MAPPA 1 FIGURE. Figure geometriche: idee, misure, strumenti. Figure geometriche Una figura geometrica è un insieme di punti.

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1 MPP 1 Figure Figure geometriche Una figura geometrica è un insieme di punti. Figure piane e figure soide Una figura i cui punti appartengono tutti ao stesso piano si chiama piana. Una figura i cui punti appartengono a più piani si chiama soida. Le figure si indicano in genere con ettere maiuscoe in neretto,,,... Figure geometriche: idee, misure, strumenti congruenti ue figure geometriche sono congruenti quando possono essere sovrapposte una a atra in modo che coincidano punto per punto esattamente, senza essere deformate. Esempio: è congruente a ma non a. Rette e semirette La retta è una particoare inea piana, aperta e iimitata; si indica con ettere minuscoe e si rappresenta come una inea continua, diritta, con e estremità tratteggiate. a Si chiama semiretta ciascuna dee due parti in cui una retta è divisa da un suo punto quasiasi, detto origine dee semirette. r semiretta semiretta aratteristiche dee rette Per un punto passano infinite rette. Per due punti passa una soa retta. r r r I punti e appartengono aa retta r. Una retta individua una soa direzione e due versi, uno opposto a atro. Segmenti La parte di retta compresa tra due punti si chiama segmento. r r I segmento è contenuto nea retta r. istanza tra due punti Si dice distanza tra due punti i segmento che ha tai punti come estremi. 1 Pearson Paravia runo Mondadori spa

2 Mappa 1. Figure geometriche: idee, misure, strumenti Piani e semipiani I piano è una figura senza spessore e iimitata; si indica con ettere de afabeto greco α, β, γ,... α Si chiama semipiano ciascuna dee due parti in cui un piano è diviso da una sua retta r, detta origine de semipiano. β semipiano origine r β semipiano Grandezze Le grandezze geometriche sono e caratteristiche di una figura geometrica che possono essere misurate. Esempio: La unghezza di un segmento e estensione di una figura sono grandezze perché possono essere misurate. Grandezze omogenee e grandezze eterogenee ue grandezze che sono confrontabii fra oro si dicono omogenee. ue grandezze di natura diversa, e quindi non confrontabii fra oro, si dicono eterogenee. Misura Misurare una certa grandezza significa stabiire quante vote mappa di misura sceta, omogenea con a grandezza data, è contenuta nea grandezza in esame. Esempio: La misura di rispetto a u è 5. u I piano cartesiano Piano in cui è fissato un sistema di riferimento cartesiano. II quadrante semiasse negativo III quadrante y semiasse positivo semiasse negativo I quadrante semiasse positivo IV quadrante u x 5 P 3 oordinate cartesiane P( 5 ; 3) scissa: 5 rdinata: 3 y u x 2 Pearson Paravia runo Mondadori spa

3 MPP 2 I segmenti e e oro proprietà Segmenti consecutivi e segmenti adiacenti ue segmenti che hanno in comune un estremo e nessun atro punto si dicono consecutivi. {} ue segmenti consecutivi che appartengono a una stessa retta si dicono adiacenti. r {} e,, r perazioni con i segmenti ddizione Per addizionare i segmenti e i riportiamo su una stessa retta r in modo che siano adiacenti: è a oro somma. r Sottrazione Per sottrarre i segmento a segmento, i riportiamo su una stessa retta r in modo che siano sovrapposti e che coincida con : è a oro differenza. r 3 Pearson Paravia runo Mondadori spa

4 Mappa 2. I segmenti e e oro proprietà Mutipi e sottomutipi di un segmento Mutipi di un segmento ostruire i mutipo di un segmento consiste ne sommare i segmento a se stesso un certo numero di vote. Esempio: 2 è i doppio di, o mutipo di secondo i numero 2. Sottomutipi di un segmento I sottomutipo di un segmento è un segmento congruente aa sua metà, a un suo terzo... Esempio: è metà di, o sottomutipo di secondo i numero 2; è un terzo di, o sottomutipo di secondo i numero 3. 3 Punto medio I punto medio di un segmento è i punto che divide un segmento in due segmenti congruenti. M M 1 2 2M 2M M Misura dea unghezza di un segmento Per misurare a unghezza di un segmento cacoiamo quante vote unità di misura u è contenuta ne segmento. Esempio: u 10 u 10 è a misura de segmento secondo unità di misura u. Mutipi e sottomutipi de metro I metro Ne sistema metrico decimae unità di misura dea unghezza è i metro (m). mutipi chiometro (km) 1000 m ettometro (hm) 100 m decametro (dam) 10 m metro (m) sottomutipi decimetro (dm) 0,1 m centimetro (cm) 0,01 m miimetro (mm) 0,001 m 4 Pearson Paravia runo Mondadori spa

5 MPP 3 ngoi, paraeismo e perpendicoarità ngoi Si chiama angoo ciascuna dee due parti (iimitate) in cui un piano è diviso da due semirette aventi origine in comune. ato vertice α β ato ngoi convessi e angoi concavi α Si chiama convesso un angoo che non contiene i proungamenti dei suoi ati. Si chiama concavo un angoo che contiene i proungamenti dei suoi ati. E F ngoi congruenti ue angoi che hanno a stessa ampiezza sono congruenti. Misura de ampiezza di un angoo L unità di misura de ampiezza di un angoo è i grado ( ), che rappresenta a trecentosessantesima parte de angoo giro. Lo strumento per misurare ampiezza di un angoo è i goniometro. I sottomutipi de grado si ottengono mediante successive divisioni per 60: 1 primo ( ) secondo ( ) 6 1 ngoi consecutivi e angoi adiacenti Sono consecutivi due angoi che hanno i vertice e un ato in comune mentre gi atri due ati si trovano da parti opposte rispetto a ato comune. Sono adiacenti due angoi consecutivi i cui ati non comuni sono semirette opposte. isettrice di un angoo La bisettrice di un angoo è a semiretta avente origine coincidente con i vertice de angoo che o divide in due parti congruenti. bisettrice 5 Pearson Paravia runo Mondadori spa

6 Mappa 3. ngoi, paraeismo e perpendicoarità ngoi notevoi ngoo piatto ngoo i cui ati sono semirette opposte rispetto a vertice. ngoo retto ngoo corrispondente aa metà di un angoo piatto. ngoo acuto ngoo minore di un angoo retto. ngoo ottuso ngoo maggiore di un angoo retto, ma minore di un angoo piatto. ngoo giro ngoo costituito da tutti i punti de piano e i cui ati coincidono. oppie di angoi particoari ngoi compementari ue angoi a cui somma è un angoo retto. ngoi suppementari ue angoi a cui somma è un angoo piatto. ngoi espementari ue angoi a cui somma è un angoo giro. ngoi opposti a vertice ue angoi sono opposti a vertice quando i ati de uno sono i proungamenti dei ati de atro. ngoi opposti a vertice sono congruenti. 6 6 Pearson Paravia runo Mondadori spa

7 Posizioni reciproche di due rette ne piano Rette incidenti Sono incidenti due rette che si incontrano in un soo punto. r s P Mappa 3. ngoi, paraeismo e perpendicoarità r s {P} Rette paraee Sono paraee due rette che appartengono ao stesso piano e che non hanno acun punto in comune. r s r // s r s Rette coincidenti Sono coincidenti due rette che hanno tutti i punti in comune. r s r s r s Rette perpendicoari ue rette incidenti sono perpendicoari quando dividono i piano in quattro angoi congruenti e dunque retti. s r s r Per un punto passa una e una soa retta perpendicoare a una retta data. s P distanza de punto P daa retta r H r 7 piede dea perpendicoare aa retta r La retta perpendicoare a un segmento e passante per i suo punto medio è asse di que segmento. asse di a M punto medio Pearson Paravia runo Mondadori spa

8 Mappa 3. ngoi, paraeismo e perpendicoarità Rette incidenti tagiate da una trasversae La trasversae t forma con e rette a e b 8 angoi: a aterni interni: aterni esterni: corrispondenti: coniugati interni: coniugati esterni: 2 e e 6 e 5 e 5 e e 5 e 7 e 6 e 8 e 7 t 4 e 8 3 e 7 b Rette paraee tagiate da una trasversae t a b Se e rette a e b sono paraee (a // b): sono congruenti tra oro gi angoi - aterni interni ( 2 e 8, 3 e 5); - aterni esterni (4 e 6, 1 e 7); - corrispondenti (1 e 5, 2 e 6, 4 e 8, 3 e 7); sono suppementari gi angoi - coniugati interni (2 e 5, 3 e 8); - coniugati esterni (1 e 6, 4 e 7). 8 Pearson Paravia runo Mondadori spa

9 MPP 4 I poigoni Poigonai e poigoni Segmenti consecutivi non adiacenti formano una spezzata. α β Una spezzata non intrecciata i cui estremi coincidono si dice poigonae. Un poigono è a parte di piano deimitata da una poigonae. Eementi di un poigono ato angoo diagonae vertice Esempio: quadriatero (4 ati) d 4 (4 3) In un poigono i numero n dei vertici e degi angoi è uguae a numero dei ati. I numero d dee diagonai di un poigono è dato daa reazione: d n (n 3) : 2 Poigono convesso Poigono che non contiene i proungamento dei suoi ati. Poigono concavo Poigono che contiene acuni proungamenti dei suoi ati. Perimetro di un poigono I perimetro 2p di un poigono è a somma dee misure dee unghezze dei suoi ati. La metà de perimetro p si chiama semiperimetro. 2p a b c d c d b a 9 Pearson Paravia runo Mondadori spa

10 Mappa 4. I poigoni Proprietà dei poigoni Le proprietà dei poigoni si riferiscono agi angoi e ai ati. Somma degi angoi interni La somma degi angoi interni di un poigono è data daa reazione: S i 180 (n 2) n dei ati de poigono Esempio: esagono (6 ati) S i 180 (6 2) 720 Somma degi angoi esterni La somma degi angoi esterni di un poigono è un angoo giro. S e α β γ δ 360 δ α γ β Reazioni tra i ati In un poigono ciascun ato è minore dea somma di tutti gi atri ati. assificazione dei poigoni I poigoni vengono cassificati in base a numero dei oro ati (o dei vertici o degi angoi). Numero ati Nome poigono Esempio 3 triangoo o triatero 4 quadrangoo o quadriatero 5 pentagono 6 esagono Poigoni equiateri, equiangoi e regoari Un poigono si dice: equiatero se ha tutti i ati congruenti; equiangoo se ha tutti gi angoi congruenti; regoare se ha tutti i ati e tutti gi angoi congruenti. Equiateri Equiangoi Regoari 10 Pearson Paravia runo Mondadori spa

11 MPP 5 Eementi fondamentai di un triangoo Un triangoo è un poigono con: 3 ati; 3 angoi; 3 vertici. I triangoi Lati e angoi opposti è opposto a è opposto a è opposto a Lati e angoi adiacenti è adiacente a e a è adiacente a e a è adiacente a e a Proprietà dei triangoi Le proprietà dei triangoi si deducono da quee dei poigoni: a somma degi angoi interni di un triangoo è un angoo piatto (180 ); in un triangoo ciascun ato è minore dea somma degi atri due ati e maggiore dea oro differenza. riteri di congruenza dei triangoi Per stabiire se due triangoi sono congruenti si fa riferimento ai tre criteri di congruenza dei triangoi. Primo criterio di congruenza dei triangoi ue triangoi che hanno due ati corrispondenti e angoo compreso congruenti, sono congruenti. Secondo criterio di congruenza dei triangoi ue triangoi che hanno un ato e i due angoi corrispondenti a esso adiacenti congruenti, sono congruenti. Terzo criterio di congruenza dei triangoi ue triangoi che hanno i ati corrispondenti congruenti, sono congruenti. 11 Pearson Paravia runo Mondadori spa

12 Mappa 5. I triangoi Segmenti e punti notevoi tezza Segmento di perpendicoare condotto da un vertice aa retta cui appartiene i ato opposto. rtocentro L Le tre atezze di un triangoo (o i oro K proungamenti) si incontrano in un H punto detto ortocentro. isettrice Segmento di bisettrice compreso tra un vertice e i ato opposto. S I G K Incentro Le tre bisettrici di un triangoo si incontrano in un punto detto incentro. Mediana Segmento che congiunge i punto medio di un ato con i vertice opposto. R N M aricentro Le tre mediane di un triangoo si incontrano in un punto detto baricentro. sse Retta perpendicoare a un ato ne suo punto medio. R M N ircocentro I tre assi di un triangoo si incontrano in un punto detto circocentro. 12 Pearson Paravia runo Mondadori spa

13 Mappa 5. I triangoi assificazione dei triangoi rispetto ai ati Isoscee Ha due ati congruenti tra oro: Scaeno Ha tutti i ati non congruenti tra oro: ato obiquo angoo a vertice ato obiquo Perimetro 2p 2 b angoo aa base b base angoo aa base Reazione tra gi angoi aa base Gi angoi aa base sono congruenti ( ). Reazione tra gi angoi Ha tutti gi angoi non congruenti tra oro ( ). Equiatero Ha tutti i ati congruenti tra oro: Perimetro 2p 3 Reazione tra gi angoi Gi angoi sono congruenti ( ). assificazione dei triangoi rispetto agi angoi cutangoo I tre angoi sono acuti: Rettangoo Un angoo è retto: cateto cateto ipotenusa ttusangoo Un angoo è ottuso: Pearson Paravia runo Mondadori spa

14 MPP 6 I quadriateri Eementi fondamentai di un quadriatero Un quadriatero è un poigono con: 4 ati; 4 angoi; 4 vertici. Lati opposti Sono opposti due ati non consecutivi: è opposto a è opposto a ngoi opposti Sono opposti due angoi non adiacenti ao stesso ato: è opposto a è opposto a Vertici opposti Sono opposti due vertici non consecutivi: è opposto a è opposto a Proprietà dei quadriateri Le proprietà dei quadriateri si deducono da quee dei poigoni: a somma degi angoi interni di un quadriatero quasiasi è un angoo giro (360 ); un quadriatero ha due diagonai. L insieme dei quadriateri QURILTERI TRPEZI PRLLELGRMMI RETTNGLI RMI QURTI 14 Pearson Paravia runo Mondadori spa

15 Mappa 6. I quadriateri Trapezi Si dice trapezio ogni quadriatero che ha due ati opposti paraei. base minore atezza diagonae ato obiquo base maggiore Gi angoi adiacenti ao stesso ato obiquo sono suppementari: Trapezio scaeno I ati obiqui non sono congruenti:. b Perimetro 2p b 1 b b 2 Trapezio rettangoo Ha un ato perpendicoare aa base: 90 h 1 b 1 2 Trapezio isoscee I ati obiqui sono congruenti: b 1 b 2 Perimetro 2p b 1 b 2 h 2 e H K H b 2 K Perimetro 2p b 1 b Pearson Paravia runo Mondadori spa

16 Mappa 6. I quadriateri Paraeogrammi Si dice paraeogramma ogni quadriatero che ha i ati opposti paraei. iascuna diagonae divide i paraeogramma in due triangoi congruenti. I punto di intersezione dee diagonai divide ognuna di esse in due parti congruenti. e I ati opposti sono congruenti. e Gi angoi opposti sono congruenti. e diagonae atezza base ato obiquo Paraeogrammi particoari Rombo Paraeogramma con i quattro ati congruenti. iagonai Le diagonai di un rombo sono perpendicoari tra oro: gni paraeogramma con e diagonai perpendicoari è un rombo. Perimetro 2p 4 Rettangoo Paraeogramma con tutti gi angoi congruenti e quindi retti. Perimetro h 2p (b h) 2 b iagonai Le diagonai di un rettangoo sono congruenti: gni paraeogramma con e diagonai congruenti è un rettangoo. Quadrato Paraeogramma con i ati e gi angoi congruenti (è quindi un poigono regoare). iagonai Le diagonai di un quadrato sono congruenti e perpendicoari tra oro: e gni paraeogramma con e diagonai congruenti e perpendicoari è un quadrato. Perimetro 2p 4 16 Pearson Paravia runo Mondadori spa

17 MPP 7 Trasazioni, rotazioni, simmetrie Trasformazioni geometriche Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca tra i punti de piano, cioè a ogni punto di una figura F corrisponde uno e un soo punto dea figura F, ottenuta appicando a F a trasformazione geometrica. F F Punti uniti Un punto che corrisponde a se stesso in una trasformazione geometrica è detto punto unito. Esempio: F F è i punto unito. Isometrie Una isometria è una trasformazione geometrica che mantiene invariate a forma e e dimensioni dee figure. Isometrie dirette e inverse Le isometrie si dividono in due gruppi: e isometrie dirette, in cui i verso di percorrenza dei vertici dea figura trasformata è mantenuto; v e isometrie inverse, in cui i verso di percorrenza dei vertici dea figura trasformata non è mantenuto. a P P P P Trasazioni Una trasazione è una corrispondenza biunivoca tra i punti de piano individuata da un vettore che ne esprime a unghezza, a direzione e i verso. Una trasazione si indica con T. Le trasazioni sono isometrie dirette. F v F Vettore gni vettore è rappresentato da un segmento dotato di unghezza, direzione e verso. La misura dea unghezza di un vettore è detta moduo. r v v 17 Pearson Paravia runo Mondadori spa

18 Mappa 7. Trasazioni, rotazioni, simmetrie Rotazioni Una rotazione è una corrispondenza biunivoca tra i punti de piano individuata da un centro di rotazione, da un ampiezza e da un verso. Una rotazione di centro si indica con R. Le rotazioni sono isometrie dirette. s t F r 90 s F r t F Rotazioni particoari: e simmetrie centrai Una simmetria centrae è una rotazione di centro e ampiezza di 180. Si indica con S. α 180 F Simmetrie assiai Una simmetria assiae è una corrispondenza biunivoca tra i punti de piano individuata da una retta detta asse di simmetria. Si ottiene attraverso un movimento di ribatamento neo spazio e si indica con S a. Le simmetrie assiai sono isometrie inverse. F a F Simmetria assiae nee figure geometriche Una figura è dotata di asse di simmetria se esiste una retta che a divide in due parti congruenti simmetriche una rispetto a atra. a 1 Identità Una identità è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto de piano se stesso. Le identità sono isometrie dirette. F F P P Punti uniti di una identità In una identità tutti i punti sono punti uniti. 18 Pearson Paravia runo Mondadori spa