Università degli Studi di Salerno - Facoltà di Ingegneria Matematica II - Prova Scritta - 09/06/2006

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1 Matematica II - Prova Scritta - 09/06/2006 f(x, y) = (y x)e x2 y 2, 2. Risolvere le seguenti equazioni differenziali: y 2 = 1 1 (2x y) 2, y 2y + y 2y = e x (x 1). 3. Calcolare il seguente integrale curvilineo { ye x + e x y x = t 1 + cos2 x ds γ : y = sin t γ t [0, π/2]. 4. ata la forma differenziale ω(x, y) = y a) verificare se è chiusa; b) verificare se è esatta; [ ( y ] [ ( y ] log 1 dx + x log + 1 dy, x) x) c) nel caso sia esatta determinarne una primitiva; e) calcolare il lavoro che il campo vettoriale associato compie per spostare il punto materiale lungo la curva y = x dal punto P (1, 1) al punto Q(2, 5). 5. Calcolare il seguente integrale doppio y arctan x dxdy dove è il dominio rappresentato in figura

2 Matematica II - Prova Scritta - 07/07/2006 f(x, y) = 2x 2 y + xy 2 2xy, 2. Risolvere le seguenti equazioni differenziali: y = 3y2 4xy 2x 2 2xy 5x 2, y + 4y = sin 2x + cos 2x + e 2x. 3. Calcolare il seguente integrale doppio y (1 + x) dxdy 2 dove = {(x, y) R 2 : 19 x2 + y 2 14 ; 3x y 0; x 0 }. 4. Calcolare la lunghezza dell arco di curva di equazione y = log(1 x 2 ) avente per estremi i punti di ascisse x = 0, x = Stabilire per quali valori della costante a la forma differenziale è esatta e determinare ω(x, y) = x y x dx 1 2 a(y x 2 ) dy a) le primitive; b) ω, dove γ è la curva di equazione cartesiana y = 3 + sin x, con x [0, π/2], γ percorsa nel verso delle x crescenti.

3 Università degli Studi di Salerno- Facoltà di Ingegneria Matematica II- Prova Scritta- 08/09/2006 f(x,y)=x 2 y 2 +x 3 y 2 x 2 +2y 2, calcolare eventuali punti di massimo e minimo relativi e di sella. 2. Risolvere le seguenti equazioni differenziali: 2xy y 2 logx 2y=0, y y +y y=e x (1+sinx). 3. Calcolare la lunghezza dell arco di curva di equazione y = log ex +1 e x 1 estremiipuntidiascissex=1,x=2. avente per 4. Stabilire per quali valori della costante a la forma differenziale è esatta e determinare ω(x,y)= (a+x2 )dy 2xydx 1+y 2 +2x 2 +x 4 a) le primitive; b) ω,doveγèl arcodicurvadiequazionecartesianax 2 +y 2 ( 3+1)y+ 3=0, γ traipuntia=(0,1)eb=(0, 3),percorsanelversodellexcescenti. 5. Calcolare il seguente integrale doppio xsin x 2 y dxdy dovea={(x,y) R 2 :0 x 1; 0 y 1}. A

4 Matematica II - Prova Scritta - 18/04/2007 f(x; y) = y 2 2xy x 2 2y + 6x; 2. Risolvere le seguenti equazioni di erenziali: y 0p x + y (sin p x) log y = 0; y 00 2y 0 + y = 2e x : 3. dato il dominio limitato dalle rette y = 1, y = 2, x = 4 e dalla curva di equazione x = y 2, calcolare il seguente integrale: x log y dxdy. 4. Calcolare il seguente integrale curvilineo y cos x ds; dove è la parte del gra co della funzione y = sin x compresa tra i punti di ascisse =6 e =3. 5. Stabilire se la forma di erenziale p y!(x; y) = 1 + x 2 y dx + x 2 p y (1 + x 2 y) dy è esatta; inoltre a) determinarne una primitiva; b) determinare!; dove è la parte di bisettrice di primo e terzo quadrante compresa tra i punti di ascisse 0 e 1.

5 Matematica II - Prova Scritta - 15/01/2007 f(x; y) = 2 sin x cos x + 2 sin y cos y; 2. Risolvere le seguenti equazioni di erenziali: 3xy 0 = y (1 + x sin x 3y 3 sin x) ; y y 00 = x xe x : 3. Calcolare il seguente integrale doppio jyj (x 2 + y 2 ) dxdy 2 dove = (x; y) 2 R 2 : 1 x 2 + y 2 4x; jyj p 3x : 4. Calcolare il seguente integrale curvilineo x 2 ds; dove è la circonferenza di centro C (1; 0) e raggio r = 1; percorsa in senso orario. 5. Stabilire se la forma di erenziale!(x; y) = x p x2 + 2y dx + 1 p x2 + 2y dy è esatta e a) determinare le primitive; b) determinare!; dove è la curva di equazioni parametriche (t) = x (t) = e 3t + 1 y (t) = log 2t + 1 ; t 2 [1; 2] :

6 Matematica II - Prova Scritta - 5/02/2007 f(x; y) = x 4 + y 4 2x 2 + 4xy 2y 2 ; calcolare eventuali punti di massimo e minimo relativi e di sella. 2. Risolvere i seguenti problemi di equazioni di erenziali:risolvere i seguenti problemi di equazioni di erenziali: ( y x y = x sin(x) 3+cos(x) y3 y (1) = 1; 8 >< >: y 00 3y 0 18y = e 2x ; y (0) = 0; y (x) = 0: lim x!+1 3. Calcolare il seguente integrale doppio jxj + y (x 2 + y 2 ) 2 dxdy dove = f(x; y) 2 R 2 : 1 x 2 + y 2 4; y 0g : 4. Calcolare la lunghezza della curva di equazioni: : x (t) = R t 0 e2s (e s sin s 2 + cos s 2 ) ds y (t) = R t 0 e2s (e s cos s 2 sin s 2 ) ds t 2 [0; 1] 5. Stabilire se la forma di erenziale!(x; y) = x x + y dx + y x + y dy è esatta nel suo insieme di de nizione e determinare, a) le primitive,se esistono; b)!; dove è l arco di curva descritto in gura.