Esperimentazioni di Fisica 1. Prova scritta del 5 luglio 2016 SOLUZIONI

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1 Esperimentazioni di Fisica 1 Prova scritta del 5 luglio 2016 SOLUZIONI

2 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 2 of 6 10/09/ Punti) Quesito. Nella misura della costante di una molla con il metodo statico, è necessario pesare tre masse da applicare come carico crescente alla molla. Un gruppo di studenti pesa ciascuna delle tre masse m i, i = 1, 3) con una bilancia digitale con risoluzione 1 g. Ognuna delle tre pesate dà come risultato sul display della bilancia 10 g. Un altro gruppo pesa i pesi aggregati ovvero m 1, m 1 + m 2, m 1 + m 2 + m 3, ottenendo i risultati mostrati in tabella. Peso n. massa g) Tutte le misurazioni sono effettuate con la stessa bilancia nelle cui specifiche si legge che l incertezza da associare al risultato letto, dovuta alla taratura della bilancia, è il 2% della lettura. Valutare per ognuna delle due serie di misurazioni di m 1, m 1 +m 2, m 1 +m 2 +m 3 il valore dell incertezza totale, specificando le formule di propagazione delle incertezze utilizzate. Soluzione. [unc015] Misurazioni delle singole masse. L incertezza su ognuna delle tre pesate è data dalla somma in quadratura del contributo dovuto alla lettura u pari 1/ 12 = 0.29 g e al contributo dovuto alla taratura della bilancia u = = 0.20 g. Per la prima pesata l incertezza vale u m1 u = u 2 + u 2 = 0.35 g L incertezza sulla somma m 12 = m 1 + m 2 è data dalla formula della propagazione delle incertezze nella quale si deve tenere conto del coefficiente di correlazione ρ 1) delle incertezze dovute alla taratura. In formule m12 u m12 = u + 1 m12 u m 12 m 12 u m 1 m 2 = 2u 2 + 2u 2 = 0.57 g 2 per la somma di tre masse m 123 = m 1 + m 2 + m 3 )la formula diviene: u m123 = m123 =0.78 g m 1 u 2 + m123 u 2 + m123 m 3 u 2 +2 m 123 m 1 m 123 u 2 +2 m 123 m 1 m 123 m 3 u 2 +2 m 123 m 123 m 3 u 2 Nel caso in cui le pesate siano state fatte raggruppando le masse le incertezze sono calcolabili dalla seguente formula: u m = u m dove m è il risultato della misurazione. Sostituendo i valori numerici delle masse indicati nella tabella: u m1 = 0.35 g u m12 = 0.51 g u m123 = 0.70 g

3 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 3 of 6 10/09/ Punti) Quesito. Un fascio di protoni p) è contaminato al 10% da una componente di altre particelle pioni π). Due rivelatori C 1 e C 2 di caratteristiche uguali sono posti sulla linea del fascio come indicato in figura. I rivelatori sono in grado di riconoscere il tipo delle particelle con le efficienze descritte nel seguito. Se a particella incidente è un protone p) i rivelatori la riconoscono come tale nel 95% dei casi e nel 5% dei casi la classificano erroneamente come un pione π). Se a particella incidente è un pione π) i rivelatori la riconoscono come tale nel 70% dei casi e nel 30% dei casi la classificano erroneamente come un protone p). Se in un evento entrambi i rivelatori indicano che è passato un pione qual è la probabilità che sia effettivamente un pione la particella rilevata? C 1 C 2 Soluzione. [tby009] Indichiamo con Rp i l evento il rivelatore i, i = 1, 2) indica è passato un protone e Rπ i l evento il rivelatore i, i = 1, 2) indica è passato un pione. Le efficienze dei due rivelatori sono: Se la particella è un protone P Rp i p) = 95% P Rπ i p) = 0.05 i = 1, 2) Se la particella è un pione P Rp i π) = 30% P Rπ i π) = 0.70 i = 1, 2) Calcoliamo la probabilità che una una particella del fascio sia un pione oppure un protone. Partendo dal dato sulla contaminazione del fascio P π)/p p) = 0.100, si ricava P π) = e P p) = La probabilità che entrambi i rivelatori indichino che è passato un pione è: P Rπ 1 π 2 ) = P Rπ 1 p)p Rπ 2 p)p p) + P Rπ 1 π)p Rπ 2 π)p π) = = = La probabilità cercata è P π Rπ 1 π 2 ). Per il teorema di Bayes: P π Rπ 1 π 2 ) = P Rπ 1π 2 π)p π) P Rπ 1 π 2 ) = P Rπ 1 π)p Rπ 2 π)p π) P Rπ 1 π 2 ) = 0.70) =

4 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 4 of 6 10/09/ Punti) Quesito. Si vuole misurare l intensità e l uniformità dei raggi cosmici in due differenti siti istallando in ogni sito un contatore di raggi cosmici. I contatori istallati nei due siti hanno superfici rispettivamente S 1 = 0.36 m 2 e S 2 = 1.40 m 2. In uno stesso intervallo temporale t = 30 s, i due contatori misurano rispettivamente N 1 = 2212, N 2 = 8873 conteggi. Dai dati acquisiti si stimi l intensità dei raggi cosmici supponendola uniforme nei due siti. Successivamente, si testi se l ipotesi dell uniformità dell intensità dei raggi cosmici è verificata. Si assuma che i contatori abbiano efficienza unitaria e siano orizzontali; si trascuri l incertezza sull intervallo temporale e sulle dimensioni dei contatori. Soluzione. [chi2007] Nell ipotesi di intensità uniforme dei raggi cosmici, i conteggi dei duecontatori in uno stesso intervallo di tempo devono essere proporzionali alla loro superficie. L intensità dei raggi cosmici stimata dai due contatori è: I 1 = N 1 N1 ± = ± 4.4) s 1 m 2, I 2 = N 2 N2 ± = ± 2.2) s 1 m 2 ts 1 ts 1 ts 2 ts 2 La stima migliore dell intensità dei raggi cosmici I o si ottiene come media pesata delle singole stime: Io = 1 S 1 + S 2 t S1 2 = s 1 m 2 + S2 2 N 1 N 2 Per il test sull uniformità dell intensità dei raggi cosmici applichiamo il test del χ 2 confrontando il valore dell intensità stimata I o con i valori ottenuti dalle due misurazioni I 1 e I 2 : χ 2 = I 1 I o u 2 I 1 + I 2 I o u 2 I 2 = 1.7 con un grado di libertà in quanto il parametro I o è stato valutato dai dati. Con ν = 1 dalle tavole si ricava 0.2 > P χ 2 > 1.7) > 1.8 dato che conferma l ipotesi di uniformità dell intensità dei raggi cosmici Punti) Quesito. Si vuole misurare il potere di assorbimento di una lastra di piombo dello spessore di x = 5.0mm come attenuatore di una radiazione gamma con l apparato sperimentale mostrato in figura. I due contatori C 1 e C 2 hanno le stesse dimensioni ma hanno efficienze differenti, rispettivamente ɛ 1 = 0.90 e ɛ 2 = 0.80 si ricorda che l efficienza è la probabilità che il contatore colpito dalla radiazione dia un segnale). I due contatori sono posti alla stessa distanza dalla sorgente. In un intervallo temporale T i due contatori C 1 e C 2 contano rispettivamente N 1 = 3460 e N 2 = 1281 eventi. Tenendo conto che l assorbimento della radiazione gamma si esprime come: stimare µ con la sua incertezza. Ix) = I o e µx 1) Si consideri l emissione gamma come isotropa e che, una volta assorbita, la radiazione scompaia. Soluzione. [mea001] Il contatore C 1 conta con efficienza ɛ 1, il numero medio N o di raggi gamma che raggiungerebbero il contatore C 2 in un intervallo di tempo t se non fosse presente l assorbitore. Tenendo inoltre conto che i decadimenti radioattivi sono governati dalla statistica di Poisson potremo scrivere: N o = N 1 N1 ± = 4325 ± 74 ɛ 1 ɛ 1

5 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 5 of 6 10/09/2015 C 1 C 2 Il contatore C 2 conta con efficienza ɛ 2 = 0.80 il numero medio dei gamma N na che non sono assorbiti dal piombo. Analogamente a C 1, si ha: N na = N 2 N2 ± = 1601 ± 45 ɛ 2 ɛ 2 Utilizziamo la 1) per il calcolo di µ: µ = 1 x ln N o = = m 1 N na L incertezza su µ, trascurando quella su x si ottiene dalla formula di propagazione delle incertezze indipendenti N 1 e N 2 sono misurazioni indipendenti ottenute da eventi indipendenti). I coefficinti di sensibilità sono: µ = 1 1 µ = 1 1 N o x N o N na x L incertezza su µ si scrive come: µ u µ = N o µ u 2 N o + u 2 N N na = 1 na x N na = 6.5 m Risultato finale: µ = ± 6.5) m Punti) Quesito. Siano k 1 e k 2 le costanti di due molle differenti. Alle due molle collegate in serie è applicata la forza F. Esprimere il valore dell allungamento in termini di F, di k 1 e di k 2. Soluzione. pagina 5. [phy001] Vedi appunti on line: Forze Elasiche e Molla Elicoidale esercizio n. 1 a 6. 6 Punti) Quesito [mq001]. La relazione attesa tra le grandezze X e Y è: Y = bx. Calcolare con il metodo dei minimi quadrati la formula della stima del parametro b ottenuta da N coppie di punti sperimentali x i, y i ± u i ) delle grandezze X e Y.

6 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 6 of 6 10/09/2015 Soluzione. [mq001] La stima del parametro b con il criterio dei minimi quadrati si ottiene minimizzando l espressione: y i bx i R = u 2 i = w i y i bx i dove, per alleggerire la notazione, si sono introdotti i pesi w i = 1/u 2 i. Derivando R rispetto al parametro b, si ha: dr db = d db N ) w i y i bx i = 2 w i y i bx i )x i = 2 y i x i w i b w i x 2 i da cui N b = w iy i x i N w ix 2 i