Informatica. Informatica. Grandezze digitali. Grandezze analogiche

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1 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 1 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 2 Informatica Informatica informatica informazione mezzi fisici logici LA RAPPRESENTAZIONE DELLE INFORMAZIONI rappresentazione dell informazione (in bit) calcolatori programmi LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 3 Grandezze digitali LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 4 Grandezze analogiche Si chiama digitale una grandezza che può assumere un insieme discreto (numerabile) di valori. Per esempio: il numero di granelli di sabbia di una spiaggia, il numero di stelle e pianeti nell universo. Se la grandezza può assumere valori all interno di un insieme finito, allora è detta finita. Si chiama analogica una grandezza che può assumere un insieme non numerabile (cioè continuo) di valori. Per esempio l intensità di corrente che passa attraverso un filo

2 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 5 Grandezze analogiche LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 6 Analogico vs digitale Anche i numeri reali sono una grandezza analogica. Infatti, tra l intero 1 e l intero 2 esistono una infinità non numerabile di altri numeri; per esempio tra i numeri 1, e 1, esistono una infinità non numerabile di altri numeri, per esempio il numero 1, e il numero 1, ; e così via. Digitale: da digit (ingl. cifra ), relativo al calcolo con elementi numerali. I calcolatori moderni sono detti digitali,inquanto possono lavorare soltanto con grandezze di tipo digitale e finite. tutte le informazioni vengono rappresentate con l uso di segnali discreti in forma di numeri o caratteri: numeri, istruzioni, testo immagini statiche e in movimento suoni LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 7 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 8 Rappresentazione delle informazioni Rappresentazione delle informazioni Pertanto nella memoria del calcolatore è possibile memorizzare esclusivamente sequenze di bit e il processore può trattare soltanto dati espressi come sequenze di bit. Inoltre la memoria del calcolatore ha una dimensione finita. Per formalizzare dati come numeri, testo, ecc., si utilizzano simboli scelti da un insieme finito, detto alfabeto. per i numeri usiamo {0, 1, 2,, 9} e la virgola per i testi usiamo {a,.., z, A,.., Z, 0,.., 9, ecc.} Ad un alfabeto associamo un insieme di regole di composizione che definiscono le successioni ben formate. 12,35 è un numero (successione ben formata) 19?48 no lo è Casa è una parola Ca%a non lo è

3 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 9 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 10 Rappresentazione delle informazioni Rappresentazione delle informazioni La relazione che associa ad ogni successione ben formata di simboli di un alfabeto il dato corrispondente è detta codice. Un codice mette quindi in relazione le successioni di simboli con il significato loro attribuito. Per i calcolatori si usa un alfabeto binario: Alfabeto binario: costituito da due simboli convenzionalmente 0 e 1 binit o bit (binary digit, cifra binaria): elemento che assume un valore binario il bit è anche l unità elementare di informazione LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 11 La codifica binaria Avendo a disposizione un solo bit si possono rappresentare due elementi diversi: si assegna al primo la codifica 0 al secondo la codifica 1 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 12 La codifica binaria Con 2 bit si possono rappresentare 4 = 2 2 elementi (oggetti, individui,...) diversi, assegnando a ciascuno una codifica diversa: paperino codifica 00 qui codifica 01 quo codifica 10 qua codifica 11 con 3 bit si possono rappresentare 8 = 2 3 elementi diversi.. con n bit si possono rappresentare 2 n elementi diversi

4 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 13 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 14 Codifica di oggetti Codifica di oggetti Per codificare un insieme finito di m oggetti distinti, occorre assegnare ad ognuno di essi una codifica diversa. Poiché con n bit posso codificare m = 2 n oggetti, la codifica di m oggetti richiede n = log 2 m bit. (Nota: log 2 m è il più piccolo intero log 2 m). Esempio: Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica bit necessari: Log Log 2 7 = 3 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 15 Codifica dei caratteri I caratteri delle lingue occidentali (52 segni alfabetici, 10 cifre, i segni di punteggiatura e altri caratteri che noi usiamo nei testi scritti) sono una grandezza digitale. Il codice utilizzato da sempre per la codifica binaria dei caratteri è il codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange), che utilizza 7 bit. LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 16 Codifica dei caratteri Il codice ASCII standard codifica 128 caratteri (cifre, lettere minuscole e maiuscole, simboli, caratteri di comando) la codifica rispetta l ordine alfanumerico Un byte contiene 8 bit, quindi avanza un bit. Sfruttandolo è possibile fare controlli (bit di parità) o codificare altri 128 simboli. ASCII esteso: primi 128 simboli: codificati come nel codice ASCII dal 128 al 255: simboli aggiuntivi di alcune lingue europee (å, ä, à, ă). Non è standard.

5 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 17 La tabella ASCII 32! 33 " 34 # 35 $ 36 % 37 & 38 ' 39 ( 40 ) 41 * , / : 58 ; 59 < 60 = 61 > 62? 64 A 65 B 66 C 67 D 68 E 69 F 70 G 71 H 72 I 73 J 74 K 75 L 76 M 77 N 78 O 79 P 80 Q 81 R 82 S 83 T 84 U 85 V 86 W 87 X 88 Y 89 Z 90 [ 91 \ 92 ] 93 ^ 94 _ 95 ` 96 a 97 b 98 c 99 d 100 e 101 f 102 g 103 h 104 i 105 j 106 k 107 l 108 m 109 n 110 o 111 p 112 q 113 r 114 s 115 t 116 u 117 v 118 w 119 x 120 y 121 z 122 { } 125 ~ LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 18 Codifica dei caratteri Un codice a 8 bit non è però sufficiente se si vuole rappresentare un insieme di caratteri di cardinalità maggiore di 256 (es. caratteri greci). Per questo motivo è stato introdotto un nuovo codice, chiamato Unicode Originariamente si basava su una codifica a 16 bit che dava la possibilità di codificare: 2 16 = elementi distinti. I primi 128 sono gli stessi del codice ASCII I successivi per gli alfabeti delle principali lingue del mondo e i simboli speciali (matematici, grafici, ecc.) LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 19 Codifica dei caratteri LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 20 Alcune tabelle UNICODE Ora invece lo standard Unicode (e l'iso/iec 10646) supporta tre forme di codifica che condividono un repertorio comune di caratteri ma possono essere estese fino a rappresentarne circa un milione. Ciò appare sufficiente a coprire anche i fabbisogni di codifica di scritti del patrimonio storico dell'umanità, nelle diverse lingue e negli svariati sistemi di segni utilizzati. (Fonte:

6 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 21 Rappresentazione dei numeri LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 22 Sistemi di numerazione I numeri sono entità matematiche astratte; vanno distinti dalla loro rappresentazione Il numero cardinale quattro: cardinalità degli insiemi contenenti quattro elementi rappresentazione 1: IIII rappresentazione 2: IV rappresentazione 3: 4 ecc. Vediamo come si possono rappresentare i numeri utilizzando solo due simboli (0 e 1). Sistema di numerazione additivo: il significato dei simboli che compongono un numero è indipendente dalla posizione in cui compaiono Es. sistema con un unico simbolo, per l unità Es. sistema di numerazione romano, con i simboli I, V, X, L, C, D, M. LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 23 Sistemi di numerazione: il sistema decimale Alle elementari ci facevano riempire fogli di stanghette: / //... //////// ///////// ////////// ////////// //////// ////////// ////////// ////////// ////////// ////////// ////////// Le cifre ////////// ////////// ////////// ////////// ////////// ////////// 148 = LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 24 Convenzione Siamo così abituati a rappresentare i numeri nel sistema decimale che li pensiamo in tale sistema Manterremo questa abitudine mentale; però, per non confondere i numeri con la loro rappresentazione, useremo i colori: 123 in nero indica la rappresentazione 123 in rosso indica il numero

7 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 25 Sistemi di num.: il sistema binario LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 26 I primi 16 numeri binari / 0 1 Le cifre // // 101 / 101 = = 5 0 = 0 1 = 1 10 = 2 11 = = = = = = = = = = = = = 15 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 27 Sistemi di numerazione: i sistemi posizionali LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 28 Sistemi di numerazione: i sistemi posizionali Sistema di numerazione arabico: introdotto in Europa nel Medio Evo in base dieci: utilizza le dieci cifre 0, 1,, 9 èuna notazione posizionale: il valore di ogni cifra dipende dalla sua posizione nella successione di simboli che rappresenta il numero. Es = 1x x x x10 0 In generale, per un numero composto di n cifre si ha che: c n 1 c n 2...c 1 c 0 = = c n 1 x10 n 1 + c n 2 x10 n c n 2...c 1 x c 0 x10 0 Si chiamano cifre piú significative quelle associate ai pesi maggiori. La cifra c n 1 è la piú significativa e c 0 èla cifra meno significativa.

8 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 29 Sistemi di numerazione: i sistemi posizionali LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 30 Codifica binaria - numeri naturali Sistemi di numerazione in base B Esempio: Se la base della numerazione è B, si hanno a disposizione B cifre, comprese tra 0 e B due = (1x x x x x x2 0 ) dieci = ( ) dieci = 44 dieci. c n c n 1...c 1 c 0 = = c n. B n + c n 2. B n c 1. B 1 + c 0. B 0 = Σ i:0..n c i. B i Tramite m cifre in base B è possibile rappresentare B m numeri naturali, da 0 a B m-1. LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 31 Codifica binaria - numeri naturali LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 32 Sistemi di num. usati in informatica Con una successione di n bit si rappresentano i 2 n numeri naturali, da 0 a 2 n 1 Per i numeri naturali si usano di solito 32 bit = x10 9 Raddoppiando la lunghezza, il massimo numero rappresentabile aumenta esponenzialmente. Se si utilizzano 64 bit ,6x10 19 Base 2: quella in cui lavora il calcolatore cifre 0,1 Base 10: quella dell utente umano cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Base 8: per abbreviare i numeri binari cifre 0,1,2,3,4,5,6,7 Base 16: per abbreviare i numeri binari cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

9 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 33 Fare i conti: proprietà notevoli LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 34 Dalla rappresentazione al numero (pn1) 1 seguito da n 0 rappresenta B n ; ad es. base 2: = 2 5 base 10: = 10 5 base 8: = 8 5 base 16: = 16 5 (pn2) n cifre massime rappresentano B n -1; ad es: base 2: = base 10: = base 8: = base 16: FFFFF = Si applica la definizione c n c n 1...c 1 c 0 = c n. B n + c n 2. B n c 1. B 1 + c 0. B 0 Esempi base 2: 1011 = = base 8: 2705 = = base 16: 3F01 = = LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 35 Dal numero alla rappresentazione Si usano divisione intera div e resto mod, e si applica la: proprietà notevole delle rappresentazioni in base B: n = c n c n 1...c 1 c 0 = c. n B n + c. n 2 B n c. 1 B 1 + c. 0 B 0 n mod B è rappresentato dalla cifra c 0 (la meno significativa della rappresentazione di n in base B) n div B è rappresentato dalle cifre precedenti Ad es., nella base 10: 1537 mod 10 = 7 è rappresentato da div 10 = 153 è rappresentato da 153 La rappresentazione emerge attraverso divisioni intere successive, raccogliendo i resti, che corrispondono alle cifre, partendo da quella meno significativa LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 36 Dal numero alla rappresentazione Ad esempio, se si vuole convertire in base 2, numero div base quoziente resto 6 div 2 = 3 0 Cifra posto 0 3 div 2 = 1 1 Cifra posto 1 1 div 2 = 0 1 Cifra posto 2 6 = 110 si ripete la divisione intera per 2 e si raccolgono i quozienti interi ed i resti come cifre Le cifre ottenute corrispondono alla rappresentazione binaria

10 1 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 37 Dal numero alla rappresentazione numero divisore quoziente resto cifra bin. meno significativa cifra bin. piú significativa 71 dieci = due LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 38 Conversioni basi 8,16 - base 2 La conversione dalla base 2 alla base 8 può essere fatta per parti, considerando volta per volta una tripla di cifre binarie. Es = 1267 otto La conversione dalla base 2 alla base 16 può essere fatta per parti, considerando volta per volta una quadrupla di cifre binarie. Es = 2B7 sedici LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 39 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 40 Conversioni basi 8,16 - base 2 Le basi 8 e 16 si usano perché si hanno le conversioni illustrate in figura: lunghezze base 10 - base 2 La situazione non è così semplice per la base 10, perché 10 non è potenza di FA Si ha cioè un passaggio molto semplice La prima potenza di 10 vicina ad una potenza di 2 è: 10 3 ~ 2 10 = 1024 Per questo 1 K = K = K ~ 10 3

11 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 41 Aritmetica finita A livello hardware i calcoli numerici vengono eseguiti dalla ALU (Unità Logico Aritmetica), che si trova nella CPU e lavora con i registri della CPU Siccome i registri hanno lunghezza prefissata L, numeri la cui rappresentazione binaria richiede più di L cifre non sono rappresentabili. Si usa dunque un aritmetica finita, cioè con un numero massimo di cifre binarie disponibili. LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 42 Aritmetica finita Nell aritmetica finita dei calcolatori i numeri relativi sono rappresentati in complemento, come vedremo i numeri reali sono rappresentati in virgola mobile, come vedremo Siccome il numero di cifre massimo è limitato, la precisione raggiungibile nella rappresentazione dei numeri reali è limitata; abbiamo le seguenti precisioni: semplice32 bit doppia 64 bit estesa 128 bit LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 43 Aritmetica finita LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 44 Aritmetica finita La rappresentazione grafica dei numeri sulla retta permette di comprenderne alcune proprietà 0 Per comprendere le proprietà dell aritmetica finita occorre passare alla rappresentazione su circonferenza 0 Se usiamo una cella di 3 bit abbiamo ; ma, siccome abbiamo solo 3 bit: cioè si torna a 0. Le operazioni in aritmetica finita possono dare risultati diversi da quelli attesi = = , che con tre bit diventa = 1 10!!! Si ha l aritmetica dell orologio.

12 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 45 Interi assoluti LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 46 Interi relativi in complemento Si ha l aritmetica dell orologio per la lancetta dei minuti Con n bit: interi da 0 a 2 n -1: 3 bit: da 0 a 2 3-1: 000 = 0, 001 = 1, 010 = 2, 011 = 3, 100 = 4, 101 = 5, 110 = 6, 111 = 7 8 bit: = = 255 = Esempio: complemento a 2 con 3 bit Interi assoluti da 0 a 7 da 0 a 3 non negativi da -4 a -1 negativi negativi: quanto manca a 8? LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 47 Codifica binaria - interi relativi LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 48 Gli errori di overflow Rappresentazione in complemento a due: dati n bit, un numero negativo x si rappresenta con il valore binario corrispondente a 2 n x. Ad esempio, con successioni di 3 bit L intervallo dei numeri rappresentabili con un fissato numero di bit è limitato Eseguendo un operazione su numeri rappresentabili, può accadere che il risultato esca dall intervallo rappresentabile; in tal caso si dice che si ha un errore di overflow ESEMPIO con 8 bit Caso di valori assoluti: massimo rappresentabile = dà overflow perché = 300 > 255

13 LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 49 Numeri razionali LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 50 Numeri razionali Rappresentazione con la virgola: c n..c 0,c -1..c -k = c n B n c 0 B 0 + c -1 B c -k B -k Per passare dalla rappresentazione in base B al numero si applica la definizione: c n..c 0,c -1..c -k = c n B n c 0 B 0 + c -1 B c -k B -k Esempio col numero binario 101,01 tralasciando il contributo nullo delle cifre 0: 101,01 = = /4 = 5,25 Se si dispone di n bit per rappresentare i numeri razionali nel calcolatore, si può convenire di riservarne un certo numero k per la parte intera numeri e i restanti n k per la parte frazionaria (rappresentazione in virgola fissa). La soluzione di fatto adottata (virgola mobile) consiste nell esprimere i numeri in maniera analoga a quella usata nella notazione scientifica. LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 51 Numeri razionali LEZIONI 2 e 3 Rappresentazione dell informazione 52 Numeri razionali Notazione scientifica: un numero viene rappresentato come ± m x 10 p Es = 1,23x10 8 Se, piú in generale, la base è B, ± m x B p Il coefficiente m èdetto mantissa (la convenzione è di inserire implicitamente la virgola decimale subito dopo la prima cifra). P, detto caratteristica, è l esponente a cui elevare la base B. Es. 1,23x10 8 base 10, segno +, mantissa 123, caratteristica 8 La rappresentazione binaria dei numeri razionali che usa la notazione scientifica è detta rappresentazione in virgola mobile (floating point) due = 1,0101x due Cambiando il numero di cifre dedicato alla rappresentazione di mantissa ed esponente cambia la precisione dei risultati che si ottengono.