Gruppo esercizi 1: Dominio [E.1] Disegnare nel piano cartesiano il dominio della funzione

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1 Gruppo esercizi 1: Dominio [E.1] Disegnare nel piano cartesiano il dominio della funzione [E.2] Disegnare nel piano cartesiano il dominio della funzione ( 4 x 2 y 2) ) (1 x 2 y2 y + x y ex y y x + 2. [E.3] Disegnare nel piano cartesiano il dominio della funzione ) (1 x2 4 y2 x2 y. 9 y + 2 [E.4] Disegnare nel piano cartesiano il dominio della funzione ) (1 x2 log x y 4 y2. y + x 1 [E.5] Disegnare nel piano cartesiano il dominio della funzione ) (1 x2 9 y2 y e x. 4 x + 1 [E.6] Disegnare nel piano cartesiano il dominio della funzione ( 9 x 2 y 2) y log x x + 3 y. Gruppo esercizi 2: Derivate parziali [E.7] Data la funzione f(x, y) = xe x2 +y 2) calcolare la derivata direzionale f v (1, 0) lungo la direzione del vettore v = (2, 1). [E.8] Data la funzione f(x, y) = ye x+y2 2) calcolare la derivata direzionale f v (1, 0) lungo la direzione del vettore v = (1, 2). [E.9] Data la funzione f(x, y) = x + y cos(xy 2 ) 2) calcolare la derivata direzionale f v (1, 0) lungo la direzione del vettore v = ( 1, 2). [E.10] Data la funzione f(x, y) = y + x sin(x 2 y) 2) calcolare la derivata direzionale f v (1, 0) lungo la direzione del vettore v = ( 2, 1). [E.11] Data la funzione f(x, y) = x log(1 + x 2 y 2 ) + 3x 2) calcolare la derivata direzionale f v (1, 0) lungo la direzione del vettore v = (1, 2). [E.12] Data la funzione f(x, y) = y log(1 + (x + y) 2 ) + 2y 2) calcolare la derivata direzionale f v (1, 0) lungo la direzione del vettore v = (2, 1). [E.13] Data la funzione f(x, y) = cos(xy) sin y 1

2 2) calcolare la derivata direzionale f v (1, 0) lungo la direzione del vettore v = (1, 2). Gruppo esercizi 3: Eqdiff a variabili separabili [E.14] Risolvere per separazione di variabili il seguente problema di Cauchy y = yx cos x y(π) = 1 [E.15] Risolvere per separazione di variabili il seguente problema di Cauchy y = y log x y(1) = 2 [E.16] Risolvere per separazione di variabili il seguente problema di Cauchy y = yx sin x y(π) = 1 [E.17] Risolvere per separazione di variabili il seguente problema di Cauchy y = y log(x + 1) y(π) = 1 x (sarà utile ricordare che 1+x = x ). Gruppo esercizi 4: Eqdiff lineari 1ord [E.18] Determinare l integrale generale dell equazione differenziale x x y + x [E.19] Determinare l integrale generale dell equazione differenziale x2 x y + x2 [E.20] Determinare l integrale generale dell equazione differenziale 2x 4x y x [E.21] Determinare l integrale generale dell equazione differenziale 3x2 2x y + x2 [E.22] Determinare l integrale generale dell equazione differenziale 4x x y x 2

3 Gruppo esercizi 1: Eqdiff 2ord [E.1] Determinare la soluzione del problema di Cauchy y 3y 4y = 3x 2 [E.2] Determinare la soluzione del problema di Cauchy 16y + y = e x [E.3] Determinare la soluzione del problema di Cauchy 4y 4y + y = 1 2x [E.4] Determinare la soluzione del problema di Cauchy y + 9y = 1 + x [E.5] Determinare la soluzione del problema di Cauchy y + 3y 4y = 2x + 2 [E.6] Determinare la soluzione del problema di Cauchy 9y 6y + y = e x Gruppo esercizi 2: Integrali doppi [E.7] Disegnare il dominio D = (x, y) R 2 ; 0 x 1, 1 x 2 y 1 + x 2 } sul piano cartesiano e calcolare l integrale doppio della funzione f(x, y) = xy 3 in D. [E.8] Disegnare il dominio D = (x, y) R 2 ; 0 y 1, y 2 x y 2 } sul piano cartesiano e calcolare l integrale doppio della funzione f(x, y) = xy 2 in D. [E.9] Disegnare il dominio D = (x, y) R 2 ; 0 x 1, e x y e x } sul piano cartesiano e calcolare l integrale doppio della funzione f(x, y) = x 2 y in D. [E.10] Disegnare il dominio D = (x, y) R 2 ; 0 y 1, e y x e y } sul piano cartesiano e calcolare l integrale doppio della funzione f(x, y) = x 3 y in D. Gruppo esercizi 3: Campi vettoriali [E.11] Dire se il campo vettoriale F (x, y) = (ye xy + 2xy, x 2 + 2y + xe xy ) Disegnare il sostengno della curva γ(t) = (2 cos t, sin t), t [0, π] e calcolare il lavoro del campo F lungo il cammino γ. [E.12] Dire se il campo vettoriale F (x, y) = (2x + y 2 y sin(xy), 2xy x sin(xy)) par Disegnare il sostengno della curva γ(t) = (t, 2 2t), t [0, 1] e calcolare il lavoro del campo F lungo il cammino γ. 1

4 [E.13] Dire se il campo vettoriale F (x, y) = (e x + 2xy 2 + y cos(xy), x cos(xy) + 2x 2 y) Disegnare il sostengno della curva γ(t) = (cos t, 2 sin t), t [0, π] e calcolare il lavoro del campo F lungo il cammino γ. [E.14] Dire se il campo vettoriale F (x, y) = (e x+y + 2xy 2, cos y + 2x 2 y + e x+y ) Disegnare il sostengno della curva γ(t) = (2 2t, t), t [0, 1] e calcolare il lavoro del campo F lungo il cammino γ. [E.15] Dire se il campo vettoriale F (x, y) = (cos x + 3x 2 y sin(x + y), x 3 sin(x + y)) Disegnare il sostengno della curva γ(t) = (π, t), t [0, π/2] e calcolare il lavoro del campo F lungo il cammino γ. Gruppo esercizi 4: Punti stazionari 2d [E.16] Studiare i punti stazionari della funzione f(x, y) = 5x y + x 2 y + y 2. [E.17] Studiare i punti stazionari della funzione f(x, y) = 14y 5x x 2 y + y 2. [E.18] Studiare i punti stazionari della funzione f(x, y) = 32x 2 + 7y 8 + 4x 2 y + y 2. 2

5 Matematica 2 Prova scritta del 10/02/05 1 ESERCIZI Scrivere in modo sintetico lo svolgimento dei seguenti esercizi. Esercizio n. 1 Disegnare nel piano cartesiano il dominio della funzione f(x, y) = y x(3 x) log( y + log x). 4 x2 + y 2 4 Esercizio n. 2 Studiare i punti stazionari della funzione f(x, y) = x 3 + y 2 x 2 (1 + y). Esercizio n. 3 Determinare l integrale generale dell equazione differenziale Esercizio n. 4 Verificare che il campo vettoriale 2x + 3 x 2 + 3x + 3 y + ex F (x, y) = (2 cos(2x + y) + xy 2 + 1, cos(2x + y) + x 2 y) è conservativo e determinarne un potenziale. Disegnare il sostengno della curva γ(t) = (t, 3t), t [0, π] e calcolare il lavoro del campo F lungo il cammino γ.

6 Matematica 2 Prova scritta del 14/07/05 1 ESERCIZI Scrivere in modo sintetico lo svolgimento dei seguenti esercizi. Esercizio n. 1 Disegnare nel piano cartesiano il dominio della funzione 3 x2 y f(x, y) = 4 x + y. log(y 2 2y + 1) Esercizio n. 2 Determinare la soluzione del problema di Cauchy y = x cos(2x) y y(π) = 1 Esercizio n. 3 Data la funzione f(x, y) = e sin(2x+3y2 ) 1) scrivere l equazione del piano tangente al grafico di f in corrispondenza del punto (0, 0); 2) calcolare la derivata direzionale f v (0, 0) lungo la direzione del vettore v = (1, 2). Esercizio n. 4 Disegnare il dominio D = (x, y) R 2 ; 1 x e, log x y 1 + x 2 } sul piano cartesiano e calcolare l integrale doppio della funzione f(x, y) = x in D.

7 Matematica 2 Prova scritta del 20/06/05 1 ESERCIZI Scrivere in modo sintetico lo svolgimento dei seguenti esercizi. Esercizio n. 1 Disegnare nel piano cartesiano il dominio della funzione f(x, y) = x(x 1) log(4 x 2 y 2 ) y x + 1. Esercizio n. 2 Determinare la soluzione del problema di Cauchy 4(x3 + 1) x 4 + 4x + 1 y + 2x2 y(0) = 2. Esercizio n. 3 Data la funzione f(x, y) = sin(x 3y)e x2 y 2 1) scrivere l equazione del piano tangente al grafico di f in corrispondenza del punto (π, π); 2) calcolare la derivata direzionale f v (π, π) lungo la direzione del vettore v = ( 2, 3). Esercizio n. 4 Disegnare il dominio D = (x, y) R 2 ; 0 x 1, x 2 y 1} sul piano cartesiano e calcolare l integrale doppio della funzione f(x, y) = xe y in D.

8 Matematica 2 Prova scritta del 29/01/05 1 ESERCIZI Scrivere in modo sintetico lo svolgimento dei seguenti esercizi. Esercizio n. 1 Disegnare nel piano cartesiano il dominio della funzione ) (1 x2 9 y2 1 y 2. 4 x y Esercizio n. 2 Data la funzione f(x, y) = (xy 2 + 3)e 2x+3y 1) scrivere l equazione del piano tangente al grafico di f in corrispondenza del punto (0, 0); 2) calcolare la derivata direzionale f v (0, 0) lungo la direzione del vettore v = ( 2, 3). Esercizio n. 3 Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y y 6y = e 3x. Esercizio n. 4 Calcolare l integrale doppio della funzione f(x, y) = (x + y)e x nel rettangolo di vertici (0, 0), (2, 0), (2, 1) e (0, 1).

9 Matematica 2 (Malusa) Prova scritta del 24/02/05 1 Esercizio n. 1 Data la funzione f(x, y) = sin(2x 2 + y 2 ) 1) scrivere l equazione del piano tangente al grafico di f in corrispondenza del punto ( π, π); 2) calcolare la derivata direzionale f v ( π, π) lungo la direzione del vettore v = (2, 2). Esercizio n. 2 Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y = y sin x + sin x cos x Esercizio n. 3 Determinare la soluzione del problema di Cauchy y y 6y = 6x 2 Esercizio n. 4 Disegnare il dominio D = (x, y) R 2 ; 1 x 2, x y e x } sul piano cartesiano e calcolare l integrale doppio della funzione f(x, y) = xy in D.