Gara a Squadre. Progetto Olimpiadi della Matematica. Acireale, 2 Marzo a cura di Giorgio Busoni ed Emanuele Callegari

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1 Acireale, 2 Marzo 2011 Progetto Olimpiadi della Matematica Gara a Squadre a cura di Giorgio Busoni ed Emanuele Callegari 1. Sia p(x) un polinomio di grado 4 tale che p(0) = 60, p(2) = p( 2) = 84 e p(4) = p( 4) = Qual è la somma dei coefficienti di p(x)? 2. Siano a, e b due cifre del numero n = 250a10b Se n è divisibile per 99, quanto vale 10a + b? 3. L esagono convesso ABCDEF è inscritto in una circonferenza. Se gli angoli interni in A e in C misurano rispettivamente 112 e 137, quanto misura, in gradi, l angolo interno in E? 4. Quanti sono i numeri di 3 cifre tali che la cifra delle centinaia è strettamente maggiore della cifra delle decine e quella delle decine è strettamente maggiore di quella delle unità? 5. m Siano x, y e z tre numeri reali e positivi tali che x + y + z = 3 e sia la frazione, ridotta ai minimi termini, che n rappresenta il massimo valore che può assumere x 6 y 4 z 2. Quanto vale m + n? 6. Si immagini di mettere in ordine alfabetico tutti gli anagrammi della parola MANTIDE, contrassegnando il primo col numero 1, il secondo col numero 2, ecc. Con che numero è contrassegnata la parola MANTIDE? 7. In un trapezio isoscele una diagonale è inclinata di 45 rispetto alle basi e misura 84cm. Quanto vale (in cm 2 ) l area del trapezio? 8. Qual è la somma di tutti i divisori di 3072, contando anche 1 e il numero stesso? 9. Sia p(x) = 29x 3 31x x 1 e siano x 1, x 2 ed x 3 le sue radici. Calcolare 1 x x x Nel quadrato ABCD siano P, Q, R e S i punti medi, rispettivamente, dei lati AB, BC, CD e DA. Tracciando i segmenti AR, CP, BS e DQ il quadrato rimane diviso in 9 parti, delle quali, quella con area massima ha area 288cm 2. Quanto vale (in cm 2 ) l area di ABCD? 11. Quanti sono gli anagrammi della parola ACIREALE che non hanno consonanti consecutive? 1

2 12. Quanti sono i divisori di , contando anche 1 e il numero stesso? 13. Quanti sono i diversi rettangoli aventi il perimetro di 201cm e l area che, espressa in cm 2, è un numero intero di 4 cifre? 14. Quanti sono i numeri interi n, con 1 n 9999, tali che è possibile ritagliare un quadrato in modo da ottenere esattamente n quadrati, anche non uguali? 15. Se si scompone il polinomio x nel prodotto di polinomi a coefficienti interi non ulteriormente scomponibili si ottiene che è il prodotto di 3 polinomi p 1 (x), p 2 (x) e p 3 (x). Sia s 1 la somma dei coefficienti di p 1 (x), s 2 quella di p 2 (x) ed s 3 quella di p 3 (x). Quanto vale s 1 + s 2 + s 3? 2

3 Appendice: soluzione dei problemi Soluzione del Problema 1. La risposta corretta è 51. Soluzione del Problema 2. La risposta corretta è 82. Soluzione del Problema 3. La risposta corretta è 111. Soluzione del Problema 4. La risposta corretta è 120. Soluzione del Problema 5. La risposta corretta è 985. Soluzione del Problema 6. La risposta corretta è 2974 Soluzione del Problema 7. La risposta corretta è Soluzione del Problema 8. La risposta corretta è Soluzione del Problema 9. La risposta corretta è 38. Soluzione del Problema 10. La risposta corretta è Soluzione del Problema 11. La risposta corretta è Soluzione del Problema 12. 3

4 La risposta corretta è 108. Soluzione del Problema 13. La risposta corretta è Soluzione del Problema 14. La risposta corretta è Soluzione del Problema 15. La risposta corretta è 39. 4

5 Gara a Squadre - risultati parziali Problema Valore Problema Valore Squadra Punteggio Squadra Punteggio ARCHIMEDE 1158 AMAJORANA BRUNELLESCHI 607 REGINAELENA GULLIEPENNISI 794 FERRARIS file:///c /Users/giorgiobusoni/Desktop/acireale/acireale/situazione.html[07/03/ :18:21]