( ) ( ) ESEMPI. lim. Attribuendo ad x dei valori minori di x 0 (ad es. 0,999,...,0,5) si nota che la

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1 . Limiti di una funzione LIMITI DI UNA FUNZIONE Per ottenere un informazione competa su di una funzione occorrerebbe cacoare tutti i vaori dea funzione per ogni vaore di, ma ciò è impossibie perché tai vaori sono infiniti. E invece possibie studiare i comportamento dea funzione nee vicinanze di un punto (punto di accumuazione) appartenente o no a dominio dea funzione. Dunque bisogna scoprire i vaore a cui tende a funzione quando a tende a. ESEMPI 1. y ( 1) = D = { R / 1} Poiché i punto =1 è un punto di accumuazione de dominio, è possibie studiare i comportamento dea funzione nei punti che si addensano intorno a. Vogiamo quindi conoscere i vaore (finito o infinito) a cui tende a funzione quando tende a sia da sinistra sia da destra. Attribuendo ad dei vaori maggiori di (ad es. 1,5,...,1,1) si nota che a funzione tende a + e quindi possiamo scrivere: im = ( ) Attribuendo ad dei vaori minori di (ad es.,999,...,,5) si nota che a funzione tende a + e quindi possiamo scrivere: im = ( ) Poiché i imite sinistro e queo destro sono uguai, si può concudere che im ( ) 1 1 = +. y = D = { R / 1} im = y = tg() π D = R/ π e im tg() = + π e im tg() = im tg() = π + π - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pag. 1

2 . Limiti di una funzione LIMITE FINITO PER UNA FUNZIONE IN UN PUNTO Si dice che R è i imite dea funzione y = f(), per tendente a R e si scrive im f() = se per ogni intorno J() di centro esiste un intorno I( ) di centro tae che: I( ) D f() J( ( ( { }) ) ) y y y J() J() f() O O O Dire che attribuendo ad vaori sufficientemente vicini a (ma non coincidenti con ) i corrispondenti vaori di f() risutano sufficientemente vicini ad un numero vuo dire che fissato un numero reae ε >, piccoo a piacere, raggio de intorno J(), è possibie trovare un numero reae δ >, raggio de intorno I( ) tae che per ogni D - { } risuta f() < ε ESEMPIO Data a funzione: y =, appichiamo a definizione di imite per dimostrare che im =, R {} Procedimento: I( ) J() ( ) D { }/ I( ) f() J( ) I 1. Si fissa un quaunque intorno J de punto = di raggio un numero reae positivo ε, piccoo a piacere: J, ε = {y R/ y < ε} = {y R/ - ε < y < + ε}. Si deve dimostrare esistenza di un intorno I di =, associato a precedente intorno e avente ampiezza δ (dipendente da ε), tae che tutti i - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pag.

3 . Limiti di una funzione suoi punti ( ) abbiano a corrispondente immagine f() che cade ne intorno J di : f() J, - ε < f() < + ε ovvero f() < ε In pratica: Fissato un numero ε >, si deve risovere a disequazione < ε Poiché; ( 3 6)( ) = = = = 3 6 ε ε Si ha 3 6 < ε da cui si ricava < < Quindi a disequazione (1) è soddisfatta da tutti i vaori interni a intervao I di ε ε estremi e +, escuso i numero. 3 3 I (1) ε ε + L intervao I costituisce un intorno competo de numero e a sua ampiezza 1 1 dipende da ε che noi abbiamo fissato piccoo a piacere (ad es.,, ) 1 1 Quindi, per quanto piccoo sia ε a disequazione (1) ammette sempre souzioni e queste formano intorno competo I ε, Concusione: Per quanto piccoo sia ε> I() / ( I() { } ) < ε D f() J() ovvero Si dice che R è i imite dea funzione y = f(), per tendente a R e si scrive im f() = se, comunque si fissi un numero reae ε >, è sempre possibie trovare, in sua corrispondenza, un numero reae δ > tae che D - - < δ f() < { } ε - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pag. 3

4 . Limiti di una funzione LIMITE INFINITO PER UNA FUNZIONE IN UN PUNTO Può verificarsi che attribuendo a vaori sufficientemente vicini a, i corrispondenti vaori di f() risutino, in vaore assouto, sempre più grandi. Più precisamente: Si dice che a funzione y=f() tende ad infinito per tendente a R e si scrive im f() = se per ogni intorno de infinito J esiste un intorno I( ) di centro tae che: I( ) D f() J ( ( { }) ) Si dice che a funzione y=f() tende ad infinito per tendente a R e si scrive im f() = quando, fissato un arbitrario numero reae M >, è possibie trovare, in sua corrispondenza, un numero reae δ > tae che D - - < δ f() In pratica: { } M > Fissato un numero M >, bisogna determinare un intorno I( ), i cui raggio δ sia dipendente da M, per ogni de quae i corrispondente punto dea curva abbia un ordinata che superi, in vaore assouto i numero M. ESEMPIO 1 Data a funzione y = si appica a definizione di imite per dimostrare che 1 im =, R - { } Se, attribuendo a vaori sufficientemente vicini a, si verifica che i corrispondenti vaori di f() risutano sempre più grandi, si dirà che a funzione tende a +. - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pag.

5 . Limiti di una funzione Più precisamente: Si dice che a funzione y=f() tende a più infinito per tendente a R e si scrive im f() = + se per ogni intorno di più infinito J + esiste un intorno I( ) di centro tae che: I( ) D f() ( ( { } ) ) J + Si dice che a funzione y=f() tende a più infinito per tendente a R e si scrive im f() = + quando, fissato un arbitrario numero reae M >, è possibie trovare, in sua corrispondenza, un numero reae δ > tae che In pratica: { } - < δ f() M D - > Fissato un numero M >, bisogna determinare un intorno I( ), i cui raggio δ sia dipendente da M, per ogni de quae i corrispondente punto dea curva abbia un ordinata che superi i numero M. ESEMPIO Data a funzione y = si appica a definizione di imite per dimostrare che ( 1), im = + 1 ( 1) R - { 1} Se, attribuendo a vaori sufficientemente vicini a, si verifica che i corrispondenti vaori di f() risutano sempre più piccoi, si dirà che a funzione tende a -. - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pag. 5

6 . Limiti di una funzione Più precisamente: Si dice che a funzione y=f() tende a meno infinito per tendente a R e si scrive im f() = se per ogni intorno di meno infinito J - esiste un intorno I( ) di centro tae che: ( ( I( ) { } ) D) f() J Si dice che a funzione y=f() tende a meno infinito per tendente a R e si scrive im f() = quando, fissato un arbitrario numero reae M >, è possibie trovare, in sua corrispondenza, un numero reae δ > tae che In pratica: { } - < δ f() - M D - < Fissato un numero M >, bisogna determinare un intorno I( ), i cui raggio δ sia dipendente da M, per ogni de quae i corrispondente punto dea curva abbia un ordinata minore de numero M. ESEMPIO Data a funzione che 1 y = si appica a definizione di imite per dimostrare ( 3) 1 im 3 ( 3) =, R - { 3} Nota Se una funzione non è definita per = ed i imite per tendente a esiste ed è infinito aora i suo grafico ha per asintoto verticae a retta =. - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pag. 6

7 . Limiti di una funzione LIMITE FINITO PER X CHE TENDE ALL INFINITO Può verificarsi che, attribuendo ad vaori sempre più grandi in vaore assouto, i vaori corrispondenti dea funzione risutino sufficientemente vicini a un numero oppure, in vaore assouto, sempre più grandi. Più precisamente: Si dice che a funzione y=f(), per tendente a, ha per imite e si scrive im f() = se per ogni intorno J di esiste un intorno de infinito I( ) tae che: ( I ) f() J Si dice che a funzione y=f() tende a per tendente a e si scrive im f() = quando, fissato un arbitrario numero reae ε >, è possibie trovare, in sua corrispondenza, un numero reae N > tae che D, > N f() - < ε (1) Nota Se + (- ) a (1) è soddisfatta sotanto per > N ( < -N), N > e si scrive: im f() = e im f() = + Esempi -1 Data a funzione y= Data a funzione y= , R-{} verificare che: im = + + 3, R-{1} verificare che: im = -1 - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pag. 7

8 . Limiti di una funzione Data a funzione y= + 1, R verificare che: im = + 1 La retta y= è un asintoto orizzontae per a funzione. ) Si dice che a funzione y=f(), per tendente a, ha per imite e si scrive im f() = se per ogni intorno J di infinito esiste un intorno de infinito I( ) tae che: I f() J ( ) Si dice che a funzione y=f() tende a per tendente a e si scrive im f() = quando, fissato un arbitrario numero reae M >, è possibie trovare, in sua corrispondenza, un numero reae N > tae che D, > N f() > M (1) Nota Se per > N f() > M si dirà che esiste i im f() = + im f() = im f() = + im f() = + im f() = + im f() = im f() = im f() = Se per > N f() < M si dirà che esiste i Se per > N f() > M si dirà che esiste i Se per > N f () > M si dirà che esiste i + Se per > N f () < -M si dirà che esiste i Se per < N f () > M si dirà che esiste i Se per < N f () > M si dirà che esiste i + Se per < N f () < M si dirà che esiste i - LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA - pag. 8