Aritmetica dei Calcolatori

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1 Aritmetica dei Calcolatori Luca Abeni e Luigi Palopoli February 25, 2015

2 Informazione nei Computer Un computer è un insieme di circuiti elettronici......in ogni circuito, la corrente può passare o non passare Passa corrente: 1 Non passa corrente: 0 un computer memorizza (e manipola) solo sequenze di 0 e 1 Sequenze di 0 e 1 devono poter rappresentare tutti i tipi di informazione che un computer gestisce: valori numerici, caratteri o simboli, immagini, suoni, programmi,... Una singola cifra (0 o 1) è detta bit; sequenze di 8 bit sono chiamate byte Calcolatori Luca Abeni 2 / 41

3 Codifica delle Informazioni - 1 Per fare si che una sequenza di bit (cifre 0 o 1) possa essere interpretata come informazione utile, deve essere stabilita una codifica (rappresentazione digitale) Tutto deve essere codificato opportunamente per rappresentarlo in questo modo Numeri (interi con e senza segno, razionali, reali,...) Caratteri / testo Programmi (sequenze di istruzioni macchina) Immagini e Suoni Si, ma come codifichiamo tutta questa roba??? Calcolatori Luca Abeni 3 / 41

4 Codifica delle Informazioni - 2 Codifica: funzione che associa ad un oggetto / simbolo una sequenza di bit Codifica su n bit: associa una sequenza di n bit ad ogni entità da codificare Permette di codificare 2 n entità / simboli distinti Esempio: per codificare i semi delle carte bastano 2 bit Picche 00 Quadri 01 Fiori 10 Cuori 11 Calcolatori Luca Abeni 4 / 41

5 Codifica dei Numeri Rappresentiamo un numero come sequenza di 0 e Cominciamo con cose semplice: numeri naturali (interi positivi) n N Per capire come fare, consideriamo i numeri che conosciamo (base 10) Se scrivo 501, intendo ( 10 0 ) Sistema posizionale: il valore di ogni cifra dipende dalla sua posizione Sistema decimale (base 10): ho 10 cifre (0...9) Calcolatori Luca Abeni 5 / 41

6 Basi di Numerazione In generale, un numero naturale è una sequenza di cifre B possibili cifre (da 0 a B 1) B è detto base di numerazione Siamo abituati a 10 cifre (sistema decimale, o in base 10), ma nulla vieta di usarne di più o di meno... Il valore di una sequenza di cifre c i c i 1 c i 2...c 0 si calcola moltiplicando ogni cifra per una potenza della base B, che dipende dalla posizione della cifra c i c i 1 c i 2...c 0 = c i B i +c i 1 B i c 0 B 0 Una sequenza di cifre da interpretarsi come numero in base B è spesso indicata con pedice B (501 10, 753 8, , 1AF 16...) Calcolatori Luca Abeni 6 / 41

7 Esempi con Basi di Numerazione Diverse da 10 Base 2 (cifre: 0 e 1): sistema binario Esempio: = = Base 8: sistema ottale Esempio: = = Base 16: sistema esadecimale Esempio: 1AF 16 = = Le cifre da 10 a 16 sono rappresentate dalle lettere da A ad F (A 16 = 10 10, B 16 = 11 10,... F 16 = ) Calcolatori Luca Abeni 7 / 41

8 Hai Detto... Binario? Sistema binario: 2 sole cifre (0 e 1) Sembra fatto apposta per i computer! Un numero naturale è rappresentato in binario su k cifre Cifra binaria: binary digit bit Numero binario su k cifre: valori fra 0 e 2 k 1 Valori comuni per k: 8, 16, 32, 64 Le potenze di 2 rivestono un ruolo molto importante! Ricordi? Bit raggruppati in sequenze di 8, dette byte Ogni byte può assumere 2 8 valori, da 0 (= ) a 255 (= ) Calcolatori Luca Abeni 8 / 41

9 Altre Basi di Numerazioni Utili La base 2 è la base nativa dei computer......ma i numeri in base 2 possono richiedere un gran numero di cifre! Esempio: = Spesso si usa la base 16 (numerazione esadecimale) per ridurre il numero di cifre Ogni cifra esadecimale corrisponde a 4 cifre binarie La conversione fra binario ed esadecimale (e viceversa) è molto semplice Esempio: ( ) 2 = 3E8 16 Calcolatori Luca Abeni 9 / 41

10 Conversioni fra Basi Base 2 16: come visto (si convertono 4 bit in una cifra esadecimale e viceversa) Base B 10: già visto anche questo (si moltiplica ogni cifra c i per B i, dipendentemente dalla sua posizione) Base 10 B: si divide iterativamente il numero per B 1. Per convertire x 10 in base B: 2. Divisione intera fra x e B 3. Il resto e la cifra da inserire a sinistra nel numero convertito 4. Il quoziente viene assegnato ad x 5. Ritorna al punto 2 Calcolatori Luca Abeni 10 / 41

11 Esempio di conversione =? =? 16 X X/2 X% X X/16 X% (E) = = 3E8 16 Calcolatori Luca Abeni 11 / 41

12 Approssimazioni nella Rappresentazione di Numeri Numero in base 2: codifica (rappresentazione) di numero naturale Ma i numeri naturali n N sono infiniti! Mentre un computer può utilizzare un numero finito k di bit... Come detto, i computer rappresentano un numero su k bit Numero finito di cifre (k) Ma un numero n N può avere infinite cifre... Solo un sottoinsieme dei numeri naturali è rappresentabile! Calcolatori Luca Abeni 12 / 41

13 Overflow Supponiamo di rappresentare i numeri su k bit e di sommare due numeri a e b entrambi rappresentabili a N,b N a 2 k 1,b 2 k 1 È però possibile che a+b > 2 k 1 Qual è il risultato della somma? Come si rappresenta? a+b non codificabile su k bit Il computer può solo segnalare un errore Overflow! Deve esistere un modo per capire se un operazione è risultata in un overflow SO o applicazioni hanno il compito di gestire queste situazioni Calcolatori Luca Abeni 13 / 41

14 Somme e Sottrazioni in Base 2 Un introduzione, prima A B Carry C Carry A + B + Carry = C + Carry Calcolatori Luca Abeni 14 / 41

15 Somma di naturali Esempio = =? = = Calcolatori Luca Abeni 15 / 41

16 Sottrazione di Naturali Sottrazione di naturali: Operazione di base e Il prestito. Come nella somma si va da destra a sinistra seguendo delle regole banali: A B A-B Nell ultimo caso bisogna scorrere a sinistra finchè non si trova un 1, invertendo il valore di tutte le cifre incontrate, 1 compreso Calcolatori Luca Abeni 16 / 41

17 Sottrazione di naturali Esempio = =? = Calcolatori Luca Abeni 17 / 41

18 Sottrazione di naturali Esempio = =? = = Calcolatori Luca Abeni 17 / 41

19 Moltiplicazione per potenze di due Moltiplicazione (e divisione) per potenze di due. Ok, se dobbiamo moltiplicare un numero base-10 per 10 dobbiamo... Aggiungere uno 0 a destra. Nel caso dei numeri base-2, aggiungere uno 0 a destra significa moltiplicare il numero per 2, mentre eliminando la prima cifra a desra significa dividere per 2. Questa operazione è chiamata shifting, utilizzata spesso dai compilatori per ottimizzare la moltiplicazione Calcolatori Luca Abeni 18 / 41

20 Moltiplicazione tra due Naturali Moltiplicare due numeri base-2 naturali altro non è che l applicazione di shifting multipli e poi della somma sui risultati degli shifting. Alla fine non é differente dalla moltiplicazione in base-10, solo che è più semplice perché o bisogna sommare uno dei due moltiplicatori shiftati o nulla. Esempio = =? x = Calcolatori Luca Abeni 19 / 41

21 Codifica dei Numeri Interi k bit codificano 2 k simboli/valori/numeri... Si usa la base 2 per codificare i numeri Numeri naturali n N : valori da 0 a 2 k 1 Come codificare numeri interi z Z? Problema: numeri negativi z < 0 z / N Si codificano sempre 2 k valori Ma quali??? Varie possibilità: modulo e segno, complemento a 1, complemento a 2,... Calcolatori Luca Abeni 20 / 41

22 Codifica con Modulo e Segno Idea semplice: si usano k 1 bit per rappresentare il valore assoluto (modulo) del numero......ed un bit per codificare il segno! bit più significativo a 0: numero positivo bit più significativo a 1: numero negativo Valori codificati: da 2 k 1 +1 a 2 k k 1 valori??? Come mai??? Due diverse sequenze di bit per codificare lo 0? (+0 e 0???) 1 k 1 k 1 {}}{{}}{ vs Calcolatori Luca Abeni 21 / 41

23 Codifica in Complemento a 1 Altra idea semplice: i numeri negativi si rappresentano facendo il complemento ad 1 del valore assoluto Numero positivo: rappresento il valore assoluto Numero negativo: cambio 0 in 1 e viceversa (complemento a 1 k {}}{ di x: x = (2 k 1) x) Numeri positivi: ancora, bit più significativo a 0 Ancora, due rappresentazioni dello 0 (+0 e 0)? k {}}{ vs k {}}{ Modulo e segno Non facile da sommare... Complemento a 1 a volte le cose vanno meglio (se il bit più significativo non da riporto, OK) Calcolatori Luca Abeni 22 / 41

24 Somma di Numeri in Complemento a 1 Somma di numeri interi codificati in complemento a 1: 1. Sommare le rappresentazioni dei due numeri 2. Riporto sul bit più significativo sommarlo al risultato 3. Se i riporti delle due cifre più significative della nuova somma sono uguali, il risultato è attendibile 4. Altrimenti, il risultato non è rappresentabile su k bit Esempio: 6+ 3 (codifica su 5 bit) 6 = 00110; 3 = = = (= 3) Calcolatori Luca Abeni 23 / 41

25 Complemento a 2 Complemento a 2 di un numero binario: Scorrere i bit a partire dalla destra Fino al primo bit che vale 1 (compreso), invariato A partire dal bit successivo, fare il complemento a 1 Equivalente a fare il complemento a 1 e poi sommare 1 Complemento in base 2 di x: 2 k x = 1 k {}}{ x Esempio: complemento in base 2 di 87 (= ) 1 più a destra invariato, poi inverto : = = Complemento a 1 +1: = Calcolatori Luca Abeni 24 / 41

26 Codifica in Complemento a 2 Numeri positivi: rappresentare il valore assoluto Numeri negativi: rappresentati usando il complemento a 2 del valore assoluto Ancora, il bit più significativo indica il segno Stavolta, la codifica dello 0 è unica Codifica i numeri da 2 k 1 a 2 k 1 1 E stavolta, la somma è semplice... x+( y) = x+(2 k y) = 2 k +x y......su k bit, questo è equivalente a x y Calcolatori Luca Abeni 25 / 41

27 Esempi di Codifica decimale modulo complemento complemento e segno a 1 a / / Calcolatori Luca Abeni 26 / 41

28 Somme e Sottrazioni in Base 2 Come normalmente in base 10 (numeri in colonna, riporto, etc...) Se si usa complemento a 2, funziona anche con numeri negativi Ma occhio agli overflow!!! Overflow? Numeri su k bit, ma risultato non rappresentabile su k bit Matematica dell orologio... Esempi: k = 6, k = 7,5 8; k = 7, 5+8; k = 7, 64 8; k = 7,63+1; Calcolatori Luca Abeni 27 / 41

29 Esempi Senza Overflow k = 7,5 8 5 = ; 8 = = = =... ( ) = = 3 k = 7, = = = ; 8 = = 3 Calcolatori Luca Abeni 28 / 41

30 Esempio di Overflow k = 7, = ; 64 = = = = ; 8 = = = = WTH??? Sommando 2 numeri negativi si ottiene un numero positivo??? 64 8 = Numeri rappresentabili: 2 6 = = Calcolatori Luca Abeni 29 / 41

31 Esempio di Overflow k = 7, = = = ( ) = ( ) = = WTH??? Sommando 2 numeri positivi si ottiene un numero negativo??? Ancora, il risultato corretto (63+1 = 64) non sarebbe rappresentabile... Calcolatori Luca Abeni 30 / 41

32 Esempi ed Esercizi Numeri su k = 7 bit, codificati in complemento a 2 Verificare se c è overflow Somma di due numeri positivi: mi aspetto risultato positivo Somma di due numeri negativi: mi aspetto risultato negativo Somma di due numeri negativi: mi aspetto risultato negativo Calcolatori Luca Abeni 31 / 41

33 Ancora su Overflow Abbiamo visto overflow in somme (/ sottrazioni) fra interi Se a+b > 2 k 1 1, overflow! Se a+b < 2 k 1, overflow! Nota: per definizione, 2 k 1 a 2 k 1 1 e 2 k 1 b 2 k 1 1 Overflow solo se a e b hanno lo stesso segno!!! Può esserci overflow anche in caso di numeri naturali Esempio: k = 7, (100 = ) = 64+8 = 72: = 72??? Calcolatori Luca Abeni 32 / 41

34 La Matematica dell Orologio Aritmetica modulare: considero solo n numeri interi Numeri da 0 a n O numeri da n/2 a n/ Arrivato al numero più grande, riparto dal più piccolo Se i numeri vanno da 0 a n 1, (n 1)+1 = 0 (contando dopo n 1 riparto da 0) Se i numeri vanno da n/2 a n/2 1, n/2 1+1 = n/2 Numeri sul quadrante di un orologio! Definizione più formale: classi di equivalenza modulo n Relazione di equivalenza fra due numeri: a b a%n = b%n Calcolatori Luca Abeni 33 / 41

35 Cosa Succede in Caso di Overflow? Operazioni su numeri di k bit aritmetica modulo 2 k Calcolando a+b si ottiene in realtà (a+b)%2 k......se il risultato della somma è < 2 k, allora (a+b)%2 k = a+b no overflow! Altrimenti, risultato strano... Usando rappresentazione in complemento a 2 dei numeri interi, il discorso è analogo: Se a+b è compreso fra 2 k 1 e 2 k 1 1, allora no overflow (risultato corretto)! Se a+b < 2 k 1, ottengo a+b+2 k. Positivo!!! Overflow! Se a+b > 2 k 1 1, ottengo a+b 2 k. Negativo!! Overflow! Calcolatori Luca Abeni 34 / 41

36 Rappresentazione dei Numeri Reali Rappresentare esattamente un numero reale x R non è possibile... Numero reale: numero infinito di cifre decimali non periodiche......non rappresentabile con un numero finito di bit! Rappresentiamo un approssimazione di numeri reali!!! Alcuni numeri sono rappresentabili correttamente......altri no Rappresentazione in virgola mobile Numero fisso di cifre significative, ma numero variabile di cifre dopo la virgola Calcolatori Luca Abeni 35 / 41

37 Virgola Fissa e Mobile Numero reale su k cifre: si possono dedicare k f cifre alla parte intera e f cifre alla parte frazionaria: Calcolatori Luca Abeni 36 / 41 k {}}{ c k 1 c k 2 c f.c f 1 c 0 }{{}}{{} k f f x 10 = k i=0 c ib i f = k i=0 c ib i /B f = k i=0 c ib i B f Convertiamo il numero in base 10 come se non avesse virgola e poi moltiplichiamo per B f : Virgola fissa! Un grosso vantaggio della virgola fissa è che le operazioni si fanno in maniera semplice. E sufficiente effettuare somme, sottrazioni, moltiplicazioni come se fossimo tra interi e riscalare il risultato. Questo semplifica i requisiti per realizzare una CPU. Inoltre se i risultati sono rappresentabili, le operazioni non introducono errori di approssimazione. Gli svantaggi emergono quando vogliamo trattare nella stessa applicazione sia numeri grandi che numeri piccoli (cioè quando

38 Virgola Mobile Virgola mobile: f non è fisso... x = M B E M: mantissa E: esponente Numero x è rappresentato in virgola mobile su k bit x = M B E m bit per la mantissa M......e e = k m bit per l esponente E L esponente è quello che fa muovere la virgola Nei computer, B = 2 (rappresentazione binaria) Mantissa ed esponente: positivi o negativi Segno mantissa: segno di x Calcolatori Luca Abeni 37 / 41

39 Numeri Reali in C Standard IEEE (IEEE 754) Mantissa M: modulo e segno (bit di segno s!) Mantissa normalizzata : 1.M Esponente 2 e 1 +1 < E 2 e 1 1 rappresentato come E = E +2 e 1 1. Notare che (E > 0) E = 0 ha un significato speciale: E = (2 e 1 2) e mantissa 0.M. Anche E = 2 e 1 ha un significato speciale E > 0 : x = E = 0 : x = { { 1.M 2 E (2 e 1 1) Se s = 0 1.M 2 E (2 e 1 1) Se s = 1 0.M 2 (2e 1 2) Se s = 0 0.M 2 (2e 1 2) Se s = 1 Calcolatori Luca Abeni 38 / 41

40 Tipi Floating Point in C float: precisione singola k = 32 e = 8, m = 23 double: precisione doppia k = 64 e = 11, m = 52 long double: precisione estesa o quadrupla k = 80 o k = 128 e = 15, m = 64 o m = 112 Calcolatori Luca Abeni 39 / 41

41 Esempio: Precisione Singola Approssimazioni di numeri reali rappresentate su 32 bit Esponente rappresentato su 8 bit Se E 0, si sottrae = 127 Se E = 0, esponente = 126 Mantissa rappresentata su 23 bit Bit s di segno E 0 x = ( 1) s 1.M 2 E 127 E = 0 x = ( 1) s 0.M Calcolatori Luca Abeni 40 / 41

42 Precisione Singola - Valori Massimo e Minimo Massimo valore rappresentabile: Massima mantissa: M = 23 {}}{ 1 1 Massimo esponente: E = = 127 x = {}}{ = ( ) Minimo valore rappresentabile: Minimo valore positivo rappresentabile: Minima mantissa: M = 1 Esponente: E = 0 E = 126 x = {}}{ = Calcolatori Luca Abeni 41 / 41