Due dimostrazioni alternative nella teoria di Ramsey

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1 Due dimostrazioni alternative nella teoria di Ramsey 28 Marzo 2007

2 Introduzione Teoria di Ramsey: sezione della matematica a metà tra la combinatoria e la teoria degli insiemi. La questione tipica è quella dell esistenza di sottoinsiemi monocromatici con certe proprietà, per ogni colorazione finita di strutture grandi. Problema Dimostrare che tra 6 persone ce ne sono sempre 3 che si conoscono a due a due, oppure 3 che non si conoscono a due a due.

3 Introduzione Teoria di Ramsey: sezione della matematica a metà tra la combinatoria e la teoria degli insiemi. La questione tipica è quella dell esistenza di sottoinsiemi monocromatici con certe proprietà, per ogni colorazione finita di strutture grandi. Problema Dimostrare che tra 6 persone ce ne sono sempre 3 che si conoscono a due a due, oppure 3 che non si conoscono a due a due.

4 Riformulazione: se coloriamo le coppie di un insieme di 6 elementi (le persone) con 2 colori (a seconda che si conoscano o meno), esiste sempre un sottoinsieme di 3 elementi omogeneo (cioè tale che tutte le sue coppie siano dello stesso colore). Caso particolare del Teorema (Ramsey finito) Per ogni k, r, m N esiste un naturale n, tale che: per ogni colorazione con r colori delle k-uple di elementi dell insieme I n = {1,..., n} esiste un sottoinsieme di I n di m elementi omogeneo (cioè tale che tutte le sue k-uple siano dello stesso colore). Esiste anche una versione infinita, in cui I n è sostituito da tutto N, e si trova un sottoinsieme infinito e omogeneo.

5 Riformulazione: se coloriamo le coppie di un insieme di 6 elementi (le persone) con 2 colori (a seconda che si conoscano o meno), esiste sempre un sottoinsieme di 3 elementi omogeneo (cioè tale che tutte le sue coppie siano dello stesso colore). Caso particolare del Teorema (Ramsey finito) Per ogni k, r, m N esiste un naturale n, tale che: per ogni colorazione con r colori delle k-uple di elementi dell insieme I n = {1,..., n} esiste un sottoinsieme di I n di m elementi omogeneo (cioè tale che tutte le sue k-uple siano dello stesso colore). Esiste anche una versione infinita, in cui I n è sostituito da tutto N, e si trova un sottoinsieme infinito e omogeneo.

6 Varianti si ottengono in diversi modi: ad esempio mescolando colorazioni e struttura algebrica di N. Teorema (Schur) Per ogni colorazione finita di N esiste una tripletta di Schur, cioè x, y, z N distinti, tutti dello stesso colore, e tali che x + y = z. In questa versione è una diretta conseguenza del teorema di Ramsey finito.

7 La seguente generalizzazione è molto meno ovvia: Teorema (di Hindman, o delle somme finite) Per ogni colorazione finita di N esiste un sottoinsieme infinito {x n } tale che l insieme delle sue somme finite FS({x n }) = { i F x i : F N finito} sia monocromatico. Dimostrato da Hindman con argomenti di combinatoria elementare, e successivamente da Galvin e Glazer con tecniche di topologia.

8 La seguente generalizzazione è molto meno ovvia: Teorema (di Hindman, o delle somme finite) Per ogni colorazione finita di N esiste un sottoinsieme infinito {x n } tale che l insieme delle sue somme finite FS({x n }) = { i F x i : F N finito} sia monocromatico. Dimostrato da Hindman con argomenti di combinatoria elementare, e successivamente da Galvin e Glazer con tecniche di topologia.

9 Usando gli stessi metodi si sono trovate dimostrazioni alternative di classici del campo, ad esempio del Teorema (van der Waerden) Per ogni colorazione finita di N esiste un colore che ammette progressioni aritmetiche monocromatiche (di tale colore) arbitrariamente lunghe.

10 Ultrafiltri Introduzione Ultrafiltri Topologia su βn Definizione Un filtro F su un insieme X è una collezione di sottoinsiemi F P(X ) che soddisfa: (a) X F, / F. (b) A F, B F A B F (chiuso per intersezione finita). (c) A F, A B B F (chiuso per passaggio a soprainsiemi).

13 Ultrafiltri Topologia su βn Una proprietà fondamentale dei filtri è la proprietà dell intersezione finita o FIP (finite intersection property). Definizione Una collezione di insiemi A ha la FIP se per ogni sottoinsieme finito F A si ha F. Ogni filtro è chiuso per intersezione finita e non contiene il vuoto tutti i filtri hanno la FIP.

14 Ultrafiltri Topologia su βn Una proprietà fondamentale dei filtri è la proprietà dell intersezione finita o FIP (finite intersection property). Definizione Una collezione di insiemi A ha la FIP se per ogni sottoinsieme finito F A si ha F. Ogni filtro è chiuso per intersezione finita e non contiene il vuoto tutti i filtri hanno la FIP.

15 Ultrafiltri Topologia su βn Proposizione F filtro su X. Le seguenti sono equivalenti: (i) F è un filtro massimale rispetto all inclusione. (ii) Per ogni A X si ha A F, oppure X A F. (iii) Ogni volta che n i=1 A i F esiste i tale che A i F. Un filtro che soddisfi queste tre proprietà viene detto ultrafiltro.

16 Ultrafiltri Topologia su βn Esempio Se x X l insieme e(x) = {A X : x A} è un ultrafiltro su X, detto ultrafiltro principale generato da x. Esempio Se X è infinito, Fr(X ) = {A X : X A finito} è un filtro su X, il filtro di Fréchet di X, o filtro dei sottoinsiemi cofiniti di X. Non è un ultrafiltro. Idea: gli elementi di un filtro sono insiemi che si considerano grandi.

17 Ultrafiltri Topologia su βn Applicando il lemma di Zorn si dimostra che ogni filtro si può estendere a un ultrafiltro: Proposizione F filtro su X, allora esiste un ultrafiltro U su X che estende F, cioè F U. In particolare se X è infinito esistono ultrafiltri non principali: basta prendere un ultrafiltro che estenda il filtro di Fréchet.

18 Ultrafiltri Topologia su βn Modo alternativo di vedere gli ultrafiltri: misure µ : P(X ) {0, 1} non degeneri e finitamente additive: Dato U ultrafiltro, si pone µ(a) = 1 se e solo se A U. Data la misura µ, si pone A U se e solo se µ(a) = 1. In questo senso gli ultrafiltri possono essere visti come collezioni di insiemi grandi, di misura 1.

19 Ultrafiltri Topologia su βn Modo alternativo di vedere gli ultrafiltri: misure µ : P(X ) {0, 1} non degeneri e finitamente additive: Dato U ultrafiltro, si pone µ(a) = 1 se e solo se A U. Data la misura µ, si pone A U se e solo se µ(a) = 1. In questo senso gli ultrafiltri possono essere visti come collezioni di insiemi grandi, di misura 1.

20 Ultrafiltri Topologia su βn Se A N, x N poniamo x + A = {y N : x + y A}. Definizione U su N è quasi invariante per traslazione se: per ogni A U si ha {x N : x + A U} U. (se vediamo l ultrafiltro come una misura, si traduce in per ogni insieme grande A, l insieme traslato x + A è µ-quasi ovunque grande )

21 Ultrafiltri Topologia su βn L esistenza di un tale ultrafiltro implica il teorema di Hindman. Proposizione Sia N = r i=1 C i una colorazione finita di N, e supponiamo che esista un ultrafiltro su N quasi invariante per traslazione. Allora esistono un sottoinsieme infinito {x n } e un indice j tali che FS({x n }) = { i F x i : F N finito} C j.

22 Ultrafiltri Topologia su βn Dimostrazione: U ultrafiltro quasi invariante per traslazione, j tale che C j U. Definiamo ricorsivamente: A 1 = C j x 1 A 1 {x N : x + A 1 U}. Supponiamo A n U e x n A n tale che x n + A n U. A n+1 = A n ( x n + A n ) x n+1 A n+1 {x N : x + A n+1 U} e diverso dagli x i precedenti. Le somme finite di {x n } stanno tutte in C j : ad esempio x 2 + x 3 + x 6 C j perché x 6 A 6 A 5 A 4 x 3 + A 3, dunque x 3 + x 6 A 3 x 2 + A 2, e infine x 2 + x 3 + x 6 A 2 A 1 = C j.

23 Ultrafiltri Topologia su βn Quest osservazione è dovuta a Fred Galvin. L esistenza di ultrafiltri quasi invarianti per traslazione fu poi confermata da una dimostrazione di Steven Glazer. Outline della dimostrazione: βn, l insieme degli ultrafiltri su N, ha una topologia naturale, con cui diventa uno spazio di Hausdorff compatto. Si può estendere la somma di N a un operazione su βn, che lo rende un semigruppo. Esplicitamente, la somma di due ultrafiltri è definita da A U + V {x N : x + A V} U Gli idempotenti di βn, cioè gli U tali che U + U = U, sono ultrafiltri quasi invarianti per traslazione.

26 Ultrafiltri Topologia su βn Con la topologia e la struttura di semigruppo citate βn è un semigruppo topologico destro di Hausdorff compatto. In un semigruppo topologico destro di Hausdorff compatto esistono idempotenti. Successivamente fu trovata una dimostrazione del teorema di van der Waerden che usa le stesse tecniche, e in più qualche risultato riguardante gli ideali sinistri minimali di βn.

29 Topologia su βn Introduzione Ultrafiltri Topologia su βn D ora in poi βn = {U : U ultrafiltro su N}. Definizione Se A N, poniamo A = {U βn : A U} βn. Quest associazione si comporta bene rispetto alle operazioni insiemistiche, cioè per ogni A, B N valgono: A B = A B. A B = A B. N A = βn A. N = βn.

30 Topologia su βn Introduzione Ultrafiltri Topologia su βn D ora in poi βn = {U : U ultrafiltro su N}. Definizione Se A N, poniamo A = {U βn : A U} βn. Quest associazione si comporta bene rispetto alle operazioni insiemistiche, cioè per ogni A, B N valgono: A B = A B. A B = A B. N A = βn A. N = βn.

31 Ultrafiltri Topologia su βn In particolare {A : A N} è una base degli aperti (e anche dei chiusi) di una topologia su βn. Alcune proprietà: βn è uno spazio topologico di Hausdorff compatto. e : N βn che associa a n N l ultrafiltro principale e(n) è un immersione e la sua immagine è aperta. cl βn e(a) = A. D ora in poi identifichiamo N con l insieme degli ultrafiltri principali e(n) βn.

34 Introduzione Ultrafiltri Topologia su βn βn è in effetti la compattificazione di Stone- Cech di N, cioè ha una proprietà universale tra gli spazi di Hausdorff compatti Y con una funzione (continua) f : N Y. Precisamente, se Y ed f sono come sopra esiste un unica funzione continua f : βn Y che estende f. N e βn f Y! f

35 Ultrafiltri Topologia su βn Dati U, V βn definiamo U + V P(N) mediante: A U + V {x N : x + A V} U. U + V è effettivamente un ultrafiltro e l operazione estende la somma di N.

36 Ultrafiltri Topologia su βn Dati U, V βn definiamo U + V P(N) mediante: A U + V {x N : x + A V} U. U + V è effettivamente un ultrafiltro e l operazione estende la somma di N.

37 Ultrafiltri Topologia su βn Definizione Un semigruppo (G, ) su cui è definita una topologia si dice topologico destro se per ogni g G l applicazione ρ g : G G data da ρ g (h) = h g (traslazione a destra) è continua. Proposizione (βn, +) è un semigruppo topologico destro. Inoltre per ogni n N l applicazione λ n (U) = n + U (traslazione a sinistra) è continua.

38 Ultrafiltri Topologia su βn Definizione Un semigruppo (G, ) su cui è definita una topologia si dice topologico destro se per ogni g G l applicazione ρ g : G G data da ρ g (h) = h g (traslazione a destra) è continua. Proposizione (βn, +) è un semigruppo topologico destro. Inoltre per ogni n N l applicazione λ n (U) = n + U (traslazione a sinistra) è continua.

39 Ultrafiltri Topologia su βn Il seguente teorema conclude la dimostrazione del teorema di Hindman: Teorema (Lemma di Ellis) Sia (G, ) un semigruppo topologico destro di Hausdorff compatto. Allora G contiene un idempotente, cioè un elemento g G tale che g g = g. Partendo da un semigruppo qualsiasi (= insieme dotato di un operazione binaria associativa) al posto di N, con la stessa dimostrazione si ricava un risultato leggermente più generale.

40 Ultrafiltri Topologia su βn Il seguente teorema conclude la dimostrazione del teorema di Hindman: Teorema (Lemma di Ellis) Sia (G, ) un semigruppo topologico destro di Hausdorff compatto. Allora G contiene un idempotente, cioè un elemento g G tale che g g = g. Partendo da un semigruppo qualsiasi (= insieme dotato di un operazione binaria associativa) al posto di N, con la stessa dimostrazione si ricava un risultato leggermente più generale.

41 Ultrafiltri Topologia su βn Dimostrazione: I = {A G : A compatto, A A A}, parzialmente ordinato per inclusione. I è non vuota e ogni catena discendente ha un minorante esiste un elemento minimale A (Zorn). Prendiamo g A e sia B = A g = {h g : h A}. B A, B I B = A. Sia ora C = {h A : h g = g}. C A, C I C = A. In particolare g C, dunque g g = g.

42 Fissiamo k N e una colorazione finita N = r i=1 C i, e mostriamo che esiste una progressione aritmetica di lunghezza k monocromatica. Dato che i colori sono in numero finito, questo implica il teorema di van der Waerden. Consideriamo nel seguito (βn) k = βn βn dotato della topologia prodotto e della struttura di gruppo prodotto (cioè la somma è definita per componenti).

43 Fissiamo k N e una colorazione finita N = r i=1 C i, e mostriamo che esiste una progressione aritmetica di lunghezza k monocromatica. Dato che i colori sono in numero finito, questo implica il teorema di van der Waerden. Consideriamo nel seguito (βn) k = βn βn dotato della topologia prodotto e della struttura di gruppo prodotto (cioè la somma è definita per componenti).

44 Supponiamo di avere un U βn tale che (U,..., U) I, dove I = cl (βn) k {(a, a+d, a+2d,..., a+(k 1)d) : a, d N} (βn) k. L esistenza di tale elemento implica la nostra tesi. Dimostrazione: Supponiamo (U,..., U) I, e sia j tale che C j U. Allora U C j = V, che è un aperto in βn. V V è un intorno aperto di (U,..., U), e quindi per definizione di chiusura esistono a, d N tali che (a, a + d, a + 2d,..., a + (k 1)d) V V. Allora {a, a + d, a + 2d,..., a + (k 1)d} V N = C j N = C j.

45 Supponiamo di avere un U βn tale che (U,..., U) I, dove I = cl (βn) k {(a, a+d, a+2d,..., a+(k 1)d) : a, d N} (βn) k. L esistenza di tale elemento implica la nostra tesi. Dimostrazione: Supponiamo (U,..., U) I, e sia j tale che C j U. Allora U C j = V, che è un aperto in βn. V V è un intorno aperto di (U,..., U), e quindi per definizione di chiusura esistono a, d N tali che (a, a + d, a + 2d,..., a + (k 1)d) V V. Allora {a, a + d, a + 2d,..., a + (k 1)d} V N = C j N = C j.

46 Il teorema di van der Waerden è quindi un corollario del seguente Teorema Esiste U βn tale che (U,..., U) I. la cui dimostrazione è un po tecnica, e utilizza sia il lemma di Ellis che alcuni risultati riguardanti gli ideali sinistri minimali di βn.

47 Generalizzazioni Introduzione Generalizzazioni Serve l assioma di scelta? Alcuni risultati recenti Alcuni rafforzamenti del teorema di Hindman: Se x 1,..., x n sono tali che FS({x t } t=1,...,n ) C j, si hanno infinite scelte per x n+1 (ovvia conseguenza del teorema). Più forte: c è un insieme con densità asintotica superiore positiva in cui scegliere x n+1. Se N = r i=1 C i è una colorazione finita, esistono un indice j e due successioni {x n } e {y n } tali che le somme finite della prima e i prodotti finiti della seconda stanno tutti in C j.

50 Generalizzazioni Serve l assioma di scelta? Alcuni risultati recenti W k = insieme delle parole (cioè successioni finite) su un alfabeto di k lettere {a 1,..., a k }. Parola variabile v x = parola in cui compare almeno una volta una lettera x distinta dalle a i. v a i = parola in cui a ogni occorrenza di x si sostituisce a i. (esempio: v x = bxcxx è una parola variabile e v a = bacaa) Una generalizzazione del teorema di van der Waerden: Teorema (Hales-Jewett, 1963) Per ogni k, r N e per ogni colorazione finita W k = r i=1 C i esistono un indice j e una parola variabile v x tali che {v a i : i = 1,..., k} C j.

51 Generalizzazioni Serve l assioma di scelta? Alcuni risultati recenti W k = insieme delle parole (cioè successioni finite) su un alfabeto di k lettere {a 1,..., a k }. Parola variabile v x = parola in cui compare almeno una volta una lettera x distinta dalle a i. v a i = parola in cui a ogni occorrenza di x si sostituisce a i. (esempio: v x = bxcxx è una parola variabile e v a = bacaa) Una generalizzazione del teorema di van der Waerden: Teorema (Hales-Jewett, 1963) Per ogni k, r N e per ogni colorazione finita W k = r i=1 C i esistono un indice j e una parola variabile v x tali che {v a i : i = 1,..., k} C j.

52 Generalizzazioni Serve l assioma di scelta? Alcuni risultati recenti Il teorema di van der Waerden è un caso particolare: dato k si prende come alfabeto {0, 1,..., k 1} e si identificano le parole con l espansione in base k dei naturali: x 0 x 1 x n n i=0 ki x i. Una colorazione di N ne induce una di W k, e il sottoinsieme monocromatico della forma {v a i : i = 1,..., k} fornito dal teorema di Hales-Jewett è proprio una progressione aritmetica di lunghezza k.

53 Generalizzazioni Serve l assioma di scelta? Alcuni risultati recenti Una generalizzazione in una direzione diversa: Teorema (Szemeredi, 1975) Un sottoinsieme A N di densità asintotica superiore positiva contiene progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe. Congettura (Erdős-Turán): qualsiasi successione in N tale che la serie dei reciproci diverga contiene progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe.

54 Generalizzazioni Serve l assioma di scelta? Alcuni risultati recenti Una generalizzazione in una direzione diversa: Teorema (Szemeredi, 1975) Un sottoinsieme A N di densità asintotica superiore positiva contiene progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe. Congettura (Erdős-Turán): qualsiasi successione in N tale che la serie dei reciproci diverga contiene progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe.

55 Generalizzazioni Serve l assioma di scelta? Alcuni risultati recenti Un modo alternativo di leggere (generalizzazioni de) i due teoremi: Le proprietà dei sottoinsiemi di N di contenere le somme finite di un qualche sottoinsieme infinito (IP-set), e di contenere progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe (AP-rich) si conservano per partizione finita. Si dice anche che le classi dei sottoinsiemi che hanno tali proprietà sono partition-regular. L essere IP-set o AP-rich sono quindi due nozioni di grandezza di un insieme.

56 Generalizzazioni Serve l assioma di scelta? Alcuni risultati recenti Un modo alternativo di leggere (generalizzazioni de) i due teoremi: Le proprietà dei sottoinsiemi di N di contenere le somme finite di un qualche sottoinsieme infinito (IP-set), e di contenere progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe (AP-rich) si conservano per partizione finita. Si dice anche che le classi dei sottoinsiemi che hanno tali proprietà sono partition-regular. L essere IP-set o AP-rich sono quindi due nozioni di grandezza di un insieme.

57 Serve l assioma di scelta? Generalizzazioni Serve l assioma di scelta? Alcuni risultati recenti La dimostrazione topologica del teorema di Hindman si appoggia in modo sostanziale all assioma di scelta, mentre quella combinatoria non lo richiede. L enunciato stesso del teorema sembra troppo semplice per richiedere AC per essere dimostrato. In effetti si può far seguire da un risultato di logica, il teorema di assolutezza di Shoenfield, che il teorema di Hindman è un teorema di ZF, e non solo di ZFC.

58 Serve l assioma di scelta? Generalizzazioni Serve l assioma di scelta? Alcuni risultati recenti La dimostrazione topologica del teorema di Hindman si appoggia in modo sostanziale all assioma di scelta, mentre quella combinatoria non lo richiede. L enunciato stesso del teorema sembra troppo semplice per richiedere AC per essere dimostrato. In effetti si può far seguire da un risultato di logica, il teorema di assolutezza di Shoenfield, che il teorema di Hindman è un teorema di ZF, e non solo di ZFC.

59 Generalizzazioni Serve l assioma di scelta? Alcuni risultati recenti Il fatto che l enunciato sia semplice si traduce formalmente nel fatto che esso si possa codificare con una formula del tipo Π 1 2, cioè della forma ( X P(N))( Y P(N))φ(X, Y ), dove φ è una formula in cui compaiono solo quantificazioni al prim ordine, cioè su numeri naturali. È questo fatto che permette di applicare il teorema di Shoenfield, e concludere che la validità del teorema di Hindman non dipende dall assioma di scelta.

60 Alcuni risultati recenti Generalizzazioni Serve l assioma di scelta? Alcuni risultati recenti Le tecniche viste vengono da un settore di ricerca molto attivo, che ha connessioni con la dinamica topologica (teoria ergodica di Ramsey) e con lo studio delle proprietà algebriche di semigruppi topologici. Alcuni esempi significativi di risultati del campo, oltre a quelli già citati, sono: Teorema di Furstenberg-Sarkozy, 1978: se A Z ha densità asintotica superiore positiva e P è un polinomio a coefficienti interi con P(0) = 0, allora l insieme delle differenze A A = {a 1 a 2 : a i A} contiene un qualche intero della forma P(m) con m > 0. Teorema di Green-Tao, 2004: la successione dei primi contiene progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe.

63 Generalizzazioni Serve l assioma di scelta? Alcuni risultati recenti Teorema di Bergelson-Leibman, 1996: se A Z ha densità asintotica superiore positiva e P 1,..., P k sono polinomi a coefficienti interi con P i (0) = 0, allora A contiene infinite progressioni della forma x + P 1 (m),..., x + P k (m) con m > 0. Teorema di Tao-Ziegler, 2006: per l insieme dei primi vale la stessa proprietà, cioè: se P 1,..., P k sono polinomi a coefficienti interi con P i (0) = 0, allora esistono infinite progressioni della forma x + P 1 (m),..., x + P k (m) con m > 0, e con tutti i termini primi. (se prendiamo P i (m) = i m ritroviamo le progressioni aritmetiche)

64 Generalizzazioni Serve l assioma di scelta? Alcuni risultati recenti Teorema di Bergelson-Leibman, 1996: se A Z ha densità asintotica superiore positiva e P 1,..., P k sono polinomi a coefficienti interi con P i (0) = 0, allora A contiene infinite progressioni della forma x + P 1 (m),..., x + P k (m) con m > 0. Teorema di Tao-Ziegler, 2006: per l insieme dei primi vale la stessa proprietà, cioè: se P 1,..., P k sono polinomi a coefficienti interi con P i (0) = 0, allora esistono infinite progressioni della forma x + P 1 (m),..., x + P k (m) con m > 0, e con tutti i termini primi. (se prendiamo P i (m) = i m ritroviamo le progressioni aritmetiche)