MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del 1 giugno FILA A

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1 MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del giugno FILA A Nome e cognome Matricola I Parte OBBLIGATORIA (quesiti preliminari: punto ciascuno). Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i vari passaggi e calcoli.. Si risolva l equazione: x 3 3x 2 + 2x = Si dica se la seguente identità è vera o falsa, mostrando i passaggi algebrici (2 x ) 2x+ = 4 x2 2 x. 3. Dare la definizione di logaritmo in base b di un numero x ed enunciare le proprietà algebriche dei logaritmi.

2 II Parte. Per accedere alla seconda parte dell esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata e l esame risulterà insufficiente. Problema (max 5 punti) Luigi ha un patrimonio di euro che vuole in parte conservare in forma liquida, in parte investire in obbligazioni in parte in azioni. Essendo un investitore prudente, vuole che l importo complessivo investito in obbligazioni e disponibile come liquidità sia il doppio dell importo investito in azioni. (a) Scrivere il sistema lineare che descrive le scelte di Luigi e dire se in base a tali esigenze è possibile individuare in modo univoco gli importi x, y e z da tenere rispettivamente in forma liquida, in obbligazioni e in azioni. (Non risolvere per sostituzione) (b) Determinare gli importi x, y e z secondo le indicazioni contenute nel testo e con l ulteriore condizione che la quota in forma liquida sia la minima possibile. Quesiti (max 4 punti ciascuno) (c) Scrivere l espressione analitica delle funzioni lineare ed esponenziale, descrivendone il significato dei parametri. Illustrare come sia possibile riconoscere l andamento lineare o esponenziale di una funzione a partire da una tabella di dati. (d) Cosa si può dire se una funzione reale di una variabile reale f ha derivata f > 0 in un intervallo I? Si calcoli la derivata di f(x) = log x x. (e) Calcolare (e x + x ) 2 dx. 2

3 SVOLGIMENTO. L equazione di terzo grado ha tre soluzioni x = 0, x = e x = E vera: (2 x ) 2x+ = 2 2x2 2 2 = 4 x2 2 x. 3. Cfr. Waner, Costenoble (2006), par Problema (a) Posto x la quota di patrimonio in forma liquida, y la quota investita in obbligazioni e z la quota investita in azioni, bisogna risolvere mediante l algoritmo di Gauss-Jordan il sistema lineare algebrico { x + y 2z = 0 x + y + z = 30000, che ammette come soluzione le infinite terne [20000 y, y, 0000] T, con y R. A causa del contesto, dovrà inoltre essere 0 y (b) La quota in forma liquida è x = y, con 0 y Il minimo si ha per y = (quota obbligazionaria). Le corrispondenti quote in forma liquida e in azioni sono x = 0 e z = Quesiti (c) Cfr. Waner, Costenoble (2006), par..3 e 5.2. (d) Cfr. Waner, Costenoble (2006), par f (x) = log x (e) Si tratta di un integrale improprio: [ lim e x ] b = lim b + x b + ( e b b + e + x 2. (e x + x ) b 2 dx = lim b + ) = 0 + e + = + e. (e x + x 2 ) dx = 3

4 MATEMATICA GENERALE - (A-D) Prova d esame del giugno FILA B Nome e cognome Matricola I Parte OBBLIGATORIA (quesiti preliminari: punto ciascuno). Riportare le soluzioni su questo foglio, mostrando i vari passaggi e calcoli.. Si risolva l equazione: 2x 3 4x 2 6x = Si dica se la seguente identità è vera o falsa, mostrando i passaggi algebrici 4 2x+ = 4 2 x. 3. Dare la definizione di logaritmo in base b di un numero x ed enunciare le proprietà algebriche dei logaritmi. 4

5 II Parte. Per accedere alla seconda parte dell esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata e l esame risulterà insufficiente. Problema (max 5 punti) Luigi ha un patrimonio di 5000 euro che vuole in parte conservare in forma liquida, in parte investire in obbligazioni in parte in azioni. Essendo un investitore propenso al rischio, vuole che l importo investito in azioni sia il doppio dell importo complessivo investito in obbligazioni e disponibile come liquidità. (a) Scrivere il sistema lineare che descrive le scelte di Luigi e dire se in base a tali esigenze è possibile individuare in modo univoco gli importi x, y e z da tenere rispettivamente in forma liquida, in obbligazioni e in azioni. (Non risolvere per sostituzione) (b) Determinare gli importi x, y e z secondo le indicazioni contenute nel testo e con l ulteriore condizione che la quota in obbligazioni sia la minima possibile. Quesiti (max 4 punti ciascuno) (c) Scrivere l espressione analitica delle funzioni lineare ed esponenziale, descrivendone il significato dei parametri. Illustrare come sia possibile riconoscere l andamento lineare o esponenziale di una funzione a partire da una tabella di dati. (d) Cosa si può dire se una funzione reale di una variabile reale f ha derivata seconda f > 0 in un intervallo I? Si calcoli la derivata seconda di f(x) = x log x. (e) Calcolare (e x + x ) 3 dx. 5

6 SVOLGIMENTO. L equazione di terzo grado ha tre soluzioni x = 0, x = 3 e x =. 2. E falsa: 4 2x+ = 4 x+/2 = 2 4 x 4 2 x. 3. Cfr. Waner, Costenoble (2006), par Problema (a) Posto x la quota di patrimonio in forma liquida, y la quota investita in obbligazioni e z la quota investita in azioni, bisogna risolvere mediante l algoritmo di Gauss-Jordan il sistema lineare algebrico { 2x + 2x z = 0 x + y + z = 5000, che ammette come soluzione le infinite terne [x, 5000 x, 0000] T, con x R. A causa del contesto, dovrà inoltre essere 0 x (b) La quota in obbligazioni è y = 5000 x, con 0 x Il minimo si ha per x = 5000 (quota di liquidità). Le corrispondenti quote in obbligazioni e in azioni sono y = 0 e z = Quesiti (c) Cfr. Waner, Costenoble (2006), par..3 e 5.2. (d) Cfr. Waner, Costenoble (2006), par f (x) = log x + x x = log x +, f (x) = x. (e) Si tratta di un integrale improprio: [ lim e x ] b b + 2x 2 = lim b + (e x + x 3 ) dx = (e x + x ) b 3 dx = lim b + ) = 0 + e + 2 = 2 + e. ( e b 2b 2 + e + 2 6