Dinamica dei fluidi. Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine 1

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1 Dinamica dei fluidi Universita' di Udine 1

2 Caratteristiche di un fluido In generale: FLUIDO sostanza senza forma propria (assume la forma del recipiente che la contiene) liquido volume limitato dalla superficie libera gas diffusione nell intero volume disponibile Un fluido puo essere: omogeneo caratteristiche fisiche costanti per qualsiasi volume disomogeneo caratteristiche fisiche non costanti Sangue sospensione di cellule in soluzione acquosa di sali e molecole organiche omogeneo a livello macroscopico, disomogeneo a livello microscopico Es. Universita' di Udine 2

3 Portata di un fluido portata = volume di liquido intervallo di tempo Q= V/Dt m 3 /s V Dt SI cgs pratico m 3 /s cm 3 /s l/min Es. Portata del sangue: 5 l/min = (5000 cm 3 )/(60 s) = cm 3 /s Universita' di Udine 3

4 Moto in un condotto Tipo di moto: stazionario portata costante nel tempo pulsatile portata variabile in modo periodico Tipo di condotto: rigido non cambia forma sotto qualunque forza deformabile cambia forma sotto una forza deformaz.elastica deformaz.non elastica arterie e vene ideale reale Tipo di fluido: senza attriti (non viscoso) con attriti (viscoso) Universita' di Udine 4

5 Flusso Laminare e Turbolento Flusso laminare: Gli elementi di fluido si muovono su traiettorie che non si intersecano L attrito nei flussi laminari e detto viscosita Flusso turbolento Traiettorie irregolari Si verifica in presenza di gradienti elevati (alte velocita o tubi piccoli) Universita' di Udine 5

6 Regime laminare Modello di liquido come lamine che scorrono le une sulle altre d A fi v 2 fiv 1 Forza di attrito: si oppone al moto F A fi fi F A = h A v d - v A v=v 1 -v 2 = velocita relativa tra lamine A = area lamine d = distanza tra lamine h = coefficiente di viscosita Universita' di Udine 6

7 Moto in regime laminare Condizione per il moto di un liquido: differenza di pressione Q = p r 4 8 h h (p 1 p 2 ) La portata è direttamente proporzionale alla differenza di pressione asse del condotto fi v La velocità è maggiore al centro del condotto (profilo parabolico) Il moto è silenzioso p 1 Q p 1 > p 2 p 2 h Q Dp Q = Dp/R Resistenza meccanica di un condotto dipende da: raggio-lunghezza del tubo viscosità del liquido Universita' di Udine 7 r

8 Regime turbolento Quando la velocità del liquido supera una certa velocità critica, il modello laminare non funziona più: il moto si fa disordinato, si creano vortici. v>v c velocità critica La portata non è più direttamente proporzionale alla differenza di pressione Q Dp Per ottenere la stessa portata serve una pressione decisamente maggiore! La velocità non ha più un profilo regolare Il moto è rumoroso Universita' di Udine 8

9 Moto dei fluidi: sintesi MOTO STAZIONARIO di un LIQUIDO REALE e OMOGENEO in un CONDOTTO RIGIDO approx. iniziale REGIME LAMINARE v > v c - lamine e profilo velocità parabolico - Q Dp - silenzioso (conservazione dell energia) REGIME TURBOLENTO - vortici - Q Dp - rumoroso (alta dissipazione di energia per attrito) Universita' di Udine 9

10 Fluidi Ideali Flusso laminare Velocita in un qualsiasi punto costante. Non ci sono turbolenze Non-viscoso Non ci sono attriti tra gli strati di fluido Incompressibile La densita e la stessa dappertutto Flusso non-rotazionale: non c e un flusso a traiettoria circolare (quindi: flusso non turbolento) Universita' di Udine 10

11 Linee di flusso Linea di flusso: traiettoria seguita da una particella nel condotto Il vettore velocita della particella e sempre tangente alla linea di flusso. Universita' di Udine 11

12 Sistema circolatorio - 1 VENA CAVA valvole VENE CUORE POLMONI AORTA ARTERIE VENULE ARTERIOLE CAPILLARI pressione media (nel tempo) velocità media (nel tempo) AORTA ARTERIE ARTERIOLE CAPILLARI VENULE VENE VENA CAVA Universita' di Udine 12

13 Sistema circolatorio mmhg AD VD 25 mmhg CUORE AS VS 8 mmhg 100 mmhg Circuito chiuso 5 litri/ min 10 mmhg POLMONI GRANDE CIRCOLO CAPILLARI 40 mmhg 5 litri/ min Portata costante (no immissioni, no fuoruscite) Universita' di Udine 13

14 Sistema circolatorio 3 pressione media velocità media CUORE AORTA ARTERIE ARTERIOLE CAPILLARI VENULE VENE VENA CAVA (nel tempo) (nel tempo) velocità media (cm/s) <0.1 < deve sempre diminuire diminuisce poi aumenta pressione media (mmhg) Universita' di Udine 14 2

15 Equazione di continuita - 1 Q = costante nel tempo in ogni sezione senza SORGENTI senza BUCHI MOTO STAZIONARIO v Dt v'dt S v v' S' Nello stesso intervallo di tempo Dt: SvDt = S v Dt Q = V Dt = S v Dt = S v = costante Dt Universita' di Udine 15

16 Equazione di continuita Si consideri un tubo di flusso: Fluido incomprimibile: in un piccolo intervallo di tempo t, il volume di fluido che passa attraverso A 1, A 1 v 1 Dt, e pari al volume di fluido che passa attraverso A 2, A 2 v 2 Dt A = 1 v1 A2v2 O: R = Av = costante R: flusso volumico [m 3 /s] Alta densita di linee di flusso (piccolo A) Conservazione massa Equazione di continuita Alta velocita del fluido (v) Universita' di Udine 16

17 Equazione di continuita - 2 Q = 100 cm 3 /s Se il condotto si apre in piu diramazioni, bisogna considerare la superficie totale. A B S 2 = 1.25 cm 2 C S 3 = 0.5 cm 2 S 1 = 5 cm 2 S 1 = 5 cm 2 v 1 = 20 cm/s S 2 = 1.25 cm 2 v 2 = 80 cm/s S 3 = 2.5 cm 2 v 3 = 40 cm/s Universita' di Udine 17

18 Velocita del sangue ARTERIE 140mila ARTERIOLE 4 miliardi CAPILLARI 300 milioni 200 VENULE VENE Paradossalmente, al contrario di quanto prevederebbe l equazione di continuita, la velocita e bassissima nei capillari perche il loro numero e altissimo! cm 2 S totale cm cm/s v ARTERIE ARTERIOLE CAPILLARI VENULE VENE Universita' di Udine 18 cm/s

19 Velocita del sangue - 2 Es. Portata del sangue: Q= 5 l/min = (5000 cm 3 )/(60 s) = cm 3 /s Velocita del sangue nei vari distretti: AORTA (r=0.8 cm) S = p r 2» 2 cm 2 v = Q/S» 40 cm/s ARTERIOLE S» 400 cm 2 v = Q/S» 0.2 cm/s CAPILLARI S» 4000 cm 2 v = Q/S» 0.02 cm/s VENA CAVA (r=1.1 cm) S = p r 2» 4 cm 2 v = Q/S» 20 cm/s Es. La bassissima velocita del sangue nei capillari (0.2 mm/s) permette gli scambi di sostanze (reazioni chimiche) necessari alla vita. Universita' di Udine 19

20 Equazione di Bernoulli 1 P + rv 2 + rgy 2 = costante Contenuto fisico: La somma della pressione, dell energia cinetica per unita di volume e della energia potenziale per unita di volume ha lo stesso valore in tutti I punti di una linea di flusso. How can we derive this? Universita' di Udine 20

21 Equazione di Bernoulli F = p L p A = V m = ρ V Considerate un elemento di massa m = θ V che passa attraverso un tubo. Si applichi il principio di conservazione dell energia del fluido ai punti 1 e F1 L1 + mv1 + mgh1 = F2 L2 + mv2 + mgh2 2 2 Lavoro Cinetico Potenziale 1 2 p + ρv + ρgh 2 A livello costante, Velocita piu alta = constant Equazione di Bernoulli Pressione piu bassa Universita' di Udine 21

22 Derivazione equazione Bernoulli Physical basis: Work-energy relation All together now: With We get: Universita' di Udine 22

23 Un esempio Si consideri una tanica di acqua che presenta un foro sul lato a distanza h dalla superficie. Si assuma che la tanica sia grande abbastanza che la superficie libera dell acqua risulti ferma. Le pressioni alla superficie ed al foro sono p 0 : 1 2 ρ v + ρgy = 2 h h ρgy vh = 2 g( ys yh) = 2gh s 1 2 p + ρv + ρgh = const. 2 E la stessa velocita di un oggetto che cade nel vuoto Universita' di Udine 23

24 Tre nuovi termini Viscosita Diffusione Osmosi Universita' di Udine 24

25 Viscosita F = η Av d La viscosita si riferisce all attrito tra strati adiacenti di fluido E richiesto un calo di pressione per forzare il passaggio dell acqua attraverso I tubi (legge di Poiselle s) A velocita sufficientemente grandi si creano turbolenze Universita' di Udine 25

26 Viscosita η coefficiente di viscosità fi fi F A = h A v d Unita di misura cgs: poise = g/(s cm) La viscosita diminuisce al crescere della temperatura. Acqua a 0 o h acqua = poise a 20 o h acqua = poise Sangue Plasma h plasma = 1.5 h acqua Sangue con ematocrito (% eritrociti) 40% h sangue = 5 h acqua Es. Universita' di Udine 26

27 Diffusione Le molecole si muovono dalle regioni a piu alta concentrazione alle regioni a bassa concentrazione. Legge di Fick: Rate di diffusione = Massa C2 C = DA 1 Tempo L D = coefficiente di diffusione Universita' di Udine 27

28 Osmosi L Osmosi e il moto dell acqua attraverso un setto, che invece impedisce il passaggio di altre specifich molecole, come per esempio sali etc Universita' di Udine 28

29 Osmosi Pressione osmotica: spinge l acqua (solvente) dal lato della membrana in cui vi sono più soluti (ioni/biomolecole) rispetto che acqua. L osmosi di acqua non è diffusione ma pressione perché non dipende dalla concentrazione assoluta di acqua ma da quella dei soluti rispetto all acqua Universita' di Udine 29