MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 18 giugno FILA A

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1 MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 8 giugno 23 - FILA A Nome e cognome Matricola I Parte. QUESITI PRELIMINARI. Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i vari passaggi e calcoli.. Si scriva l equazione della retta parallela a y = 4x + 2 e passante per il punto (, 4). 2. Si calcoli il valore della seguente espressione algebrica: 8 ( 5 5 ) = Data la funzione f(x) = ax 2 + 2(a + )x si dica per quali valori di a R si ha f( ) f().

2 II Parte. Per accedere alla seconda parte dell esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata e l esame risulterà insufficiente. PROBLEMA Nel gennaio 22 il prezzo di un azione Fiat era 7 euro, quello di un azione Enel 3 euro e quello di un azione Eni 6 euro. Avete investito 7 euro nelle tre società, acquistando un numero di azioni Enel pari al triplo del numero di azioni Eni e al doppio del numero di azioni Fiat. (a) Posto x = numero di azioni Fiat, y = numero di azioni Enel, z = numero di azioni Eni, si scrivano le tre equazioni che esprimono i legami tra le tre incognite. (b) Quanti azioni di ogni società sono state acquistate? Si risolva il sistema utilizzando il metodo di riduzione per righe di Gauss-Jordan. (c) Se avete venduto tutte le azioni nel gennaio 23, quando il prezzo di un azione Fiat era 9.5 euro, quello di un azione Enel 3.2 e quello di un azione Eni 8.5, a quanto è ammontato il vostro ricavo? QUESITI. Si dica se il seguente integrale converge e, nel caso, lo si calcoli: + 2e 2x dx 2. Si illustri la nozione di elasticità della domanda e si calcoli l elasticità E per la seguente funzione di domanda: Come varia E al variare di p? q(p) = K p Si dia la definizione di derivata prima di una funzione f : R R nel punto x = a e se ne illustri il significato geometrico. 2

3 SOLUZIONE I Parte. QUESITI PRELIMINARI. Una retta parallela a y = 4x + 2 ha la stessa pendenza m = 4 quindi è della forma y = 4x + b. Imponendo il passaggio per il punto (, 4) si ottiene b = quindi la retta richiesta è y = 4x ( 5 5 ) = ( ) 4 5 = 8 ( ) 45 = Poiché f( ) = a( ) 2 + 2(a + )( ) = a 2a 2 = a 2 f() = a() 2 + 2(a + )() = a + 2a + 2 = 3a + 2 la diseguaglianza è verificata se a 2 3a + 2 cioè 4a 4 o equivalentemente a. II Parte. PROBLEMA. (a) Dalle condizioni iniziali, si ottiene il seguente sistema lineare in 3 equazioni e 3 incognite: 7x + 3y + 6z = 7 y = 3z y = 2x o equivalentemente 7x + 3y + 6z = 7 y 3z = 2x y = 3

4 (b) Risolviamo il sistema applicando il metodo di Gauss-Jordan R 7R R 3R 2 3R 2 + R R 25 7 R 3 R R 3 7 R R da cui otteniamo la soluzione x = 3 y = 6 z = 2 (c) Il ricavo è: = 847 euro. QUESITI. + 2e 2x dx = lim K + K 2e 2x dx [ = lim e 2x ] K K + ( = lim e 2K + ) = K + Quindi l integrale improprio in questione converge e + 2e 2x dx =. 2. cfr. Waner-Costenoble, par L elasticità è data da E = q (p) p q. Per q(p) = kp 3, si ha q (p) = 3kp 4, quindi E = 3. Possiamo allora concludere che in questo caso l elasticità non dipende dal prezzo e la domanda è sempre elastica. 3. cfr. Waner-Costenoble, par 6.2,

5 MATEMATICA GENERALE Prova d esame del 8 giugno 23 - FILA B Nome e cognome Matricola I Parte: QUESITI PRELIMINARI. Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i vari passaggi e calcoli.. Si scriva l equazione della retta parallela a y = 3x + e passante per il punto (, 3). 2. Si calcoli il valore della seguente espressione algebrica: 6 ( 7 7 ) = Data la funzione f(x) = ax 2 + 2(a )x si dica per quali valori di a R si ha f( ) f(). 5

6 II Parte. Per accedere alla seconda parte dell esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata e l esame risulterà insufficiente. PROBLEMA Nel gennaio 22 il prezzo di un azione Fiat era 7 euro, quello di un azione Enel 3 euro e quello di un azione Eni 6 euro. Avete investito 72 euro nelle tre società, acquistando un numero di azioni Fiat pari al numero di azioni Enel e al doppio del numero di azioni Eni. (a) Posto x = numero di azioni Fiat, y = numero di azioni Enel, z = numero di azioni Eni, si scrivano le tre equazioni che esprimono i legami tra le tre incognite. (b) Quanti azioni di ogni società sono state acquistate? Si risolva il sistema utilizzando il metodo di riduzione per righe di Gauss-Jordan. (c) Se avete venduto tutte le azioni nel gennaio 23, quando il prezzo di un azione Fiat era 9.5 euro, quello di un azione ENEL 3.2 e quello di un azione Eni 8.5, a quanto è ammontato il vostro ricavo? QUESITI. Si dica se il seguente integrale converge e, nel caso, lo si calcoli: 3e 3x dx 2. Si illustri la nozione di elasticità della domanda e si calcoli l elasticità E per la seguente funzione di domanda: Come varia E al variare di p? q(p) = K p Si dia la definizione di derivata prima di una funzione f : R R nel punto x = a e se ne illustri il significato geometrico. 6

7 SOLUZIONE I Parte. QUESITI PRELIMINARI. Una retta parallela a y = 3x + ha la stessa pendenza m = 3 quindi è della forma y = 3x + b. Imponendo il passaggio per il punto (, 3) si ottiene b = quindi la retta richiesta è y = 3x. 2. Si calcoli il valore della seguente espressione algebrica: 6 ( 7 7 ) = 6 ( ) 42 7 = 6 ( ) 49 = Poiché f( ) = a( ) 2 + 2(a )( ) = a 2a + 2 = a + 2 f() = a() 2 + 2(a )() = a + 2a 2 = 3a 2 la diseguaglianza è verificata se a + 2 3a 2 cioè 4a 4 o equivalentemente a. II Parte. PROBLEMA. (a) Dalle condizioni iniziali, si ottiene il seguente sistema lineare in 3 equazioni e 3 incognite: 7x + 3y + 6z = 72 x = y x = 2z o equivalentemente 7x + 3y + 6z = 72 x y = x 2z = 7

8 (b) Risolviamo il sistema applicando il metodo di Gauss-Jordan R 7R R 7R R 2 2 R R 3 5 R 2 R 2 + 5R R 42 R R 8 5 R 3 R 2 8R R da cui otteniamo la soluzione x = 4 y = 4 z = 2 (c) Il ricavo è: = 878 euro. QUESITI. 3e 3x dx = lim K K 3e 3x dx [ = lim e 3x ] K K ( = lim e 3K ) = K Quindi l integrale improprio in questione converge e 3e 3x dx =. 2. cfr. Waner-Costenoble, par L elasticità è data da E = q (p) p q. Per q(p) = kp 4, si ha q (p) = 4kp 5, quindi E = 4. Possiamo allora concludere che in questo caso l elasticità non dipende dal prezzo e la domanda è sempre elastica. 3. cfr. Waner-Costenoble, par 6.2,