sin θ( cos θ dθ 6 π π ( cos 5 θ d cos θ 6 [ cos θ (cos θ sin θ r dr dθ [ cos 6 π. 7. x dx dy.

11 y x Si vede che x dx dy x dx dy per simmetria. Verifichiamolo esplicitamente [ x x dy dx ( x }. In coordinate polari risulta [ π x x dx x d( x ( π (ρ cos θρ dθ dρ ρ dρ cos θ dθ [sin π sin. 8. A x y dx dy, A (x, y R y y x y} x y dx dy A x y dx dy + A x y dx dy A dove A (x, y R y, y y x } A (x, y R y, x y}.

12 Abbiamo quindi x y dx dy A [ x dy ( xy dx + y y [ x x y y dy (x y dx x x y dy + x y y x (x y dx x ( + y y y y y dy + [ ( y + y ( y dy + 8 y y y dy ( y + y y dy y y dy concludiamo osservando che il primo integrale è elementare, mentre nel secondo effettuiamo la sostituzione y t +, ottenendo A [ x y dx dy + (y y y t dt y [ + t t + arcsin t 5 6 π. 9. Osserviamo che y x y x se y x x y se x > y. Pertanto conviene scomporre T in due regioni come in figura. Si ottiene x y y x dx dy dx (x y dy + dy T x (y x dx y [ x x [ (x x dx + y + y (y y dy

13 π. Ragionando come nell esercizio precedente conviene scrivere C C C, dove C (x, y R x π, y π x } C (x, y R x π, π y } C C π Quindi I xy sin x cos y dx dy + xy sin x cos y dx dy C C π π dx x sin x x π y cos y dy dx x sin x π sin x cos x dx π y cos y dy. Calcoliamo prima l integrale mediante riduzione ad integrali semplici. y + x y x Proiettando sull asse x [ x x dy dx x [ x x x dy dx x x dx

14 ora conviene sostituire x sin s x x dx ( sin s( cos s( cos s ds 6 cos s sin s ds ds s sin s + c arcsin x sin arcsin x + c [sin s cos s ds da cui [ x [ arcsin x sin arcsin x x dy dx x [arcsin sin arcsin arcsin( sin arcsin( 8(arcsin sin arcsin, perché sin sin x che arcsin x sono funzioni dispari. Ora e l integrale richiesto vale π. arcsin π, sin arcsin sin π Calcoliamo ora quest integrale passando a coordinate polari. x dx dy (x, y R x + y } x ρ cos θ, y ρ sin θ, ρ θ π π ( π π [ρ cos θρ dρ dθ ( π ( π cos θ dθ ρ dρ 6 + cos θ dθ

15 Integrali multipli ed integrali iterati; scambio di ordine di integrazione Si procede in questo modo: dato un integrale b [ a f(x, y dy dx S x si identifica l insieme (x, y y S x, a x b} si interpreta quindi l integrale iterato come integrale ottenuto riducendo l integrale doppio f(x, y dx dy rispetto all asse x. Quindi si riduce quest integrale doppio rispetto all asse y.. y x y x [ x x dy dx [ dx dy (x, y R x y x, x } y, y dx dy, g(y. y, y <. g(y a cui [ x x dy dx dx dy [ dx y [ dy + dx dy y

16 . π [ x sin x dy dx dx dy, dove (x, y R sin x y x, x π }. π y x y sin x π La proiezione di sull asse y è [, π e quindi dx dy π [ S y dx dy, S y (x, y y x arcsin y y (x, y y x π y π da cui dx dy [ arcsin y y [ π π dx dy + y dx dy.. Possiamo scrivere x, x }. [ x x dy dx dx dy, dove (x, y R x y x y Quindi [ x x dy dx [ y y dx dy + [ y y dx dy.

17 5. Possiamo scrivere }. [ y dx dy dx dy, dove (x, y R y x, x x y Quindi [ y dx dy [ x dy dx. 6. Possiamo scrivere x }. [ e x x dy dx dx dy, dove (x, y R x y e x, e e x y x Quindi [ e x x dy dx [ y dx dy + [ e [ dx dy + dx dy. log y 7. [? 8. ( y y y }. f(x, y dx dy f(x, y dx dy, dove (x, y R y x y,

18 Quindi ( y f(x, y dx dy y ( x f(x, y dy dx + ( x f(x, y dy dx. 9. [?

19 Coordinate polari. Utilizzando le coordinate polari x ρ cos θ y ρ sin θ il dominio T (x, y R x, y x } si trasforma nel rettangolo R (ρ, θ R < ρ, θ π} θ y π T x + y R x ρ ed il determinante della matrice jacobiana della trasformazione è ρ. unque T e x +y dx dy π e ρ ρ dρ dθ R [ e ρ π e. π ( e ρ ρ dρ dθ. x x x (x + y dx dy. x + y Se indichiamo con e i domini rappresentati qui di seguito

20 possiamo scrivere x (x + y dx dy (x + y dx dy (x + y dx dy (x + y dx dy. x x Passando a coordinate polari centrate nell origine (x + y dx dy π ( ρ dρ dθ π π 8 mentre da cui (x + y dx dy ( π cos θ ρ dρ dθ π cos θ dθ π ( + cos θ dθ π, π ( + cos θ + cos θ dθ π ( cos θ + + cos θ dθ [ θ + π 8 sin θ + sin θ (x + y dx dy π 8 6 π 5 6 π.. Il dominio di integrazione è il cerchio di raggio r centrato nell origine. Passando a coordinate polari otteniamo I r r ( π e ρ ρ dθ dρ π e ρ r ( π e r. Quindi I ( lim I r lim π e r π. r + r +

21 . x dx dy Passando a coordinate polari x dx dy π [ ( π ρ(ρ cos θ dρ dθ cos θ dθ ρ dρ 8.. x + y dx dy Passando a coordinate polari π [ x + y ρ ρ dρ dθ π ρ ρ dρ π ρ(ρ dρ π (ρ d(ρ π (ρ π 8 π.

22 5. x + y dx dy π x + y dx dy ρ ρ dρ dθ π dθ ρ dρ π π (x + y dx dy ρ θ Sostituendo le coordinate polari x ρ cos θ, y ρ sin θ nell equazione della circonferenza x +y x ricaviamo che ρ varia tra e cos θ. Quindi [ π (x + y cos θ dx dy ρ ρ dρ dθ π ρ cos θ dθ π π π π π π π π cos θ dθ cos θ dθ π π π π + cos θ dθ π π π π + π. π (cos θ ( sin θ dθ ( cos θ sin θ dθ π π ( cos θ dθ π π cos θ dθ sin θ dθ

23 7. I (x y dx dy (x, y R x + y <, y }. π [ I ρ(ρ cos θ ρ sin θ dρ dθ [ π (cos θ sin θ dθ ρ dρ 8 π (cos θ sin θ dθ 8 [sin θ + cos θπ 6.

24 Altri cambiamenti di coordinate 8. I ( x a ( y dx dy, con b (x, y R ( x a + ( y } b. b a a b Il cambiamento di coordinate x aρ cos θ y bρ sin θ ha abρ come valore assoluto del determinante della matrice jacobiana. Quindi I π [ abρ ρ dρ dθ πab ρ ρ dρ πab ( ρ( ρ dρ πab ( ρ [ πab [ πab xy dx dy, con (x, y R ( x + ( y }, ovvero i punti interni all ellisse di semiassi e rispettivamente.

25 Passiamo a coordinate polari ellittiche x ρ cos θ y ρ sin θ ed otteniamo che lo jacobiano della trasformazione è 8ρ. Quindi xy dx dy 6 π [ π [ 6 sin θ (8ρ (ρ cos θ (ρ sin θ dρ ρ dρ π. cos θ sin θ dθ 6 π dθ sin θ d(sin θ. Va calcolato lo jacobiano della trasformazione x x(u, v, y y(u, v ossia Lo jcobiano è v + v v + x u v +, y u (v + u (v + uv v + xy u v (v +. u (v + + uv (v + u (v +.

26 } Inoltre si ha che (x, y a x + y a, b y x b corrisponde all insieme Ω (u, v a u a, b v b } e quindi xy Ω dx dy u (v + (v + u du dv du dv ( v Ω uv ( a b u du v dv log a log b log a log b. a b

27 Applicazioni. Ricordiamo che se µ(x, y è la densità di una lastra, le coordinate x B ed y B del baricentro si calcolano nel modo seguente x B M xµ(x, y dx dy y B M yµ(x, y dx dy dove la massa M è data da M µ(x, y dx dy. In particolare, se la lastra è omogenea di densità costante µ, M µ e le formule diventano dx dy M Area( x B Area( x dx dy y B Area( y dx dy. (a Calcoliamo l area di Area( dx dy ( y (y y dy y [ y dx y dy 6.

28 Quindi ( y x B x dx dy 6 x dx dy Area( y [ x y 6 (y y dy y [ y ( y , y B Area( y dx dy 6 ( y y dx dy y 6 y(y y dy 6 (y y dy [ y ( y 6. (b (x, y R x y x, x }. Area( ( x [ 9. x dy x x x dx ( x x dx + ( 8

29 Quindi x B [ 9 y B ( x x x x x ( x x x dy dx 9 ( 9 9 y dy dx 9 (x x x dx, [( x x dx [ ( x + x x + dx 9 [ 5 + ( x5 5 + x x + x (c Possiamo scrivere x + y x (x + y e dunque è il disco con centro in (, e raggio ; Per simmetria il centro di massa si trova sull asse x. Inoltre sappiamo che la sua ascissa è data da dove la massa M è data da M x M x µ(x, y dx dy µ(x, y dx dy, x + y dx dy. Passiamo a coordinate polari x r cos θ y r sin θ dove π θ π, mentre r varia tra e l estremo r, che si ottiene sostituendo

30 nell equazione x + y x. Avremo dunque r r cos θ, ovvero r cos θ e M π π ( cos θ r r dr dθ π cos θ dθ 6 π [ sin θ π sin θ π π π 6 π π [ r cos θ dθ ( sin θ cos θ dθ [ ( + Quindi x 9 π π π π π π π ( cos θ r cos θ r r dr dθ [ r cos θ cos θ dθ cos 5 θ dθ 9 π π ( sin θ cos θ dθ 9 ( + sin θ sin θ cos θ dθ π 9 [ sin 5 θ π sin θ + sin θ 5 π 9 [ ( Ricordiamo che il momento di inerzia di una lastra, di densità µ(x, y, rispetto ad un asse passante per P è dato dalla formula I M µ(x, yd(x, y dx dy, dove M è la massa totale e d(x, y è la distanza del punto (x, y dal punto fissato P. particolare, se la densità µ(x, y è costante, la formula si semplifica nel modo seguente In I d(x, y dx dy. (a Possiamo supporre che il punto P abbia coordinate ( R,. Quindi il punto (x, y dista dall asse di rotazione (x + R + y.

31 (x, y P unque il momento d inerzia è π R } I [(x + R + y dx dy ρ[(ρ cos θ + R + ρ sin θ dρ dθ [ π R (ρ + ρ R cos θ + ρr dρ dθ π ( R + R cos θ + R dθ R π πr. (b Sia x a + y b l ellisse. (x, y P La distanza di (x, y dall asse di rotazione è x + y e quindi il momento d inerzia è I (x + y dx dy, essendo l ellisse. Passando a coordinate polari ellittiche x aρ cos θ y bρ sin θ

32 si trova I π [ π ρ(a ρ cos θ + b ρ sin θ dρ dθ ab (a cos θ + b sin θ dθ π ( ab + cos θ + sin θ a + b dθ 8 ab(a + b π ab(a + b π. (c Sia il quadrato con due lati sugli assi, un vertice nell origine ed uno in (l, l. l (x, y P l Il momento d inerzia è I (x + y dx dy l + l l. [ l l (x + y dx dy ( l l + ly dy (d Sia il rettangolo di vertici (±a, ±b. b (x, y a P a b I ( (x + y dx dy ( a a bx + b b a + b a [ a b a dx b [ (x + y dy b x + b x ab(a + b. a a dx [ a a x y + y b b dx

33 (e Se rappresentiamo il triangolo T nel modo seguente b P h b avremo I T [ h h5 a (x + y dx dy x h a x + ( + h a. h [ h a x ( h a x h a x (x + y dy dy dx h a h + ( h a h (f L asse di rotazione sia x R. (x, y R asse

34 Il punto (x, y dista x + R dall asse e quindi I (x + R dx dy [ π R ( π R R π πr + πr 5πR. [ π R ρ(ρ cos θ + R dρ (ρ cos θ + R ρ + Rρ cos θ dρ dθ cos θ + R R R + R cos θ dθ + cos θ dθ + R π + dθ

35 Ulteriori integrali doppi. cosh(y x dx dy, K (x, y R y x, y + x }. K y x + y x y x + y x Pongo ξ y x η y + x x (ξ η y (ξ + η da cui ottengo che la matrice jacobiana della trasformazione è Quindi det J e dunque ( J. dx dy det J dξ dη dξ dη, inoltre il dominio di integrazione corrisponde a K (ξ, η R ξ, η }. Quindi l integrale si trasforma in cosh(y x dx dy cosh ξ dξ dη K K ( cosh ξ dξ dη dη cosh ξ dξ [η [sinh ξ [sinh sinh( sinh.

36 . I x y dx dy, (x, y R x + y, x + y } Quindi possiamo scrivere I xy dx dy + ( xy dx dy dove x }, x < }. Passando a coordinate polari, I (ρ cos θ (ρ sin θ ρ dρ dθ + E ( ρ cos θ (ρ sin θ ρ dρ dθ E ρ sin θ cos θ dρ dθ E ρ sin θ cos θ dρ dθ, E dove E (ρ, θ < ρ, π θ π }, E (ρ, θ < ρ, π θ π }, da cui ( π I ρ sin θ cos θ dθ π [ ρ [ π θ sin dρ π 8 [sin π ( sin π [ 8 8 ( ( π ρ π [ ρ [ π θ sin π sin π sin π ( sin θ cos θ dθ dρ

37 5. La funzione integranda si può scrivere come f(x, y min x + y, } x + y se x + y se x + y e quindi con I f(x, y dx dy x + y dx dy + dx dy (x, y x, y, x + y }, (x, y x, y, < x + y }. Passando a coordinate polari I ( π ρ dρ [ ρ ρ dθ π dρ + dθ + ( π [ ρ π + π [ π + ( 5 π. ρ dρ ρ dθ π dθ dρ 6. I A (y + e x dx dy, A (x, y x y x }

38 quindi I [ x (y + e x dy x [ x y + e y x dx dx [ x ( x + e x ( x (x e x (x e x ( x dx e x dx x e x dx. dx Il primo integrale è elementare, mentre il secondo lo risolviamo per parti nel modo seguente x e x dx x e x e sostituendo nell espressione precedente ( xe x dx x e x xe x e x dx e x (x x + I [e x e x (x x + [e x ( x + x e ( + e ( 8e. 7. I K xy x + y dx dy, K (x, y R x y } x, xy. π π 6 Passando a coordinate polari ρ cos θ ρ sin θ I K ρ ρ dρ dθ, con K (ρ, θ ρ π cos θ sin θ, 6 θ π } } (ρ, θ sin θ cos θ ρ π sin θ cos θ, 6 θ π.

39 Quindi I π π 6 π π 6 π π 6 ( sin θ cos θ sin θ cos θ [ ρ sin θ cos θ dθ π 6 π. ρ sin θ cos θ dρ sin θ cos θ dθ sin θ cos θ dθ