Aritmetica dei Calcolatori

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1 Aritmetica dei Calcolatori Nicu Sebe March 14, 2016 Informatica Nicu Sebe 1 / 34

2 Operazioni su Bit Bit Scienza della rappresentazione e dell elaborazione dell informazione Abbiamo visto come i computer rappresentano l informazione... Sequenze di bit (esempio: per i numeri naturali, rappresentazione binaria)...vediamo ora come elaborare tale informazione! Operazioni su bit o sequenze di bit Informatica Nicu Sebe 2 / 34

3 Algebra Booleana Bit Tecnicamente, Algebra di Boole a 2 valori... 2 soli possibili valori: 0 e 1 Se x è una variabile, x = 1 x 0, x = 0 x 1 3 operazioni: and ( ), or ( ) e not ( ) 0: elemento neutro per ; 1 = 0: elemento neutro per Operazioni fondamentali: 0 0 = = = = = = = = 1 0 = 1 1 = 0 Informatica Nicu Sebe 3 / 34

4 Algebra Booleana: Assiomi Bit Proprietà commutativa: a b = b a; a b = b a Elementi neutri: a 1 = a; a 0 = a a a = 0; a a = 1 Proprietà distributiva: a (b c) = (a b) (a c); a (b c) = (a b) (a c) Informatica Nicu Sebe 4 / 34

5 Or in Dettaglio Bit A C B C = A B Il risultato è 1 se almeno uno dei due operandi è 1 Per certi versi simile ad una somma Detto anche somma logica Talvolta indicato col simbolo + Estendibile ad n operandi: la somma logica di n variabili è 1 se il valore di almeno una variabile è 1 Informatica Nicu Sebe 5 / 34

6 And in Dettaglio Bit A C B C = A B Il risultato è 1 se tutti e due gli operandi sono 1 Per certi versi simile ad un prodotto Detto anche prodotto logico Talvolta indicato col simbolo Estendibile ad n operandi: il prodotto logico di n variabili è 1 se il valore di tutte le variabili è 1 Informatica Nicu Sebe 6 / 34

7 Memorizzazione dei Bit Bit Scienza della rappresentazione e dell elaborazione dell informazione Per poter elaborare l informazione, deve essere memorizzata! Dove? Nella memoria principale (RAM: Random Access Memory) Vedi slide Architettura del Calcolatori...vediamo ora come può funzionare tale memoria! Memorizzazione di bit o sequenze di bit Varie possibilità: per esempio Flip-Flop e memorie dinamiche Informatica Nicu Sebe 7 / 34

8 Flip Flop SR Bit R S Q Input S (Set) e R (Reset) S e R mai contemporaneamente a 1 Output: Q Dipende da se stesso... Informatica Nicu Sebe 8 / 34

9 Flip Flop SR - Come Funziona Bit S R Q precedente Q successivo S=1: La porta NOR in basso ha output sempre 0 Q=not R = 1 (perché se S=1 allora R=0) R=1: La porta NOR in alto ha output sempre 0: Q=0 S=R=0: La porta NOR in basso ha output not Q Q=Q Utile per memorizzare un bit!!! Informatica Nicu Sebe 9 / 34

10 Memoria Dinamica Bit Grosso numero di condensatori collegati a circuiti elettronici Ogni condensatore può essere in 2 stati: Condensatore carico: memorizza il bit 1 Condensatore scarico: memorizza il bit 0 Ogni condensatore tende naturalmente a scaricarsi Lo stato di carica deve essere periodicamente ripristinato (refresh) Per questo si parla di memoria dinamica La memoria si cancella quando il computer viene spento (come per i Flip-Flop) Informatica Nicu Sebe 10 / 34

11 Locazioni di Memoria Bit Flip-Flop, condensatori o altri elementi di memoria sono raggruppati in gruppi di 8 8 bit = 1 byte Ogni gruppo di 8 elementi (byte) è chiamato cella (o locazione) di memoria Ogni locazione di memoria è identificata da un numero, chiamato Indirizzo di Memoria L intera memoria è una sequenza di locazioni (celle) accessibili tramite il loro indirizzo 1024(= 2 10 ) byte = 1KB, 1024KB(= 2 20 byte) = 1MB, 1024MB(= 2 30 byte) = 1GB, etc... Informatica Nicu Sebe 11 / 34

12 Codifica dei Bit k bit codificano 2 k simboli/valori/numeri... Si usa la base 2 per codificare i numeri Numeri naturali n N : valori da 0 a 2 k 1 Come codificare numeri interi z Z? Problema: numeri negativi z < 0 z / N Si codificano sempre 2 k valori Ma quali??? Varie possibilità: modulo e segno, complemento a 1, complemento a 2,... Informatica Nicu Sebe 12 / 34

13 Codifica con Bit Idea semplice: si usano k 1 bit per rappresentare il valore assoluto (modulo) del numero......ed un bit per codificare il segno! bit più significativo a 0: numero positivo bit più significativo a 1: numero negativo Valori codificati: da 2 k 1 +1 a 2 k k 1 valori??? Come mai??? Due diverse sequenze di bit per codificare lo 0? (+0 e 0???) 1 k 1 k 1 {}}{{}}{ vs Informatica Nicu Sebe 13 / 34

14 Codifica Bit Altra idea semplice: i numeri negativi si rappresentano facendo il complemento ad 1 del valore assoluto Numero positivo: rappresento il valore assoluto Numero negativo: cambio 0 in 1 e viceversa k {}}{ (complemento a 1 di x: x = (2 k 1) x) Numeri positivi: ancora, bit più significativo a 0 Ancora, due rappresentazioni dello 0 (+0 e 0)? k {}}{ vs k {}}{ Modulo e segno Non facile da sommare... a volte le cose vanno meglio (se il bit più significativo non da riporto, OK) Informatica Nicu Sebe 14 / 34

15 Somma di Numeri Bit Somma di numeri interi codificati in complemento a 1: 1. Sommare le rappresentazioni dei due numeri 2. Riporto sul bit più significativo sommarlo al risultato 3. Se i riporti delle due cifre più significative della nuova somma sono uguali, il risultato è attendibile 4. Altrimenti, il risultato non è rappresentabile su k bit Esempio: 6+ 3 (codifica su k = 5 bit) 6 = 00110; 3 = = = (= 3) Informatica Nicu Sebe 15 / 34

16 Bit di un numero binario: Scorrere i bit a partire dalla destra Fino al primo bit che vale 1 (compreso), invariato A partire dal bit successivo, fare il complemento a 1 Equivalente a fare il complemento a 1 e poi sommare 1 Complemento in base 2 di x: 2 k x = 1 k {}}{ x Esempio: complemento in base 2 di 87 (= ) 1 più a destra invariato, poi inverto : = = : = Informatica Nicu Sebe 16 / 34

17 Codifica in Bit Numeri positivi: rappresentare il valore assoluto Numeri negativi: rappresentati usando il complemento a 2 del valore assoluto Ancora, il bit più significativo indica il segno Stavolta, la codifica dello 0 è unica Codifica i numeri da 2 k 1 a 2 k 1 1 E stavolta, la somma è semplice... x+( y) = x+(2 k y) = 2 k +x y......su k bit, questo è equivalente a x y Informatica Nicu Sebe 17 / 34

18 Esempi di Codifica Bit decimale modulo complemento complemento e segno a 1 a / / Informatica Nicu Sebe 18 / 34

19 Somme e Sottrazioni in Base 2 Bit Come normalmente in base 10 (numeri in colonna, riporto, etc...) Se si usa complemento a 2, funziona anche con numeri negativi Ma occhio agli overflow!!! Overflow? Numeri su k bit, ma risultato non rappresentabile su k bit Matematica dell orologio Esempi: k = 6, k = 7,5 8; k = 7, 5+8; k = 7, 64 8; k = 7,63+1; Informatica Nicu Sebe 19 / 34

20 Esempi Senza Overflow Bit k = 7,5 8 5 = ; 8 = = = =... ( ) = = 3 k = 7, = = = ; 8 = = 3 Informatica Nicu Sebe 20 / 34

21 Esempio di Overflow Bit k = 7, = ; 64 = = = = ; 8 = = = = WTH??? Sommando 2 numeri negativi si ottiene un numero positivo??? 64 8 = Numeri rappresentabili: 2 6 = = Informatica Nicu Sebe 21 / 34

22 Esempio di Overflow Bit k = 7, = = = ( ) = ( ) = = WTH??? Sommando 2 numeri positivi si ottiene un numero negativo??? Ancora, il risultato corretto (63+1 = 64) non sarebbe rappresentabile... Informatica Nicu Sebe 22 / 34

23 Esempi ed Esercizi Bit Numeri su k = 7 bit, codificati in complemento a 2 Verificare se c è overflow Somma di due numeri positivi: mi aspetto risultato positivo Somma di due numeri negativi: mi aspetto risultato negativo Somma di due numeri negativi: mi aspetto risultato negativo ; Informatica Nicu Sebe 23 / 34

24 Ancora su Overflow Bit Abbiamo visto overflow in somme (/ sottrazioni) fra interi Se a+b > 2 k 1 1, overflow! Se a+b < 2 k 1, overflow! Nota: 2 k 1 a 2 k 1 1 e 2 k 1 b 2 k 1 1 Overflow solo se a e b hanno lo stesso segno!!! Può esserci overflow anche in caso di numeri naturali Esempio: k = 7, (100 = ) = 64+8 = 72: = 72??? Informatica Nicu Sebe 24 / 34

25 La Matematica dell Orologio Bit Aritmetica modulare: considero solo n numeri interi Numeri da 0 a n O numeri da n/2 a n/ Arrivato al numero più grande, riparto dal più piccolo Se i numeri vanno da 0 a n 1, (n 1)+1 = 0 (contando dopo n 1 riparto da 0) Se i numeri vanno da n/2 a n/2 1, n/2 1+1 = n/2 Numeri sul quadrante di un orologio! Definizione più formale: classi di equivalenza modulo n Relazione di equivalenza: a b a%n = b%n Informatica Nicu Sebe 25 / 34

26 Cosa Succede in Caso di Overflow? Bit Operazioni su numeri di k bit aritmetica modulo 2 k Calcolando a+b si ottiene in realtà (a+b)%2 k......se il risultato della somma è < 2 k, allora (a+b)%2 k = a+b no overflow! Altrimenti, risultato strano... Usando rappresentazione in complemento a 2 dei numeri interi, il discorso è analogo: Se a+b è compreso fra 2 k 1 e 2 k 1 1, allora no overflow (risultato corretto)! Se a+b < 2 k 1, ottengo a+b+2 k. Positivo!!! Overflow! Se a+b > 2 k 1 1, ottengo a+b 2 k. Negativo!! Overflow! Informatica Nicu Sebe 26 / 34

27 Rappresentazione dei Numeri Reali Bit Rappresentare esattamente un numero reale x R non è possibile... Numero reale: numero infinito di cifre decimali non periodiche......non rappresentabile con un numero finito di bit! Rappresentiamo un approssimazione di numeri reali!!! Alcuni numeri sono rappresentabili correttamente......altri no Rappresentazione in virgola mobile Numero fisso di cifre significative, ma numero variabile di cifre dopo la virgola Informatica Nicu Sebe 27 / 34

28 Virgola Fissa e Bit Numero reale su k cifre: si possono dedicare k f cifre alla parte intera e f cifre alla parte frazionaria: k {}}{ c k 1 c k 2 c f }{{} k f.c f 1 c 0 }{{} f x B = k i=0 c i B i f = k i=0 c i B i /B f = k i=0 c i Bi B f Convertiamo il numero in base 10 come se non avesse virgola e poi moltiplichiamo per B f : Virgola fissa! Virgola mobile: f non è fisso... x = M B E M: mantissa; E: esponente Informatica Nicu Sebe 28 / 34

29 Virgola Bit Numero x è rappresentato in virgola mobile su k bit x = M B E m bit per la mantissa M......e e = k m bit per l esponente E L esponente è quello che fa muovere la virgola Nei computer, B = 2 (rappresentazione binaria) Mantissa ed esponente: positivi o negativi Segno mantissa: segno di x Esponente negativo: x piccolo; esponente positivo x grande Rappresentati in complemento a 2 o con altre tecniche... Informatica Nicu Sebe 29 / 34

30 Virgola Fissa vs Bit Virgola Fissa: Operazioni semplici da implementare: è sufficiente effettuare somme, sottrazioni, moltiplicazioni come se fossimo tra interi e riscalare il risultato Questo semplifica i requisiti per realizzare una CPU Inoltre se i risultati sono rappresentabili, le operazioni non introducono errori di approssimazione Virgola : Permette di trattare nella stessa applicazione sia numeri grandi che numeri piccoli Applicazioni che abbracciano più ordini di grandezza Informatica Nicu Sebe 30 / 34

31 Numeri Reali in C Bit Standard IEEE (IEEE 754) Mantissa M: modulo e segno (bit di segno s!) Mantissa normalizzata : 1.M Esponente 2 e 1 +1 < E 2 e 1 1 rappresentato come E = E +2 e 1 1. Notare che (E > 0) E = 0 ha un significato speciale: E = (2 e 1 2) e mantissa 0.M. Anche E = 2 e 1 ha un significato speciale { E 1.M 2 E (2 e 1 1) Se s = 0 > 0 : x = 1.M 2 E (2 e 1 1) Se s = 1 { E 0.M 2 (2 e 1 2) Se s = 0 = 0 : x = 0.M 2 (2e 1 2) Se s = 1 Informatica Nicu Sebe 31 / 34

32 Tipi Floating Point in C Bit float: precisione singola k = 32 e = 8, m = 23 double: precisione doppia k = 64 e = 11, m = 52 long double: precisione estesa o quadrupla k = 80 o k = 128 e = 15, m = 64 o m = 112 Informatica Nicu Sebe 32 / 34

33 Esempio: Precisione Singola Bit Approssimazioni di numeri reali rappresentate su 32 bit Esponente rappresentato su 8 bit Se E 0, si sottrae = 127 Se E = 0, esponente = 126 Mantissa rappresentata su 23 bit Bit s di segno E 0 x = ( 1) s 1.M 2 E 127 E = 0 x = ( 1) s 0.M Informatica Nicu Sebe 33 / 34

34 Precisione Singola - Valori Massimo e Minimo Bit Massimo valore rappresentabile: 23 {}}{ Massima mantissa: M = 1 1 Massimo esponente: E = = {}}{ x = = ( ) Minimo valore rappresentabile: Minimo valore positivo rappresentabile: Minima mantissa: M = 1 Esponente: E = 0 E = {}}{ x = = Informatica Nicu Sebe 34 / 34