Analisi Matematica 2: Secondo Parziale, , Versione A. Cognome e nome:...matricola:...

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1 Analisi Matematica : Secondo Parziale, , Versione A Cognome e nome: matricola: es.1 es. es.3 es. es.5 es.6 es.7 somma 5cr cr Stabilire se la forma differenziale ( ) ( ) y x ω = x + y + ex+y + x 3 dx + x + y + ex+y dy è esatta in R \ {(, )}. Calcolare l integrale curvilineo ω, dove C è C la curva di equazione r(t) = (t(1 t), cos(πt)) per t 1.. Calcolare l area delle superficie di equazione 3. Calcolare il volume del solido z = x y, z, y x 3. {(x, y, z) R 3 : x + y + z 16, z 3(x + y ), y x} utilizzando le coordinate cilindriche o sferiche.. Enunciare il teorema di Green e utilizzarlo per calcolare l area del dominio D = {(x, y) : x y 3 x}. 5. Calcolare, utilizzando il teorema di Stokes oppure il teorema della divergenza, il flusso del campo attraverso la superficie F = ( 3x, 3y, ) = {(x, y, z) R 3 : z = 16 x y }. Indicare, in un disegno, il versore normale e l orientamento della curva di frontiera in modo coerente.

2 6. Determinare la soluzione del problema di Cauchy y = t(1 + y ), y() = Determinare la soluzione generale dell equazione differenziale y 6y + 3y = 1 3e t.

3 Analisi Matematica : Secondo Parziale, , Versione B Cognome e nome: matricola: es.1 es. es.3 es. es.5 es.6 es.7 somma 5cr cr Stabilire se la forma differenziale ( ) ( ω = x x x + y + y sin(x) dx + y ) y cos(x) dy x + y è esatta in R \ {(, )}. Calcolare l integrale curvilineo ω, dove C è C la curva di equazione r(t) = (t(1 t), sin(π(t + 1 )) per t 1.. Calcolare l area delle superficie di equazione 3. Calcolare il volume del solido z = x + y, z 9, x y 3. {(x, y, z) R 3 : x + y + z 9, z 3(x + y ), x y} utilizzando le coordinate cilindriche o sferiche.. Enunciare il teorema di Green e utilizzarlo per calcolare l area del dominio D = {(x, y) : y x, x + y 1}. 5. Calcolare, utilizzando il teorema di Stokes oppure il teorema della divergenza, il flusso del campo attraverso la superficie F = (y, x, ) = {(x, y, z) R 3 : z = x + y }. Indicare, in un disegno, il versore normale e l orientamento della curva di frontiera in modo coerente.

5 Analisi Matematica : Secondo Parziale, , Versione C Cognome e nome: matricola: es.1 es. es.3 es. es.5 es.6 es.7 somma 5cr cr Stabilire se la forma differenziale ( ) x ω = y sin(xy) + x dx + x + y ( ) y x + y x sin(xy) dy è esatta in R \ {(, )}. Calcolare l integrale curvilineo ω, dove C è C la curva di equazione r(t) = (t t, cos(πt )) per t 1.. Calcolare l area delle superficie di equazione 3. Calcolare il volume del solido z = 9 x y, z, x y 3. {(x, y, z) R 3 : x + y + z 5, z utilizzando le coordinate cilindriche o sferiche. 1 3 (x + y ), y x }. Enunciare il teorema di Green e utilizzarlo per calcolare l area del dominio D = {(x, y) : x y, x + y 1}. 5. Calcolare, utilizzando il teorema di Stokes oppure il teorema della divergenza, il flusso del campo attraverso la superficie F = (y, x, 6) = {(x, y, z) R 3 : z = x + y }. Indicare, in un disegno, il versore normale e l orientamento della curva di frontiera in modo coerente.

7 Analisi Matematica : Secondo Parziale, , Versione D Cognome e nome: matricola: es.1 es. es.3 es. es.5 es.6 es.7 somma 5cr cr Stabilire se la forma differenziale ( ω = y sin(x) + 3y ) x + y 5x dx + ( cos(x) 3x ) dy x + y è esatta in R \ {(, )}. Calcolare l integrale curvilineo ω, dove C è C la curva di equazione r(t) = (t t, sin( 1 π(t + 1)) per t 1.. Calcolare l area delle superficie di equazione z = 1 + x + y, 1 z, y x Calcolare il volume del solido {(x, y, z) R 3 : x + y + z 36, z utilizzando le coordinate cilindriche o sferiche. 1 3 (x + y ), x y }. Enunciare il teorema di Green e utilizzarlo per calcolare l area del dominio D = {(x, y) : x 3 y x }. 5. Calcolare, utilizzando il teorema di Stokes oppure il teorema della divergenza, il flusso del campo attraverso la superficie F = (6x, 6y, 1) = {(x, y, z) R 3 : z = x + y 16}. Indicare, in un disegno, il versore normale e l orientamento della curva di frontiera in modo coerente.

9 1A. Ponendo ω = ω 1 + ω, dove ω 1 = y x + y dx x x + y dy, ω = [e x+y + x 3 ]dx + e x+y dy, si vede che y [ex+y + x 3 ] = e x+y = x [ex+y + x 3 ], quindi ω `chiusa e, di conseguenza, esatta in R. Infatti, ω = d[e x+y + 1 x ]. Inoltre, y = x y = x, quindi ω y x +y (x +y ) x x +y 1 è chiusa in R \{(, )}. Inoltre, ω γ 1 = π, essendo γ = {(cos t, sin t) : t π}, quindi ω e ω 1 non sono esatte in R \ {(, )}. La curva C inizia in (, 1), passa per il semipiano destro e finisce in (, 1). Nel semipiano destro la forma differenziale ω = ω 1 + ω è esatta con potenziale U(x, y) = arctg( y x ) + ex+y + 1 x. Quindi C ω = U(, 1) U(, 1) = π + e 1 e. 1B. Ponendo ω = ω 1 + ω, dove ω 1 = x x + y dx y x + y dy, ω = ( x + y sin(x) ) dx y cos(x) dy, si vede che y [x + y sin(x)] = y sin(x) = [ y cos(x)], quindi ω x `chiusa e, di conseguenza, esatta in R. Infatti, ω = d[ 1 5 x5 y cos(x)]. Inoltre,, quindi ω y x x +y 1 è chiusa in R \{(, )}. Infatti, ω 1 = d[ 1 ln(x +y )], quindi ω 1 e ω sono esatte in R \{(, )}. x = xy = x +y (x +y ) y La curva C inizia in (, 1), passa per il semipiano destro e finisce in (, 1). Nel semipiano destro la forma differenziale ω = ω 1 + ω è esatta con potenziale U(x, y) = 1 ln(x + y ) x5 y cos(x). Quindi ω = U(, 1) U(, 1) =. C 1C. Ponendo ω = ω 1 + ω, dove ω 1 = x x +y dx+ y x +y dy, ω = ( y sin(xy)+x) dx x sin(xy) dy,

10 si vede che [ y sin(xy)+x]= sin(xy) xy cos(xy) = [ x sin(xy)], y x quindi ω `chiusa e, di conseguenza, esatta in R. Infatti, ω = d[cos(xy) + x x ]. Inoltre, = xy = y, quindi ω y x +y (x +y ) x x +y 1 è chiusa in R \ {(, )}. Infatti, ω 1 = d[ln(x + y )], quindi ω 1 e ω sono esatte in R \ {(, )}. La curva C inizia in (, 1), passa per il semipiano destro e finisce in (, 1). Nel semipiano destro la forma differenziale ω = ω 1 + ω è esatta con potenziale U(x, y) = ln(x + y ) + cos(xy) + x. Quindi ω = U(, 1) U(, 1) =. C 1D. Ponendo ω = ω 1 + ω, dove ω 1 = 3y x + y dx 3x x + y dy, ω = (y sin(x) 5x) dx cos(x) dy, si vede che [y sin(x) 5x] = sin(x) = [ cos(x)], quindi ω y x `chiusa e, di conseguenza, esatta in R. Infatti, ω = d[ y cos(x) 5 x ]. Inoltre, 3y = 3(x y ) = 3x, quindi ω y x +y (x +y ) x x +y 1 è chiusa in R \{(, )}. Inoltre, ω γ 1 = 6π, essendo γ = {(cos t, sin t) : t π}, quindi ω e ω 1 non sono esatte in R \ {(, )}. La curva C inizia in (, 1), passa per il semipiano destro e finisce in (, 1). Nel semipiano destro la forma differenziale ω = ω 1 + ω è esatta con potenziale U(x, y) = 3arctg( y x ) y cos(x) 5 x. Quindi ω = U(, 1) U(, 1) = 3π +. C A. ρ(z) = z per z e π 3 θ π. Quindi A = π 6 ρ(z) 1 + ρ (z) dz = π 7 [ ]. B. ρ(z) = z per z 9 e θ π 6. Quindi A = π 6 9 ρ(z) 1 + ρ (z) dz = π 7 [ ].

11 C. ρ(z) = 9 z per z 9 e θ π 6. Quindi A = π 6 9 ρ(z) 1 + ρ (z) dz = π 7 [ ]. D. ρ(z) = z 1 per 1 z e π 3 θ π. Quindi A = π 6 1 ρ(z) 1 + ρ (z) dz = 3 π. 3A. Dominio in coordinate sferiche: r, φ π, π θ 5π. 6 Allora V = 5π/ π/ dθ = π [ 1 r3] 3 r dr π/6 sin φ dφ [ cos φ]π/6 = 3 3 π( 3). 3B. Dominio in coordinate sferiche: r 3, π φ π, 3π θ π. 6 Allora π/ 3 π V = dθ r dr sin φ dφ π 3π/ 6 = π [ 1 r3] 3 [ cos 3 φ]π π/6 = 9π( + 3). 3C. Dominio in coordinate sferiche: r 5, φ π, π θ π. 3 Allora V = = π π/ π/ dθ [ 1 3 r3] 5 5 r dr π/3 sin φ dφ [ cos φ]π/3 = 15 π. 3D. Dominio in coordinate sferiche: r 6, π φ π, θ π. 3 Allora π/ 6 π V = dθ r dr sin φ dφ π/3 [ = π 1 r3] 6 [ cos 3 φ]π π/3 = 7π.

12 . Teorema di Gauss-Green: Sia D un sottoinsieme aperto e limitato di R per cui la frontiera D è una curva semplice e regolare a tratti orientata nel sense antiorario. Sia P dx + Q dy una forma differenziale su D = D D di classe C 1. Allora D ( Q x P y ) dxdy = D (P dx + Q dy). A. Siano γ 1 = {(t, t) : t 1}, γ = {(t 3, t) : t 1}. Allora [ ] A = 1 (xdy ydx) γ 1 1 = 1 1 = 1 γ ( [t (dt) t(t dt)] [t 3 dt t(3t dt)] ) [ t t t 3 + 3t 3] dt = 1 1. B. Siano γ 1 = {(t, t) : 1 t 1 }, γ = {(cos(t), sin(t)) : π t }. Allora 5π A = 1 [ 5π π γ 1 γ ] (xdy ydx) = 1 1 [t(dt) ()dt] 1 [cos t(cos tdt) sin t( sin t)dt)] = π. C. Siano γ 1 = {( t, t) : 1 t 1 }, γ = {(cos(t), sin(t)) : 3π t 7π }. Allora A = 1 [ 7π 3π γ 1 γ ] (xdy ydx) = 1 1 [cos t(cos tdt) sin t( sin t)dt)] = π. [ t(dt) t( dt)] 1

13 D. Siano γ 1 = {(t, t 3 ) : t 1}, γ = {(t, t ) : t 1}. Allora [ ] A = 1 (xdy ydx) γ 1 1 = 1 1 = 1 γ ( [t(3t dt) t 3 dt] [t(t dt) t (dt)] ) ( 3t 3 t 3 t + t ) dt = A. Primo metodo: Siccome F =, esiste A tale che A = F, oppure: A 3 y A z = 3x, A 1 z A 3 x = 3y, A x A 1 y =. Cercando un A che non dipende da z, si trova per la soluzione generale A = (, x, 3xy) + φ, dove φ(x, y, z) è arbitrario. Dunque π A d s = x dy = [8 cos θ]d( sin θ)=3π, se il versore normale nel punto (,, ) è (,, 1). Secondo metodo: Siccome F =, il teorema della divergenza implica che il flusso rimane invariante se cambiamo la superficie in una superficie con la stessa curva di bordo. Scegliendo = {(x, y, 16) : x + y 16}, si ha: F 3 (x, y) dxdy = 3π, il doppio dell area di un disco di raggio. 5B. Primo metodo: Siccome F =, esiste A tale che A = F, oppure: A 3 y A z = y, A 1 z A 3 x = x, A x A 1 y =. Cercando un A che non dipende da z, si trova per la soluzione generale A = (, x, x + y ) + φ, dove φ(x, y, z) è arbitrario. Dunque π A d s = x dy = [16 cos θ]d( sin θ)=6π,

14 se il versore normale nel punto (,, ) è (,, 1). Secondo metodo: Siccome F =, il teorema della divergenza implica che il flusso rimane invariante se cambiamo la superficie in una superficie con la stessa curva di bordo. Scegliendo = {(x, y, 16) : x + y 16}, si ha: F 3 (x, y) dxdy = 6π, quattro volte l area di un disco di raggio. 5C. Primo metodo: Siccome F =, esiste A tale che A = F, oppure: A 3 y A z = y, A 1 z A 3 x = x, A x A 1 y = 6. Cercando un A che non dipende da z, si trova per la soluzione generale A = (, 6x, y x ) + φ, dove φ(x, y, z) è arbitrario. Dunque A d s = 6x dy = π se il versore normale nel punto (,, ) è (,, 1). [ cos θ]d( sin θ)=96π, Secondo metodo: Siccome F =, il teorema della divergenza implica che il flusso rimane invariante se cambiamo la superficie in una superficie con la stessa curva di bordo. Scegliendo = {(x, y, ) : x + y 16}, si ha: F 3 (x, y) dxdy = 96π, sei volte l area di un disco di raggio. 5D. Primo metodo: Siccome F =, esiste A tale che A = F, oppure: A 3 y A z = 6x, A 1 z A 3 x = 6y, A x A 1 y = 1.

15 Cercando un A che non dipende da z, si trova per la soluzione generale A = (, x, 6xy) + φ, dove φ(x, y, z) è arbitrario. Dunque A d s = x dy = π se il versore normale nel punto (,, ) è (,, 1). [ cos θ]d( sin θ)=16π, Secondo metodo: Siccome F =, il teorema della divergenza implica che il flusso rimane invariante se cambiamo la superficie in una superficie con la stessa curva di bordo. Scegliendo = {(x, y, 16) : x + y 16}, si ha: F 3 (x, y) dxdy = 16π, l area di un disco di raggio. 6. Scrivendo l equazione differenziale nella forma dy = t dt, 1 + y si ottiene arctg y = t + cost. Quindi y = tg (t + cost). Di con- Sostituendo t = si trova tg (cost) = 1 oppure cost = π. seguenza, y = tg (t + π). 7. L equazione caratteristica λ 6λ + 3 = ha gli zeri complessi coniugati λ = 3 ± 5i. Quindi la soluzione generale dell equazione omogenea è data dall espressione y = c 1 e 3t cos(5t) + c e 3t sin(5t). Per trovare una soluzione particolare dell equazione non omogenea si ponga y = A + Be t. Si trova A = 1 e B = 3. Di conseguenza, la 3 5 soluzione generale dell equazione non omogenea è data dall espressione y = c 1 e 3t cos(5t) + c e 3t sin(5t) e t.