Teoria intuitiva degli insiemi

Transcript

1 Teoria intuitiva degli insiemi Il concetto di insieme. lcuni esempi Tutta la matematica moderna è fondata sul concetto di insieme. Un insieme è da considerarsi nella sua nozione intuitiva di collezione, gruppo, famiglia, agglomerato di oggetti (di qualsiasi specie, siano essi numeri, persone, piante, elementi chimici, ecc.) definita in modo tale che sia chiaro, senza ambiguità, se un oggetto appartiene o non appartiene a tale collezione. Tali oggetti si chiamano elementi dell insieme. Per esempio, è un insieme la totalità degli studenti della Facoltà di Farmacia dell Università di Cagliari dell a. a. 2011/12. Non ha senso invece considerare l insieme degli studenti intelligenti, dal momento che preso uno studente sarebbe impossibile riuscire senza ambiguità a stabilire se tale studente appartiene o no all insieme. ltri esempi di insieme possono essere: - l agglomerato dei pazienti di un ospedale (è facile stabilire, senza ambiguità, se una persona risulta o no paziente di un certo ospedale), - la totalità dei numeri pari (dato un numero naturale, si può determinare se esso sia o no divisibile per 2 e quindi se sia o no un numero pari e appartenga all insieme), - la collezione dei docenti di ruolo della Facoltà di Farmacia dell Università di Cagliari in servizio ad una certa data. Gli insiemi si indicano usualmente con le lettere maiuscole,, C, racchiudendo in parentesi graffe gli elementi che appartengono all insieme. Per esempio è l insieme dei cinque sensi, oppure S = {vista, udito, olfatto, gusto, tatto} = {1, 2, 4, 8} è l insieme dei divisori del numero 8. Un modo per rappresentare graficamente un insieme è disegnare una figura geometrica di questo tipo: vista 1 S udito olfatto 2 4 gusto tatto 8 Insieme dei divisori di 8 Insieme dei 5 sensi

2 Entrambi gli insiemi S ed rappresentati nella figura sono esempi di insiemi finiti, cioè formati da un numero finito di elementi (5 elementi nel primo caso, 4 nel secondo). Invece un esempio di insieme infinito è l insieme dei numeri naturali, usualmente indicato con la lettera N, N = {1, 2, 3, 4,..}. Un altro esempio di insieme infinito è l insieme dei numeri relativi Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3,.} o l insieme dei numeri reali, denotato con la lettera R. Conosceremo più approfonditamente questi insiemi numerici nel proseguo del corso. Per esprimere, in maniera più abbreviata, che un oggetto appartiene ad un insieme si usa il simbolo e si legge appartiene a. Per esempio, per dire che il numero 43 appartiene all insieme dei numeri naturali si scrive semplicemente nalogamente si ha, per esempio, che 43 N. vista S π R. Cappelletti Montano {docenti di ruolo della Fac. di Farmacia dell Univ. di Cagliari} dove S denota sempre l insieme dei cinque sensi. Invece, per dire che un oggetto non fa parte di un insieme si usa il simbolo (si legge: non appartiene a ). Per esempio, intuito S π N 5 {numeri pari}. Per insiemi molto grandi non è spesso conveniente o talvolta è proprio impossibile elencarne tutti gli elementi. Quindi essi vengono definiti per mezzo di parole o espressioni matematiche. Per esempio non siamo in grado di enumerare tutti i numeri reali più grandi di 7. Perciò tale insieme potrà essere definito nel modo seguente {x R tali che x > 7}

3 (a parole: l insieme degli x appartenenti a R tali che sono maggiori di 7 ). Spesso ma è solo una questione di simboli al fine di utilizzare una scrittura più abbreviata, al posto delle parole tali che potranno essere usati i simboli : oppure. Per esempio la scrittura {x R x 2 = 4} indica l insieme dei numeri reali che elevati al quadrato danno 4, cioè l insieme delle soluzioni dell equazione di secondo grado x 2 = 4. Come è noto, le soluzioni di questa equazione sono i numeri 2 e 2, pertanto possiamo scrivere {x R x 2 = 4} = {2, 2}. Più in generale due insiemi e si dicono uguali, e ciò si indica con il simbolo =, quando contengono esattamente gli stessi elementi. Prova a dire a cosa è uguale questo insieme: {n Z n 0}. Concludiamo il paragrafo chiedendoci se è possibile considerare un insieme che non abbia elementi. La risposta è sì e tale insieme si chiama insieme vuoto e si indica con il simbolo. Per esempio, {x R x 2 = 1} = (cioè l insieme delle soluzioni dell equazione x 2 = 1 è uguale all insieme vuoto) perché l equazione x 2 = 1 non ammette alcuna soluzione, dato che non può esistere alcun numero reale x che elevato al quadrato sia uguale ad un numero negativo. Sottoinsiemi Consideriamo l insieme di tutti i farmaci (in commercio in Italia, questo sarà sempre sottointeso) e l insieme dei farmaci antipiretici. Chiaramente tutti gli elementi di sono anche elementi di (ogni antipiretico è, ovviamente, un farmaco). Possiamo rappresentare graficamente questa situazione in questo modo: Più in generale, se tutti gli elementi di un insieme sono anche elementi di un insieme, diremo che è un sottoinsieme di. Questa circostanza viene indicata in matematica con il simbolo:. Ogni insieme è sottoinsieme di se stesso:. Inoltre l insieme vuoto, non contenendo alcun elemento, è sottoinsieme di qualunque insieme.

4 Esempi 1. L insieme {1,2,3} costituito dai primi tre numeri naturali ha i seguenti sottoinsiemi, oltre all insieme vuoto e a se stesso, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}. 2. Consideriamo l insieme di tutte le malattie cardiovascolari e l insieme = {angina pectoris}. llora. 3. Indichiamo con l insieme dei quadrilateri, l insieme dei rombi e C l insieme dei quadrati. llora si ha che C. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione e differenza Dati due o più insiemi, attraverso delle semplici operazioni, possiamo ottenere un nuovo insieme. Fra queste vi sono l unione, l intersezione e la differenza tra insiemi. Vediamole più da vicino. L unione di due insiemi e è l insieme, denotato, i cui elementi sono esattamente gli elementi che appartengono ad oppure che appartengono a. Più brevemente: = { x x oppure x }. La figura sotto dovrebbe aiutare a chiarire il concetto :

5 In altre parole, l operazione di unione serve a costruire un nuovo insieme, più grande di e di, ottenuto aggiungendo agli elementi di anche quelli di. Esempi 1. Consideriamo gli insiemi = {-2, 0, 1} e = {1, 2, 3, 4} (come avrai già riconosciuto essi sono sottoinsiemi dell insieme Z dei numeri relativi). llora l unione di questi due insiemi è data da = {-2, 0, 1, 2, 3, 4}. 2. Denotiamo con l insieme degli anti-infiammatori non-steroidei e con l insieme dei farmaci cortisonici. llora l unione di e non è altro che l insieme di tutti i farmaci antiinfiammatori. Ora consideriamo gli stessi insiemi e della figura in alto. Si chiama intersezione di e l insieme, denotato con il simbolo, che è costituito dagli elementi che appartengono sia ad che a. Più brevemente: = { x x e x }. In altre parole, è la collezione degli elementi che i due insiemi e hanno in comune. Ciò è ben illustrato dalla figura in basso. In tal caso è l insieme rappresentato dalla figura geometrica di colore viola. Può anche capitare che due insiemi non abbiano alcun elemento in comune. In questo caso =, cioè i due insiemi hanno intersezione vuota. Esempi 1 1. π,,10, 11,12 { π,10,11, 50} = { 10,11}, dato 2 che i numeri 10 e 11 sono gli unici elementi in comune ai due insiemi. -π π 50 1/2

6 2. R N = N. Infatti ogni numero naturale è anche un numero reale. 3. Sia l insieme dei rettangoli e l insieme dei rombi. llora è l insieme di quei rombi (cioè dei quadrilateri con quattro lati uguali) che sono contemporaneamente anche dei rettangoli (cioè i cui lati formano angoli retti). Quindi è l insieme dei quadrati. Infine, un altra operazione tra insiemi è la differenza tra due insiemi. La differenza tra due insiemi e è quell insieme, denotato con il simbolo, i cui elementi sono gli elementi di che non appartengono a : { x x } =. La due figure in basso dovrebbero chiarire il concetto. è rappresentato dalla figura di colore azzurro ottenuta sottraendo a tutto l insieme quei punti che appartengono anche a. Esempi 1. {-1, 0, 4, 5} {-1, 4} = {0, 5}. Infatti 0 e 5 sono tutti e soli gli elementi del primo insieme che non appartengono anche al secondo. 2. Consideriamo ancora l insieme degli anti-infiammatori e l insieme dei cortisonici. llora l insieme differenza non è nient altro che l insieme di tutti gli anti-infiammatori non steroidei.

7 Simbologia Come ti sarai accorto, spesso in Matematica si tende ad usare dei simboli in luogo di espressioni di parole. Questo sia per una questione di comodità, per evitare di scrivere espressioni matematiche troppo lunghe, sia per poter disporre di un linguaggio universale comune a scienziati e persone (non necessariamente matematici) di diversa nazionalità. Riassumiamo qui sotto alcuni di questi simboli con il relativo significato. Si tratta ovviamente di simboli che non vanno assolutamente imparati a memoria. lcuni di essi senz altro ti sono già noti gli altri diventeranno più familiari con il loro uso. In ogni caso può sempre essere utile, anche per il futuro, disporre di una tabella che possa mostrare il significato di qualche simbolo, incontrato in un libro, articolo scientifico, ecc., di cui si ignori o non ci si ricordi in quel momento il significato. a b a è diverso da b è sottoinsieme di a > b a è maggiore di b unione di e a b a è maggiore o uguale a b intersezione di e a < b a è minore di b differenza di e a b a è minore o uguale a b N insieme dei numeri naturali a valore assoluto di a Z insieme dei numeri relativi x x appartiene all insieme Q insieme dei numeri razionali x x non appartiene all insieme R insieme dei numeri reali implica tale che : è equivalente a (opp. se e solo se ) esiste insieme vuoto per ogni In particolare è bene mettere in evidenza il significato del simbolo di implicazione, che viene usato abbastanza di frequente. Questo simbolo si usa per esprimere in forma abbreviata che se succede P allora capita anche Q. Scriveremo P Q e si legge P implica Q. Per esempio consideriamo la frase Se ndrea è un alunno italiano allora è un alunno europeo. Questo si può abbreviare scrivendo ndrea è alunno italiano ndrea è alunno europeo dove quindi come enunciato P abbiamo preso la frase ndrea è alunno italiano e come enunciato Q la frase ndrea è alunno europeo. Si noti che se P Q non è affatto detto che Q P. Nell esempio precedente, chiaramente il fatto che ndrea è un alunno europeo non implica che egli sia necessariamente italiano. Quando accade che date due frasi P e Q, si ha che P Q e nello stesso tempo anche che Q P, diremo che P e Q sono equivalenti e per esprimere questo concetto si usa il simbolo P Q (si legge P equivale a Q, oppure P se e solo se Q ). Facciamo un esempio. Prendiamo come frase P ndrea ha superato l esame di Matematica e come frase Q ndrea ha ottenuto un voto almeno pari a 18/30 all esame di Matematica. Chiaramente la prima frase implica la seconda (se uno studente ha superato un esame deve per forza aver preso almeno 18) ma anche la seconda frase implica la prima (se si prende almeno 18 si supera l esame). Le due frasi sono quindi del tutto equivalenti.