Prima prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA II. 12 Marzo 2008 Compito A. 1 (punti 3)

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1 anno accademico Prima prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA II Marzo 008 Compito A (punti ) y = x + xy + y x. (punti 4) y + y x = ln x x y. (punti ) y = y + y ln y. 4 (punti 6) Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy: y + y = cos x y(0) = 0 y (0) = 0 y (0) = 0.

2 5 (punti 4) y + y x + y x = x. 6 (punti ) Stabilire gli insiemi di convergenza assoluta, totale ed uniforme della seguente serie : + (x + 5) n n (n + ). n=0 7 (punti 4) Calcolare e x dx con un errore inferiore a (punti ) Studiare sull intervallo [, + [ la convergenza della successione di funzioni{f n } definite dalla legge n f n (x) = + n x per ogni x lr, per ogni n IN.

3 anno accademico Prima prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA II Marzo 008 Compito B (punti ) y = x + xy. x y (punti 4) y + 8 x y = ex x y. (punti ) y = y + y 5. 4 (punti 6) Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy: y 8y = xe x y(0) = 0 y (0) = 4 y (0) =.

4 5 (punti 4) y y x + y x =. 6 (punti ) Stabilire gli insiemi di convergenza assoluta, uniforme e totale della seguente serie : n (x ) n. n! n=0 7 (punti 4) Calcolare cos(x ) dx con un errore inferiore a (punti ) Studiare sull intervallo [, + [ la convergenza della successione di funzioni{f n } definite dalla legge nx f n (x) = + n x per ogni x lr, per ogni n IN. 4

5 Stabilire se la seguente funzione Seconda prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA II f(x, y) = è differenziabile in (0, 0). 8 Maggio 008 punti { x + y (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) punti 4 Determinare i punti di estremo relativo della funzione f(x, y) = x y e x+y. punti 4 Determinare gli estremi relativi della funzione f(x, y) = y sulla curva di equazione x + xy + y + 4x = 0. Si calcoli l area della regione piana 4 punti 5 D = {(x, y) lr : x + y y 0, x + y x 0}. 5

6 5 punti 5 Calcolare il volume del solido delimitato superiormente dalla superficie sferica di equazione x + y + z z = 0 e inferiormente dalla superrficie conica z = x + y. 6 punti 5 Calcolare dove ω γ ω(x, y) = y cos x y dx x y cos x y dy, dove γ è la curva il cui sostegno coincide con il grafico della funzione y = cos x + sull intervallo [0, π] orientata da P 0 = (0, 4) a P = (π, 4). 7 punti 4 Calcolare l area della superficie laterale del cono z = x + y compreso tra i piani z = 0 e z =. 6

7 Giugno 008 Determinare gli insiemi di convergenza uniforme, totale ed assoluta della serie: + ( + 5 n ) x n n! n= Risolvere la seguente equazione : y + y + y = e x sin x Determinare gli estremi relativi della seguente funzione: xy f(x, y) = + x 4 + y 4 4 Calcolare T (x + y ) dxdydz dove T = {(x, y, z, ) lr : x + y + z 4a, x + y a } Determinare l area della superficie laterale del dominio 5 T = {(x, y, z, ) lr : x + y 4, 0 z } Calcolare γ ω dove 6 ω = ( + x)e x+y dx + (xe x+y + y) dy e γ è l arco di circonferenza di centro (, ) e raggio orientato da (, 0) a (, ). 7

8 8 Luglio 008 Determinare gli insiemi di convergenza uniforme, totale ed assoluta della serie: + (x ) n n ln n n= Risolvere il seguente problema di Cauchy : y = yy y(0) = 0 y (0) =. Determinare gli estremi relativi della seguente funzione: Calcolare f(x, y) = x y ( x y) D 4 [x + y (z ) ] dxdydz dove D = {(x, y, z, ) lr : z, x + y (z ) } Calcolare γ 5 (xy y )dx + (x y xy + )dy dove γ è l arco di spirale di Archimede ρ = θ con θ [0, π 4 ]. Calcolare il seguente integrale (x + y )dσ S dove S = {(x, y, z, ) lr : x + y =, z [0, ]} 6 8

9 Settembre 008 Determinare gli insiemi di convergenza uniforme, totale ed assoluta della serie: + n= sin n (x 5)n Risolvere la seguente equazione differenziale: y = xy + y Determinare gli estremi della funzione: soggetti al vincolo Calcolare f(x, y) = xy x xy + y = 0 T 4 x x + y dxdy dove T = {(x, y) lr : x, x y x } Calcolare γ 5 x + y x dx + (x + xy) (x + xy) + y dy dove γ è il grafico della funzione y = x con x [, 4]. Calcolare l area della superficie delimitata dal paraboloide di equazione z = x + y e dai piani z = 0 e z =. 6 9

10 9 Ottobre 008 Determinare gli insiemi di convergenza uniforme, totale ed assoluta della serie: + x n ( n n ) n n= Risolvere la seguente equazione differenziale: y + y + = 0 Determinare gli estremi della funzione: soggetti al vincolo y = x. 4 Calcolare f(x, y) = T x + y e x +y z dxdydz dove T = {(x, y, z) lr : x + y z } 5 Calcolare γ (ye x e y ) dx + (e x xe y ) dy dove γ è la curva avente come sostegno il grafico della funzione y = sin x con x [0, π ] orientato da (0, 0) a ( π, ). 6 Calcolare l area della superficie di equazioni parametriche: x = uv y = u + v z = u v (u, v) K = {(u, v) lr : u + v, u 0, v 0} 0

11 6 Gennaio 009 Determinare gli insiemi di convergenza uniforme, totale ed assoluta della serie: + x n n( + n) n= Risolvere la seguente equazione differenziale: x y + xy + y = ln x Determinare gli estremi della funzione: f(x, y) = sull insieme {(x, y) lr : x + y }. 4 Calcolare T x + y x y dxdydz dove T = {(x, y, z) lr : x + z 0 y } 5 Calcolare γ + y x + y dx + x x + y dy dove γ + è la curva avente come sostegno la circonferenza di centro (0, 0) e raggio percorsa in verso antiorario. 6 Calcolare l area della superficie laterale del cilindro retto di raggio r ed altezza h.

12 0 Febbraio 009 Determinare gli insiemi di convergenza uniforme, totale ed assoluta della serie: + n n! (x )n n=0 Risolvere la seguente equazione differenziale: y 5y + 6y = (x + )e x + xe x Calcolare T dxdydz dove T = {(x, y, z) lr : x + y 4 x + y z } 4 Calcolare γ (x y sin x) dx + (x + ln y) dy dove γ è la curva avente come sostegno l arco di circonferenza di centro (0, ) e raggio di estremi (, ) e (0, ) orientato da (, ) a (0, ). 5 Calcolare l area della superficie di equazione z = x + y delimitata dai piani z = 0 e z =.

13 anno accademico Marzo 009 Determinare gli insiemi di convergenza semplice ed uniforme della serie n= e n n (4 x)n. Determinare gli estremi relativi della funzione f(x, y) = xye x +y. Risolvere il seguente problema di Cauchy: x y xy + 4y = 0 y(e) = e y (e) = 0 4 Determinare il volume del solido compreso tra la sfera x + y + z = a e il cilindro x + y = ax. Calcolare γ 5 (e x sin y + y)dx + (e x cos y + x y)dy dove γ è l ellisse di equazione 4x + y = 4 percorsa in senso antiorario.