Se la funzione è analiticamente invertibile, estratto q, si può ricavare x = x(q).

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1 La tecnica Monte Carlo Il metodo Monte Carlo è basato sulla scelta di eventi fisici con una probabilità di accadimento nota a priori. sia p(x) la distribuzione di probabilità con la quale si manifesta la variabile x. Esistono routine in grado di generare sequenze di numeri (pseudo)-casuali nell intervallo 0-1 Dobbiamo associare l estrazione del numero casuale 0 q 1 al valore della grandezza x q( x) = x xmin xmax xmin p( x)dx p( x)dx Se la funzione è analiticamente invertibile, estratto q, si può ricavare x = x(q). Per esempio, si deve scegliere il punto di interazione di un fotone nella materia. Supponiamo che il fotone sia stato generato con energia E γ nel punto x 0, y 0, z 0 e la sua direzione di volo sia data da e φ.

2 La sua traiettoria in forma parametrica sarà: x = x 0 + u t y = y 0 + v t dove: u = sin ϑ cos ϕ, v = sin ϑ sin ϕ, w = cos ϑ z = z 0 + w t Sappiamo che p x = e µx rappresenta la probabilità che il fotone percorra un tratto x senza aver interagito e scriviamo: q = t 0 0 e µx dx e µx dx = 1 e µt Da cui, estratto uniformemente q nell intervallo 0-1, ricaviamo la distanza di interazione t: t = 1 µ ln ( 1 q ) Il valore di µ è noto e dipende dall energia E γ del fotone

3 Dobbiamo ora scegliere che tipo di interazione subisce, scegliendo tra effetto fotoelettrico, compton e produzione di coppie. Note le sezioni d urto σ ph, σ C e σ pp all energia E γ del fotone, scriviamo: p ph = σ ph σ ph + σ C + σ pp p C = σ C σ ph + σ C + σ pp p pp = σ pp σ ph + σ C + σ pp dividiamo l intervallo 0-1 in tre segmenti contigui di lunghezza p ph, p C e p pp e l estrazione di un nuovo numero casuale 0 q 1 stabilirà il tipo di processo. Supponiamo che si tratti di effetto Compton. Dobbiamo allora generare in direzione (scelta in base alla sezione d urto differenziale di Klein-Nishina) rispetto alla direzione del fotone incidente un fotone di energia data dalla formula: ' E γ = 1 + E γ m e c 2 E γ ( 1 cos ϑ ) e un elettrone di energia e direzione opportune.

4 L angolo azimuthale del fotone diffuso viene scelto uniformemente tra 0 e 2π estraendo un nuovo numero a caso q e scrivendo: φ γ = 2π q. L angolo azimuthale dell elettrone sarà quindi: φ e = φ γ - π. Fotone ed elettrone vengono seguiti finchè la loro energia è sotto un valore di soglia E min scelto a priori (E min deve essere minore delle risoluzione energetica scelta). Stessa tecnica si applica al decadimento di eventuali particelle: i prodotti del decadimento vengono seguiti uno ad uno fino al loro assorbimento o alla loro fuoriuscita dal volume sensibile dei rivelatori. Il metodo di tracking dipende dal tipo di particella. Nel caso di particelle cariche pesanti si valuterà l energia persa per ionizzazione, nel caso di elettroni si terrà in considerazione anche il fenomeno della bremsstrahlung, dove anche i fotoni irraggiati verranno successivamente seguiti uno ad uno.

5 Se la formula: q( x) = x xmin xmax xmin p( x)dx p( x)dx non è analiticamente invertibile (vedi sezione d urto di Klein-Nishina dell esempio precedente) si procede al metodo della doppia estrazione. Nota la funzione di probabilità p(x), per esempio: si estraggono uniformemente coppie di numeri (x,y) compresi nel dominio della funzione

6 Se il punto cade al di sotto della curva ( ) l evento è buono e si assegna il valore x alla variabile, altrimenti ( ) si estrae un nuovo valore casuale. Negli esempi che vedremo sono state simulate due situazioni sperimentali diverse: 1) misura della reazione 3 He + 3 He 4 He + 2p 2) misura della reazione π + N N + nπ

7 3 He + 3 He 4 He + 2p È stata simulata la sovrapposizione negli spettri sperimentali di queste due reazioni: 3 He + 3 He 4 He + 2p (1) d + 3 He 4 He + p (2) La prima è quella che si vuole studiare, la seconda reazione costituisce un fondo indesiderato ed avviene perchè nel fascio 3 He +, a causa di piccolissime impurezze del gas ( 10-5 ), esistono molecole HD + aventi uguale rapporto e/m e quindi non selezionate ed eliminate dal magnete di analisi. Nel bersaglio gassoso di 3 He la molecola HD si rompe ed il deutone produce la reazione nucleare indesiderata (2). Nonostante il rapporto delle correnti HD + / 3 He + sia 10-5, la reazione (2) ha una sezione d urto enormemente maggiore, tanto che nello spettro finale rivelato il rapporto segnale/fondo è dell ordine di 10-3.

8 π + N N + nπ In questo caso la simulazione prevede, con pesi diversi, la possibilità di più stati finali: N + 2π 40% N + 3π 40% N + π 0 3% π + N N + η 2% N + ρ 5% N + ω 4% π + Δ 6% I primi due canali non contemplano la creazione di risonanze e sono puro spazio delle fasi, nei successivi cinque il mesone o la Δ prodotti decadono e i prodotti di decadimento vengono rivelati.

9 In entrambi i casi si suppone (molto ottimisticamente!!) di avere effettuato una preanalisi dei dati sperimentali e di aver selezionato i soli eventi ricostruibili. In ciascun evento, per ogni particella rivelata sono memorizzati i valori del 4-vettore (E, p) che prevede una misura sia del momento p (ossia p,, φ p x, p y e p z ), che dell energia cinetica T della particella. Da queste informazioni si ricava la loro massa m: m = p2 T 2 2T ed è quindi possibile ricostruire il 4-vettore (E,p) di ogni particella rivelata. Mediante questi dati, come vedremo, è possibile calcolare la massa invariante delle varie risonanze.