Variabile, costante ed espressione

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1 Variabile, costante ed espressione All interno di un programma un informazione può essere organizzata in vari modi: Variabile Costante Espressione Le variabili a loro volta possono essere: scalari vettori matrici e contenere sia numeri reali che complessi N.B. Tutti i calcoli eseguiti in MATLAB sono eseguiti in doppia precisione

2 Variabile E un ente, appartenente ad un certo tipo, che può assumere uno qualunque dei valori appartenenti al tipo. Una variabile è identificata da un nome, che riflette il ruolo che questa assume all interno del programma. Diversamente da linguaggi come il C, in cui il nome ed il tipo di ogni variabile devono essere esplicitamente dichiarati prima di usare la variabile, in MATLAB le variabili sono create dinamicamente, semplicemente assegnando un valore. Il tipo del valore assegnato alla variabile determina il tipo di variabile che viene creata. Il valore di una variabile può essere sia utilizzato (lettura) che modificato (scrittura). Una variabile è allocata in memoria, su uno o più registri. Il nome della variabile contiene al massimo 63 caratteri. I caratteri ammessi sono lettere, cifre e caratteri di sottolineatura (_), messi in qualunque ordine, purché il primo carattere del nome sia una lettera. N.B. Le variabili sono sovrascrivibili N.B. Se si esegue un espressione senza assegnare il risultato ad una variabile, MATLAB assegna, per default il risultato alla variabile ans (forma abbreviata per answer).

3 Il MATLAB contiene un insieme di variabili predefinite contenente valori particolari. Tali variabili possono essere usate senza che sia necessario inizializzarle. Variabile pi i,j eps realmin, realmax Inf NaN Valore contenuto rappresentato con 15 cifre significative Unità immaginaria La precisione di macchina, ovvero il minimo valore tale che, per il calcolatore, risulti (1+eps)>1. Tale valore in Matlab vale 2 52 ~ ; Il più piccolo e più grande numero che è possibile memorizzare in Matlab Risultato infinito di un operazione Risultato di un operazione indefinita

4 Costante E un oggetto, appartenente ad un certo tipo, il cui valore rimane immodificato durante l esecuzione del programma. Ad una costante può essere attribuito un nome. Esempio: -30 è una costante di tipo intero è una costante di tipo reale 0,1 sono costanti di tipo intero oppure di tipo logico Valore di n è una costante di tipo carattere Espressione E una sequenza di operandi, operatori e parentesi, dove gli operandi possono essere variabili o costanti. Il tipo dell espressione complessiva dipende dai tipi degli operandi coinvolti nell espressione. Esempio: Data a,b variabili intere e x,y variabili reali a*b+50 è un espressione di tipo intero a* è un espressione di tipo reale x/2 è un espressione di tipo reale 2*b*pigreco è un espressione di tipo reale

5 Vettori e Matrici Il linguaggio matriciale costituisce il nucleo essenziale della programmazione. Vediamo ora i comandi principali che riguardano creazione e manipolazione delle matrici. Va tenuto a mente una cosa fondamentale: l elemento base di MATLAB è la matrice. Dal momento che anche un numero si può vedere come una particolare matrice di dimensioni 1x1 e che un vettore è una particolare matrice di dimensioni nx1 se è un vettore-colonna o 1xn se è un vettore-riga, ne viene che le operazioni eseguite sulle matrici si applicano ai vettori e ai numeri.

6 Come assegnare una matrice Per fare queste assegnazioni si possono usare 4 metodi: 1) gli elementi di una riga separati da spazi e quelli di righe diverse separati da un punto e virgola A = [ ; ]; 2) gli elementi di una riga separati da virgole e quelli di righe diverse separati da un punto e virgola (la virgola però si rivela superflua) A = [5, 7, 2.5 ; -3.2, 4.8, 1.5]; 3) gli elementi di una riga separati da spazi e quelli di righe diverse scritti su righe diverse A = [ ]; 4) gli elementi della matrice vengono letti da un archivio di dati Si suggerisce di usare lettere maiuscole per le matrici e lettere minuscole per vettori e numeri, perché questa è la tradizione nella notazione algebrica (Au=v). Per assegnare i vettori u e v si può scrivere: u = [1.9; 4; 7.3]; % vettore colonna v = [ ]; % vettore riga

7 Se si considera l inserimento manuale dei dati nel command di MATLAB, sono tre le indicazioni da seguire: gli elementi della matrice devono essere racchiusi tra parentesi quadre [ ]; gli elementi di una stessa riga vanno separati da uno spazio; il passaggio da una riga all altra avviene con il punto e virgola. Se si vuole ottenere un elemento della matrice A >>A=[1 2-6; 4-4 5]; va indicata tra parentesi tonde la posizione dello stesso nel modo seguente: >>m=a(2,3); ottenendo così l elemento che occupa la posizione 2,3 della matrice A. Se commettiamo l errore di digitare >>n=a(2,6); avremmo un messaggio di errore, date le dimensioni della matrice. RAPPRESENTAZIONE MATRICIALE

8 Il comportamento di MATLAB non è invece lo stesso se si immagazzina un nuovo numero in una posizione che, per le dimensioni di partenza della matrice, non dovrebbe esistere. Se infatti digitiamo: >>A(2,4)=7; attribuiamo valore 7 all elemento di posizione (2,4), che non esisterebbe date le dimensioni (2x3) della matrice. MATLAB allora allarga la matrice, inserendo l elemento 7 nella posizione scelta e ponendo zeri nella colonna (o riga) che è stata aggiunta.

9 Come MATLAB memorizza le matrici MATLAB memorizza le matrici in un array unidimensionale (= vettore) formato dalla prima colonna della matrice seguita dalla seconda, dalla terza, come indicato nella tabella seguente Quindi a(j) indica l elemento della matrice di posto j secondo la numerazione progressiva per colonne. Questo consente di richiamare gli elementi di una matrice sia in modo tradizionale con due indici a(h, k) che con un solo indice a(j).

10 Operazioni con le matrici Somma Sottrazione Prodotto Elevamento a potenza Prodotto sul singolo elemento Quoziente sul singolo elemento Potenza sul singolo elemento Trasposta Determinante Diagonale Inversa Somma di tutti gli elementi per riga o colonna Prodotto di tutti gli elementi per riga o colonna

11 Somma e sottrazione Le operazioni di somma e sottrazione tra matrici si ottengono con i simboli + e - e consistono nella somma e sottrazione degli elementi di una matrice con il corrispondente elemento dell altra, nell ipotesi che le dimensioni delle matrici coincidano, altrimenti incappiamo in un messaggio di errore. Per aggiungere o togliere a tutte le componenti di un vettore (o di una matrice) un numero, basta sommare o sottrarre il numero al vettore. Dato il vettore >>x = [ ]; Con la scrittura >>y = x + 3 si ottiene il vettore [ ]

12 Prodotto L operazione di prodotto tra matrici si effettua con * e può avvenire solo se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda. Se la condizione non viene rispettata avremmo un messaggio di errore. 2*3 2*3 2*3 3*2 In particolare si può ottenere il prodotto scalare di due vettori. Per moltiplicare o dividere un vettore per un numero basta scrivere >>x = [ ]; >>z = 2 * x; che fornisce il vettore [ ]

13 Elevamento a potenza L elevamento a potenza di un elemento si ha con ^. Applicato ad una matrice quadrata la moltiplica per se stessa.

14 Prodotto, quoziente e potenza sul singolo elemento Una operazione molto utile in MATLAB, che non ha analogo nel calcolo matriciale, è la seguente: Dati due vettori u e v si vuole ricavare un altro vettore che ha come componenti i prodotti (o i quozienti) delle componenti omonime dei due vettori dati. Ad esempio se dai vettori u = [8 6 12] v = [2 3 4] si vogliono ottenere i vettori w = [ ] z = [4 2 3] si devono introdurre due nuove operazioni che sono indicate con i simboli.* e./ rispettivamente, ovvero anteponendo un punto ai simboli di prodotto e di quoziente. Per fare questo bisogna scrivere >>w = u.* v; >>z = u./ v; N.B. L operazione di prodotto tra matrici elemento per elemento può essere fatta solo se le due matrici hanno la stessa dimensione, poiché moltiplica ogni elemento della prima per il corrispondente della seconda.

15 L elevamento a potenza elemento per elemento di una qualsiasi matrice si ha con.^. Con esso si eleva ogni elemento della matrice alla potenza. Così se vogliamo fare il cubo delle componenti di un vettore ovvero dal vettore a = [2 3 5] Vogliamo ottenere il vettore b = [ ] si deve premettere un punto al simbolo di elevamento a potenza b = a.^3; Il punto precisa che l operazione indicata viene compiuta sulle singole componenti.

16 Questo tipo di operazione è molto usata nel tracciamento dei grafici di funzioni. Supponiamo di voler rappresentare il grafico della funzione sin(x) nell intervallo [0,2]. Per prima cosa dobbiamo assegnare un passo, ad esempio 0.1, e valutare quindi le ascisse in ciascun punto della suddivisione ovvero x 1 =0 x 2 =0.1 x 3 =0.2 X 21 =2 Quindi dobbiamo valutare la funzione y=sin(x) in corrispondenza di questi valori y 1 =sin(0) y 2 =sin(0.1) y 3 =sin(0.2) y 21 =sin(2) Queste due operazioni possono effettuarsi in modo sbrigativo così >>x = 0: 0.1:2; >>y = sin(x); Qualora si dovesse fare il grafico della funzione y= xsin(x), conviene considerare il vettore che ha come componenti le diverse ascisse e valutare il vettore che ha come componenti le corrispondenti ordinate. In tal caso i diversi valori che la x assume formano un vettore, che continueremo ad indicare con x e sin(x) sarà un altro vettore. Pertanto non potremo scrivere >>y =x * sin(x); NO ma dovremo fare il prodotto delle componenti omonime premettendo un punto al simbolo di prodotto >>y = x.* sin(x); SI A questo punto avremo ottenuto due vettori x ed y che forniscono rispettivamente le ascisse e le ordinate dei singoli punti del grafico. Per disegnare il grafico vedremo le istruzioni più avanti.

17 Trasposta di una matrice Per effettuare la trasposta di una matrice A o di un vettore v basta aggiungere il simbolo di apostrofo, quindi scrivere A e v rispettivamente. In questo modo le righe diventano colonne e le colonne diventano righe.

18 Determinante di una matrice Data una matrice quadrata possiamo ottenere il suo determinante con la funzione det(). Diagonale di una matrice L operatore diag() estrae invece gli elementi della diagonale principale: N.B. Quest ultima operazione è applicabile anche a matrici non quadrate.