ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA

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1 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA Eercise. Studia le caratteristiche della seguente funzione e tracciane il grafico 4 + y = Soluzione la funzione va studiata nell insieme R dei numeri reali. ) Campo di esistenza: la funzione presenta al numeratore una radice quadrata sempre positiva, essendo il suo radicando la somma di due quadrati; essa è definita quindi per 0, cioè ; 0) 0; ) a) Segno della funzione: per quanto detto sopra, il segno della funzione è determinato dal segno del denominatore, per cui y > 0 per > 0 y < 0 per < 0 b) intersezione con gli assi: intersezione asse, di equazione y = = 0 nessuna intersezione; intersezione con l asse y, di equazione = 0, non possibile perché 0 non appartiene al campo di esistenza della funzione c) asintoti + ± = = 4 ) d) punti estremanti: calcolo la derivata prima della funzione = ± y = N D ND D ricordando che la derivata del numeratore va calcolata secondo le regole delle funzioni composte,cioè g) ) = g ) g) y = calcoliamo il segno della derivata prima, cioè = ) = > 0 i) N > 0 4 = ) + ) > 0, cioè per < > ii) D > 0, R pertanto y > 0 < > y < 0 < < y = 0 = ± la funzione ha quindi un massimo per ma = nel punto di coordinate M ; ) e un minimo per min = nel punto di coordinate m ; )

2 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA e) punti di flesso: calcoliamo la derivata seconda y = = ) 4 ) ) ) 8 4 +) ) = ) 4 ) 4 + ) ) 4 + = ) ) = = ) 4 + = ) ) 4 + ) = ) La derivata seconda è uguale a zero, quando il numeratore è uguale a 0, condizione che non si verifica mai. La funzione non presenta pertanto flessi. f) Grafico della funzione = Eercise. Risolvere nel campo reale la seguente disequazione < Soluzione: studiamo prima le condizioni di esistenza del radicale, 0, e per questo è necessario un breve richiamo delle disequazioni irrazionali. Sia f ) il radicando di una radice di indice pari, allora si presentano due casi: ) f) < g), la disequazione si risolve mediante il sistema f ) 0 g ) > 0 f ) < [g )] ) f ) > g ), la disequazione si risolve con l unione dei due sistemi { { f ) 0 g ) 0 g ) < 0 f ) > [g )]

3 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 3 Nel nostro caso, la condizione di esistenza chiede di studiare la non negatività della frazione, per cui a) N 0 per 0, cioè ; le soluzioni si ottengono pertanto risolvendo il sistema vedi caso a)) 0 > 0 < ) > b) D > 0 per > 0, cioè < c) La frazione sarà quindi sempre negativa 3) la disequazione non ha quindi alcuna soluzione intervallo comune > Eercise 3. Calcolare gli integrali della seguente equazione differenziale + tan y ) tan y e tan y y = e 3 3 Soluzione: L equazione può essere risolta con il metodo della variabili separabili [ + tan y ) ] ) tan y e tan y dy = e 3 3 d da cui + tan y ) ) tan y e tan y dy = e 3 3 d risolviamo il primo integrale sostituendo tan y = t, per cui, essendo y = arctan t, si ha dy = +t dt e l integrale diviene te t tdt = e t d t ) = et sostituendo nuovamente, si ha + tan y ) tan y e tan y dy = etan y + C risolviamo ora il secondo integrale ) e 3 3 d = e 3 3 d anche qui operiamo la sostituzione 3 = t da cui d = 3tdt ; l integrale diviene et t 3t dt = 3 e t dt = 3e t da cui ) e 3 3 d = 3e 3 + C Confrontando i risultati dei due integrali, si ha etan y = 3e 3 passando al logaritmo naturale, si ha ) ln etan y = ln 3e ) 3 cioè ln + tan y = ln tan y = ln y = ± arctan ln ) + C

4 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 4 Eercise 4. Calcolare l insieme di definizione della funzione y + ) y + z = ) ) y + Soluzione: In questo caso, l argomento della radice deve essere non negativo, cioè, y + ) y + ) ) y + 0 Le disequazioni possono essere risolte graficamente, rappresentando la prima una retta, la seconda una parabola con vertice nell origine e concavità verso il basso e la terza una retta parallela all asse. Risolviamo applicando le modalità delle disequazioni fratte y + ) 0 y + ) 0 y + > 0 Risolviamo le disequazioni graficamente. La prima disequazione è verificata dalle coppie rappresentate dalla parte colorata la seconda disequazione nella parte di piano colorata infine, per l ultima disequazione

5 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 5 considerando positive le parti colorate e negative quelle in bianco, si ha che il radicando è positivo nelle parti colorate: Eercise 5. Stabilire in quali intervalli è applicabile il teorema di Rolle alla funzione y = Soluzione Il teorema di Rolle afferma che se una funzione reale di variabile reale è continua in un intervallo [a, b] e derivabile nell intervallo a, b), cioè nei suoi punti interni, allora, se f a) = f b), esiste un punto c per il quale f c) = 0. Il polinomio = ) 4), per cui y = per 4 y = per 4 La funzione modulo non è derivabile nei punti = e = 4 perché in essi i iti destro e sinistro sono diversi, infatti, se calcoliamo le derivate si ha { y 5 4 = + 5 4

6 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 6 per cui y = 3 y = 3 + lo stesso vale anche per l altro punto. La funzione polinomiale è continua per ogni valore di, per cui sono soddisfatte le condizioni del teorema di Rolle. Troviamo il valore per il quale la derivata prima si annulla ± 5 = 0 per = 5 inoltre f 5 a) = f 5 a). Troviamo l intervallo di 5, cioè [ 5 a; 5 + a] ponendo 5 a a a 4 a 3 Calcolare il seguente integrale con cos e 0 e tan e > 0. e + e ln tan e cos e d Soluzione: Risolviamo applicando il metodo della sostituzione della variabile, ponendo cioè sostituendo, si ha ma, tan t) = cos t, per cui d tan t) = dt e l integrale diviene e = t t + ln tan t) cos t cos t d = dt t dt t e sostituendo ancora tan t = u du = dt cos t + ln u cos cos tdu = t = du + ln udu risolviamo il secondo integrale per parti du + u ln u sostituendo a ritroso, si ha tan e ln tan e + C u du = u ln u u Eercise 6. Determinare l insieme di definizione e calcolare le derivate parziali prime della funzione ln + ) + f, y) = + y 4 Dire poi se tra i punti di frontiera esistono degli estremanti. Soluzione: La funzione presenta una radice quadrata, il cui argomento deve essere non negativo, un logaritmo nel radicando, il suo argomento deve essere positivo e una frazione il cui denominatore deve essere diverso da zero. Le tre condizioni poste si possono ridurre a due, in quanto l annullamento del denominatore è una sottoparte della prima condizione; si traducono quindi { ln+)+ +y > 0

7 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 7 Risolviamo la prima disequazione fratta N 0 ln + ) + 0 D > 0 + y 4 > 0 Risolviamo entrambe le disequazioni graficamente. ) Prima disequazione ln + ) una funzione logaritmica traslata verso sinistra di vettore ; 0 e una parabola con concavità rivolta verso il basso e vertice V b a = 0; ) e intersezioni con l asse per = ±. I grafici sono quindi ) Il punto di intersezione P è compreso tra 0 e la disequazione è verificata per P 3) La seconda disequazione rappresenta una circonferenza centrata nell origine di raggio ed è verificata per tutti i punti esterni alla circonferenza stessa 4) mettendo assieme i due risultati, sempre graficamente, si ha che la frazione è non negativa negli intervalli indicati dalla figura 5) se consideriamo ora anche la seconda disequazione del sistema, che ha come soluzioni >, il dominio è dato dalle soluzioni comuni, cioè ancora graficamente

8 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 8 Eercise 7. Determinare gli eventuali punti di discontinuità della funzione, classificare la specie di discontinuità in = 0 ed einare la discontinuità, se possibile in tale punto y = e e + + e e ln + ) Soluzione:: la funzione è la somma di due frazioni i cui denominatori devono essere diversi da zero; inoltre, nel numeratore della seconda frazione, l argomento del logaritmo deve essere positivo. Risolvendo e + e > 0 R 0 > i punti di discontinuità si trovano quindi per = 0; =. Per = 0, calcoliamo i iti 0 ± e e + e + e ) e e 0 + ) + e + e ln + ) ln + ) = = ln+) in quanto 0 = ite notevole). Si può einare la discontinuità ponendo e e + ln+) e y = +e per 0 e e + ln+) 0 ± e +e = per = 0 Eercise 8. Calcolare il seguente integrale d Soluzione: sostituisco = t 6, e d = 6t 5 dt, ottenendo t6 + 3 t 3 6 t 4 + t 6 6 t 6 + t 6 6t5 dt = 6 raccogliendo t t + ) 6 t 6 t + t + ) t5 dt = 6 aggiungendo e togliendo al numeratore, si ha 6 t + t + t + t + dt = 6 il secondo integrale si può risolvere, riscrivendo 6t 6 dt t + dt 6 ) ma 3 4 = 3, per cui, moltiplicando Num. e Den. per 4 3 6t 6 4 dt ) 3 = 6t 8 t+ 3 + moltiplicando per 3 t 3 + t t 8 + t 7 + t 6 t + t t + t + dt dt t + t + dt ) t+ 3 + e ricordando gli integrali delle funzioni elementari, si ha 6t 8 3 dt ) = 6t 4 ) t + 3 arctan t

9 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 9 risolvendo ora in, si ha ) arctan + C 3 Eercise 9. Stabilire il campo di esistenza della seguente funzione e la natura dei suoi punti di frontiera 4 + 4y f, y) = 4) 4y Soluzione:: ) la radice principale deve avere il radicando non negativo; lo stesso deve valere per le ulteriori radici, ma 4y può avere radicando solo positivo, essendo al denominatore di una frazione. Pertanto Graficamente 4 +4y 4) 4y y 4 0 4y > 0 4y 4 + 4y 4) 0 + y 0 < y < y 0 < y < y 0 < y < Eercise 0. Studiare e tracciare il grafico della seguente funzione y = ln Soluzione: ) Campo di esistenza: denominatore della frazione diverso da zero e argomento del logaritmo positivo: { ln 0 > 0 > 0 per cui C.E : 0; ) ; + ) ) La presenza del valore assoluto richiede lo studio della funzione nei due intervalli, cioè y = + 0 < < ln 3) Primo caso y = + ln y = ln per 0 < <. >

10 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 0 a) Intersezione con l asse cioè + ln = 0 ln + = 0 ln + ) = 0 = 0 non acc = e ) e la funzione passerà quindi per il punto A ; 0 b) intersezione con l asse y sarà vuota tenendo conto del campo di esistenza 4) segno della funzione + ln > 0 tenendo conto della risoluzione dell equazione e del campo di esistenza, si ha y < 0 per e < < y > 0 per 0 < < e 5) comportamento della funzione negli estremi del campo di esistenza eventuali asintoti obliqui ln + ln + 3 = 0 + ln 0 + ln + = ln = = 0 [ ] 0 = ln + ) ln + m = = = ln ln ln + ) ln + ln q = = = ln ln non esistono pertanto asintoti obliqui 6) crescenza e decrescenza a) Numeratore positivo sostituendo ln = t, si ha per cui t < t >, cioè y = ln + ln ln > 0 N > 0 ln + ln > 0 t + t > 0 ln > ln < > e fuori dal C.E. 0 < < e b) Denominatore sempre positivo nel campo di esistenza; pertanto y > 0 crescente per e < < y < 0 decrescente per 0 < < e avremo quindi un massimo M e ; ). e

11 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 7) concavità e flessi y = = 4 ln 4 ln + + ) ln ln ln + ln ) ln 4 ) ln ln + ln ) ln 3 = y = ln + ln 3 la derivata seconda si annulla per 8) Grafico della funzione = ln ln 3 = e Eercise. Risolvere la seguente disequazione ) ln ln > 0 Soluzione: Per risolvere la disequazione in R dobbiamo risolvere il seguente sistema che contiene anche le condizioni di esistenza del primo membro. In particolare, ) il logaritmo esiste se il suo argomento è positivo, ) la radice quadrata esiste se il suo radicando non è negativo. Pertanto ln > 0 ln ln ) ln > 0 nell intervallo delle condizioni di esistenza la disequazione logaritmica si risolve considerando che la funzione logaritmica è positiva quando il suo argomento è >. Il sistema, quindi, diventa ln > 0 ln ln > Il sistema cerca le soluzioni comuni tra più disequazioni, pertanto, la prima disequazione può essere trascurata e il sistema diviene, elevando al quadrato entrambi i membri della terza disequazione { ln ln >

12 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA Il sistema può essere riscritto nella forma { ln ln > È quindi possibile affrontare la soluzione di queste disequazioni trascendenti con il metodo grafico, rappresentando le funzioni y = ln e le due parabole y = e y = La figura mostra la rappresentazione grafica di tutte le funzioni e l intervallo delle soluzioni. Si potrebbe considerare solo la seconda disequazione, avendo le due parabole lo stesso asse di simmetria) Eercise. Determinare, se esistono, i punti di massimo e minimo della funzione z = f, y) = + y) y ) Soluzione: La condizione necessaria richiede che esistano e siano nulle le derivate rispetto a e y, per cui z = 3 y +y)y ) z y = y +y)y ) Le derivate si annullano contemporaneamente se { y = 0 y = 0 risolviamo il sistema per determinare i punti stazionari { { = ) = 0 y = y = le soluzioni saranno rappresentate dai tre punti P 0; 0), P ; ), P3 ; ) La derivata prima non è definita in alcun punto P, perché il radicando è 0. La condizione sufficiente richiederebbe che esistano le derivate seconde nei punti trovati tali che, detti A = f p, y p ), B = f y p, y p ), C = f yy p, y p ), se il discriminante, = AC B > 0 il punto P sarà un ma se A < 0 o C < 0, un minimo se A > 0 o C > 0). Non eseguiamo pertanto il calcolo delle derivate seconde nei punti stazionari. la funzione non avrà né ma né min. Eercise 3. Risolvere la seguente equazione differenziale y sin y 4y 5 ) = 0 Soluzione: Equazione del primo ordine a variabili separabili. integrando entrambi i membri dy y = sin d 4y 5) dy y 4y 5) = sin d

13 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 3 Calcoliamo l integrale della funzione razionale al primo membro, dopo aver scomposto il denominatore dy si ha y 5) y ) y 5) y) = A y 5 + B y + da cui 6 { A + B = 0 A 5B = dy y 5) 6 = y A + B) + A 5B) { A = 6 B = 6 dy y + = sin d risolviamo l integrale al secondo membro per parti, osservando che sin d = d cos ) dy 6 y 5) dy = cos + cos d 6 y + avremo ln y 5 y + = 6 cos + sin + C) y 5 cos +sin +C) = e6 y + y 5 y + = e6 cos +sin +C) da cui 6 y + = e6 cos +sin +C) 6 y = e 6 cos +sin +C) = 5 + e6 cos +sin +C) e6 cos +sin +C) Eercise 4. Studiare le caratteristiche della seguente funzione e tracciarne il grafico y = Soluzione: Determiniamo il C.E della funzione: la radice al denominatore è sempre positiva per cui C.E : R 0. La presenza del modulo richiede di distinguere i casi in cui la variabile indipendente è positiva o negativa. caso) > 0, la funzione diviene y = essa non può intersecare l asse y per le C.E e non interseca nemmeno l asse, come si vede dal calcolo { = 5 +5 y = = = 5 Studiamo il segno della funzione per stabilire gli intervalli in cui è positiva e negativa: > > N > 0 D > 0 la funzione risulta quindi sempre positiva. + 5 > 5 { { < > 5) + 5 > 0 { { 5 < 5 > C.E 5 < 5 0) C.E

14 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 4 Cerchiamo eventuali asintoti = ) = = avremo quindi un asintoto orizzontale di equazione = 0, cioè l asse delle ascisse. Cerchiamo ora eventuali punti stazionari, calcolando la derivata prima della funzione + 5 5) y = +5 = ) 3 la derivata è sempre definita nel campo di esistenza. Studiamo il suo suo segno, osservando che il denominatore è sempre positivo, per cui la derivata prima risulta positiva per <, cioè la funzione è sempre decrescente nell intervallo > 0. Cerchiamo eventuali flessi calcolando la derivata seconda y = ) ) + 5 ) + 5) 3 = ) ) + 5) 3 = ) + 5) 5 la derivata seconda si annulla quando +3 5 = 0, cioè per ) = e = 5, quest ultimo non nell intervallo > 0. Avremo quindi un flesso nel punto F ; , 3 ) caso per < 0, la funzione diventa y = anche in questo caso non abbiamo intersezioni con gli assi, in quanto il valore = non appartiene all intervallo < 0. Studiamo il segno della funzione per stabilire gli intervalli in cui è positiva e negativa: > < N > 0 D > > 5 { { < > 5 ) + 5 > 0 { { 5 > 5 > C.E < 5 > 5 C.E la funzione risulta quindi positiva per < e quindi nell intervallo < 0 sarà sempre positiva. Cerchiamo eventuali asintoti ) ) 5 = 5 ) = ) 5 0 = 5 +5 avremo quindi un asintoto orizzontale di equazione = 0, cioè l asse delle ascisse. Nella ricerca di eventuali punti stazionari, osserviamo che la derivata prima della funzione è identica a quella già calcolata prima e quindi avremo y > 0 per < y < 0 per < < 0 la funzione avrà quindi un massimo M ; 6, 45 ) Anche la derivata seconda è uguale alla precedente e avremo questa volta un flesso F 5 ; 5, 4 ) Il grafico della funzione completa è mostrato nella figura sotto. La funzione presenta una discontinuità di prima specie nel punto di ascissa = 0 con un salto y =

15 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 5 Eercise 5. Determinare le specie di discontinuità in = 0 e = della funzione y = ln + ln + Soluzione: Calcoliamo il ite destro e sinistro nei due punti indicati la discontinuità è pertanto di seconda specie ln +ln + = 0 = + ln + +ln + = + 0 = + ln 0 +ln + = ln 0 + +ln + = 0 ln 0 + ln + = 0 = 0 ln + = ln = si ha quindi una discontinuità di prima specie con un salto pari a = Eercise 6. Determinare l insieme di definizione della seguente funzione y + ln 4 y ) z = y + Soluzione: L insieme di definizione si ottiene risolvendo il sistema che raggruppa tutte le condizioni di esistenza per i radicali, il logaritmo e la frazione y 0 + y 4 < 0 y 0 y + 0 la prima disequazione y = 0 è una iperbole degenere nelle due bisettrici dei quadranti) ha come soluzioni la parte di piano compresa tra le due bisettrici dei quadranti dove y > ; la seconda disequazione ha come soluzioni l insieme dei punti interni del cerchio di centro O e raggio la terza disequazione ha come soluzioni i punti del e 3 quadrante dove e y hanno lo stesso segno l ultima disequazione è sempre vera se si considera vera la terza. La figura mostra la parte di piano, deitata dalle linee rosse e dall arco di circonferenza non compreso, dove le coordinate dei punti soddisfano la funzione data Eercise 7. Determinare gli integrali di y + y cos = sin

16 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 6 Soluzione: Equazione del tipo y + P ) y = Q ). Risolviamo introducendo due funzioni, dipendenti da, tali che y = uv, e derivando si ha y = u v + uv. Sostituiamo nell equazione data cioè u v + uv + uv cos = sin cos uv + v u + u cos ) = sin cos imponiamo u + u cos = 0, da cui otteniamo, separando le variabili du du = cos d u u = cos d ln u = sin u = e sin sostituiamo per ottenere v e di nuovo, separando le variabili sin cos dv = e sin v = e sin sin cos d e sin v = sin cos sin cos dv = d e sin poniamo t = sin, per cui dt = cos d, l integrale diviene v = te t dt; integriamo per parti: v = te t e t dt = e t t ) = e sin sin ) da cui y = uv = e sin e sin sin ) + C ) = sin + Ce sin Eercise 8. Calcolare il campo di esistenza e le derivate parziali prime di f, y) = + y + y + ) + ln y + Soluzione: la determinazione del campo di esistenza passa attraverso la risoluzione del seguente sistema che contiene le condizioni affinché esistano il radicale e il logaritmo { + y + 0 +y y + > 0 La prima disequazione è verificata per tutti i punti del cerchio, comprensivi della circonferenza. Risolviamo la seconda disequazione N > 0 y > D > 0 y > la prima disequazione raggruppa i punti del piano deitati dall iperbole equilatera riferita agli asintoti y = ; la seconda i punti interni alla parabola y = di vertice 0; e passante per i punti ; 0 e ; 0. La figura mostra la parte di piano che rappresenta l insieme dei punti del C.E. È la parte con il colore più marcato)

17 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 7 Eercise 9. Tracciare il grafico della funzione y = 3 e e scrivere le equazioni delle tangenti alla curva negli eventuali punti di intersezione con gli assi coordinati. Soluzione: questa funzione può essere studiata nelle forme tradizionali. Si può ottenere il suo grafico molto più rapidamente costruendola mediante successive trasformazioni, riscrivendo la funzione nella forma y = 3 e e 3 La nostra funzione di partenza sarà y = e, funzione che consideriamo nota rappresentiamo y = e 3, applicando una dilatazione orizzontale: la forma grafica sarà rappresentiamo ora y = 3 e e 3, una dilatazione verticale Costruiamo la simmetrica rispetto all asse delle, y = 3 e e 3 operiamo una traslazione verticale verso l alto di vettore 0; ) costruiamo il simmetrico rispetto all asse della parte negativa della funzione La funzione interseca gli assi nei punti asse { = 0 y = 3 e 0.8 asse y { = y = 0 Si può osservare che il punto di coordinate ; 0) è un punto angoloso. Infatti calcolando le due derivate si ottengono due tangenti diverse. per y = e 3 3 e 3 per > y = e 3 3 e 3 y ) = 3 y ) = 3

18 le rette tangenti avranno equazioni y = ± 3 ) ) La derivata nel punto 0; 3 3 e ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 8 e avrà valore y 0) = 3 e 3 e l equazione della tangente sarà y = 3 3 e + Eercise 0. Dopo aver calcolato gli integrali dell equazione differenziale yy = y e, calcolare l integrale particolare che soddisfa la condizione y ) =. Soluzione: Risolviamo con il metodo delle variabili separabili y y dy = e d e integrando ydy y = e d da cui, integrando per parti l integrale al secondo membro ln y = e e d = e e + C = e ) + C risolviamo rispetto a y y = C e e ) dove C = e c. L integrale particolare sarà, sostituendo = C e e 0 = C y = ee ) Eercise. Risolvere nel campo reale la seguente disequazione < Soluzione: La disequazione si divide in due parti a seconda del segno di +, per cui ), la disequazione diventa il sistema non ha soluzioni ) <, la disequazione diventa { ++6 { < +6 0 < <. Poiché è sempre maggiore di 0, basterà che +6 a diseq a diseq +6 a diseq a diseq < N > 0 R D > 0 > 0 < < 0 N 0 R D > 0 > 0 > 0 <, per cui { +6 < N > 0 7 < < + 7 D > 0 > 0 7 < < N > 0 3 D > 0 > 0 3 la soluzione comune del sistema sarà rappresentata dall intervallo 7 < 3 Eercise. Trovare l integrale che soddisfa la condizione 3 e la condizione iniziale y 0) = 0, della seguente equazione differenziale y ) = 3) y

19 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 9 Soluzione: risolviamo separando le variabili e integrando entrambi i membri dy y = 3) d dy y = 3) d 3 ln y = 3) d + 3 d 3) ln y = ln 3) C la soluzione sarà se 3, allora y 0) = C e 3 + y = C 3) e 3 y = C 3) e 3 + Eercise 3. Studiare la funzione seguente e tracciarne il grafico y = ln Soluzione: applicando le proprietà dei logaritmi, riscriviamo la funzione nella forma ) y = ln = ln Campo di Esistenza: la radice quadrata esiste se il radicando non è negativo; il logaritmo esiste se il suo argomento è maggiore di zero { ln > 0 { > 5 { 5 < > 5 { > 0 N 0 D > 0 > 5 > 5 C.E : 5 < Intersezioni con assi: calcoliamo le intersezioni con l asse { ln 9 +5 = 0 { 9 +5 = y = 0 y = 0 { = P ; 0) y = 0 intersezioni con l asse y 5 + { = 0 y = ln 9 5 Q 0; ln 95 ) 0.6 Asintoti: calcoliamo i iti agli estremi del campo di esistenza 9 ln + 5 = + ln = 0 avremo un asintoto verticale di equazione = 5 Segno della funzione: studiamo dove la funzione assume valori positivi e negativi ln > 0 C.E. la funzione sarà quindi sempre positiva Punti stazionari, crescenza e decrescenza: calcoliamo la derivata prima della funzione y = ) ln 9 +5 y = + 5) ln 9 +5 la derivata prima non si annulla mai e quindi la funzione è sempre crescente.

20 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 0 Flessi: calcoliamo la derivata seconda ln ) ) ln y = ) ln 9 +5 ln 9 +5 y = ) ln 9 +5 ln 9 +5 y = ln ln ) ln 9 +5 la derivata seconda si annulla se 9 ln = 0 ln = = e = 9 5 e 0.3 e la funzione avrà un flesso nel punto F 9 5 e e ; ). 0.7 Infatti F y = ln. Rappresentazione grafica: ecco il grafico della funzione e e +5 ) = ln 9 e 9 = Eercise 4. Tracciare il grafico della funzione y = e + ln + Campo di Esistenza: la funzione esponenziale è sempre definita, mentre il logaritmo esiste se + 0 La funzione non presenta simmetrie rispetto agli assi cartesiani e all origine. La funzione non è, infatti, né pari né dispari Intersezioni con assi: intersezione con l asse delle ascisse { = 0 A 0; e) y = e { e + = ln + P α; 0) y = 0 risolviamo l equazione graficamente, rappresentando i due membri due funzioni elementari: e + è la funzione e traslata verso sinistra di, mentre ln + è la funzione logaritmica traslata verso destra di e poi estesa con la sua simmetrica rispetto all asse delle ordinate la soluzione può essere espressa con = α, dove 3 < α <.

21 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA Segno: il grafico sopra consente anche di discutere il segno della funzione, che si ottiene risolvendo la disequazione e + > ln +. In particolare, y > 0 per > α e y < 0 per < α. Asintoti: calcoliamo i seguenti quattro iti e+ ln ) = ln ) = + e+ + e+ ln + ) = + ln + ) = + +e+ la funzione avrà un asintoto verticale di equazione =. Verifichiamo l eventuale presenza di asintoti obliqui, essendone verificata la condizione necessaria e + ln ) e + ln ) = 0 = + + non vi sono asintoti obliqui. Crescenza, decrescenza, punti stazionari: calcoliamo la derivata prima, ricordando che se y = ln, y = y = e + + la derivata non esiste per =, quindi ha lo stesso campo di esistenza della funzione. Studiamo il segno della derivata e + + anche in questo caso risolviamo graficamente, essendo il secondo membro un iperbole traslata La figura mostra che la funzione esponenziale è maggiore dell iperbole per > β, con < β < 0. Avremo quindi y > 0 per < > β y = 0 per = β y < 0 per < < β la funzione sarà quindi crescente per < e > β, decrescente per < < β e avrà un punto di minimo relativo per = β. Flessi: calcoliamo la derivata seconda y = e ) anche la derivata seconda non è definita per =, ma sarà sempre positiva, quindi la funzione avrà concavità sempre rivolta verso l alto, senza la presenza di flessi. Grafico: la figura mostra il grafico della funzione data

22 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA Eercise 5. Risolvere la disequazione ln e e Soluzione: Il logaritmo esiste se 0. Studiamo separatamente il numeratore e denominatore della frazione data N 0 ln e + risolviamo graficamente ponendo y = ln e y = e +, dovrà essere y y. Avremo quindi N 0 per > α 3 < α < Studiamo allo stesso modo il denominatore D > 0 e > 4 poniamo y = e e y = 4, dovrà essere y > y.

23 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 3 Avremo D > 0 per < β > γ < β < < γ < Osservando che α < β < γ, avremo le seguenti soluzioni α β > γ Eercise 6. Risolvere l integrale indefinito e3 arctan e + e d Soluzione: Applichiamo la sostituzione e = t, da cui = ln t e d = t e avremo t3 arctan t dt + t t = t arctan t + t dt riscriviamo il numeratore t + ) arctan t + t dt = risolviamo il primo integrale per parti, infatti = t arctan t = t arctan t t +t dt = f t) ft) e3 arctan e t + t dt arctan t arctan tdt + t dt = arctan t d arctan t) = t + t dt arctan t = t arctan t ln + t arctan t dt = ln f t) ). Sostituendo il valore di, otteniamo + e d = e arctan e ln + e ) arctan e + C Eercise 7. Determinare l insieme di definizione, la natura dei punti di frontiera e le derivate parziali prime della funzione f, y) = + y ) 9 ) y e ) Soluzione: possiamo riscrivere la funzione applicando le semplici regole algebriche dei prodotti notevoli f, y) = + y + 3) + y 3) ) y e ) e osservare che il fattore + y + 3 ) al numeratore è sempre positivo. L insieme di definizione sarà calcolabile tramite il sistema che contiene le condizioni che rendono il radicando non negativo e il denominatore della frazione non nullo a +y 3) )y e ) 0 a > 0 3 a y e > 0 studiamo graficamente le tre disequazioni e cerchiamo le soluzioni comuni: il polinomio + y 3numeratore può essere rappresentato come una circonferenza di raggio 3 e centrata nell origine; è una retta parallela all asse y e y e è la funzione esponenziale, sempre positiva

24 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 4 i punti di intersezione della circonferenza con la retta e l esponenziale sono da considerarsi esclusi. Calcoliamo le derivate parziali prime [ 4 +y ) )y e ) [y e e ))] +y ) 9] ) y e ) f = +y ) 9 )y e ) f = +y ) 9 )y e ) [ 4y +y ) )y e ) ) +y ) 9] ) y e ) Eercise 8. Studiare l andamento e tracciare il grafico della funzione y = 3 ln Campo di Esistenza: la radice cubica esiste sempre, mentre il logaritmo solo se il suo argomento è diverso da zero, cioè la presenza del modulo implica che si studi la funzione 3 ln ) y = 3 ln ) ; ) ; + ) > < ) Studio della funzione y = ln 3 ) nell intervallo ; ) { = 0 Intersezioni con gli assi: asse y: y = 0 Segno: y 0 per ogni appartenente all intervallo il logaritmo è infatti sempre positivo) Asintoti: calcoliamo i iti y = + y = + avremo quindi un asintoto verticale di equazione =. L asintoto obliquo non esiste in quanto y = 0 Crescenza, decrescenza, punti stazionari: calcoliamo la derivata prima della funzione y = 3 ln 3 ) = 3 ) ln 3 ) C.E della derivata:, 0. Per studiare il segno della derivata prima, basta considerare il denominatore 3 ) ln 3 ) > 0 nell intervallo < fattore < 0 < fattore < 0 ln 3 ) < 0 > 0

25 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 5 avremo quindi y > 0 per 0 < < e la funzione sarà crescente; y < 0 per < 0 e la funzione sarà decrescente. Studiamo la derivata nel punto = 0 nei due intervalli, in quanto la derivata non è definita per = 0. = 0 y = + 0 +y Il punto 0; 0) è punto di cuspide e minimo assoluto. Flessi: calcoliamo la derivata seconda [ ] y = ln 3 ) ) ln 3 ) = ) ln 3 ) 3 3 ln ) + ) ln 4 3 ) studiamo il segno della derivata seconda attraverso il segno del suo numeratore, essendo il denominatore sempre positivo y 0 3 ln ) + 0 ln ) 3 3 e 0, 8 La funzione presenta una concavità verso il basso negli intervalli < 0 e 0 < < 3 e ; presenta concavità ) verso l alto nell intervallo 3 e < <. Avremo, quindi, un flesso ascendente F 3 e ; 3 9. ) Studio della funzione y = ln 3 ) nell intervallo ; + ) { 0 = ln { ) = Intersezioni con gli assi: asse y:,da cui y = 0 y = 0 Segno: y 0 per ogni appartenente all intervallo il logaritmo è infatti sempre positivo) Asintoti: calcoliamo i iti +y = + y = + + avremo quindi un asintoto verticale di equazione =. L asintoto obliquo non esiste in quanto y = 0 Crescenza, decrescenza, punti stazionari: calcoliamo la derivata prima della funzione y = 3 ln 3 ) = 3 ) ln 3 ) C.E della derivata:,. Per studiare il segno della derivata prima, basta considerare il denominatore 3 ) ln 3 ) > 0 nell intervallo < fattore > 0 > fattore > 0 ln 3 ) > 0 > avremo quindi y > 0 per > e la funzione sarà crescente; y < 0 per < < e la funzione sarà decrescente. Studiamo la derivata nel punto = nei due intervalli, in quanto la derivata non è definita per =. = y Il punto ; 0) è punto di cuspide e minimo assoluto. [Studio dei punti di non derivabilità. Si ha un = + +y punto angoloso: è un punto del dominio di una funzione in cui esistono entrambe le derivate destra e sinistra, ma sono diverse ed almeno una di esse ha valore finito; una cuspide: se i iti destro e sinistro della derivata prima tendono a ± con segno opposto. ) flesso a tangente verticale: punto in cui la funzione è definita e il ite della derivata prima in quel punto diverge] Flessi: calcoliamo la derivata seconda [ ] y = ln 3 ) ) ln 3 ) = ) ln 3 ) 3 3 ln ) + ) ln 4 3 )

26 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 6 studiamo il segno della derivata seconda attraverso il segno del suo numeratore, essendo il denominatore sempre positivo y 0 3 ln ) + 0 ln ) e, 7 La funzione presenta una concavità verso il basso negli intervalli + 3 e verso l alto nell intervallo < < + 3 e. Avremo, quindi, un flesso discendente F Grafico della funzione: < < e > ; presenta concavità ) + 3 e ; 3 9. Eercise 9. Determinare l insieme di definizione, classificare i punti di discontinuità, einandoli dove possibile, e studiare la funzione ln y = + ln ) Soluzione: funzione trascendente fratta; l insieme di definizione si ottiene risolvendo il sistema { { 0 0 ln ±e avremo quindi C.E : ; e ) e ; 0 ) 0; e ) e ; + ) Discontinuità: Calcoliamo i iti nei punti di discontinuità per poterli classificare 0 ±y = Hôp) = { ln + ln ) = per 0, ±e 0+ einabile y = +ln ) 0 per = 0 y = + ±e a specie avremo due asintoti verticali di equazione = ±e. Simmetrie: la funzione è simmetrica rispetto all asse y, in quanto f ) = f ). Ciò consente di studiare la funzione solo per > 0. Intersezioni assi: essendo 0, non vi sono intersezioni con l asse y; { = Segno: la funzione è sempre positiva nel C.E. Asintoti orizzontali: calcoliamo gli altri iti + y = 0 ln + ln ) = t + t + t) = 0+ avremo un asintoto orizzontale di equazione y = 0. Crescenza e decrescenza: la funzione, contenendo pure il modulo del logaritmo, deve essere studiata in due diversi intervalli ln y = + ln ) per ln y = + ln ) per 0 < < e e <

27 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 7 calcoliamo la derivata prima di y y = + ln ) + ln ) ln + ln ) 4 = ln + ln ) 3 Il C.E. della derivata coincide con quello di y. Studiamo il segno della derivata avremo e quindi = e sarà un massimo assoluto. Inoltre N 0 > ln < e D > 0 + ln ) 3 > 0 y > 0 < e y < 0 > e y e ) = 8 y ) = 4 Calcoliamo la derivata prima di y y = ln + ln ) 3 il cui C.E. : 0; e ) e ; ]. Studiamo il suo segno, tenendo conto che y non è mai nulla per. avremo quindi inoltre N > 0 ln > mai D > 0 + ln ) 3 > e y > 0 0 < < e f crescente y < 0 e < > f decrescente y ) = per = le due derivate sono diverse e = è, quindi, un punto angoloso e minimo assoluto. Inoltre 0 +y = + e per la simmetria della funzione rispetto all asse delle y, = 0 è un punto di cuspide. Concavità: calcoliamo le due derivate seconde [ + ln )3 y = ] ln ) + ln ) ln ) + ln ) 6 = la derivata seconda si annulla quando è nullo il numeratore per cui, = e 3 è un punto di flesso; inoltre ln + ln = 0 ln = ± 3 + ln ) [ ln + ln ) ln ) ln ) 6 y = ln + ln + ln ) 6 y > 0 > e 3 concavità verso l alto y < 0 < e 3 concavità verso il basso Studiamo ora la derivata nell altro intervallo, cioè quella indicata come y, con calcolo analogo, si ottiene y = ln ln + + ln ) 6 per cui y = 0 per = e 3+) che sarà un ulteriore punto di flesso; inoltre y > 0 e 3+) < < concavità verso l alto y < 0 < e 3+) concavità verso il basso Grafico: rappresentiamo la funzione completa tenendo conto della simmetria inizialmente indicata

28 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 8 con questa scala non è possibile indicare il massimo relativo per = e Eercise 30. Risolvere nel campo reale la seguente disequazione 4 e e 3 Soluzione: possiamo riscrivere la disequazione nel seguente modo 4 e e e ) + e e la disequazione ha significato nel campo reale se il denominatore è maggiore di zero, cioè C.E : e > > 0 Data tale condizione, il denominatore risulta sempre positivo e basta studiare il segno del numeratore nei due casi ottenibili studiando il valore assoluto caso: 0 < < ln 4. La disequazione diviene 4 e > 0 0 < ln 4 4 e < 0 ln 4 3e 3 + e 0 e 3e 3 + e > 0 e > 3e 9 risolviamo la disequazione irrazionale mediante i due sistemi { { e 3 0 e 3 0 e > 0 e 3e 9) { { ln 3 ln 3 > 0 9e 55e { ln 3 0 < ln 3 ln ln < ln 3 ln 3 ln la soluzione in questo primo caso sarà pertanto 0 < ln caso: ln 4, la disequazione diviene il numeratore sarà positivo quando + 3e 3 + e e + 3e 3 + e e 5 3e risolviamo la disequazione irrazionale mediante i due sistemi { { 5 3e 0 5 e e 0 > 0 e e 0e ) { { ln 5 ln 5 > 0 9e 9e ln 5 ln ln 5

29 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 9 la soluzione in questo primo caso sarà pertanto ln La disequazione sarà pertanto verificato negli intervalli 0 < ln ln Eercise 3. Calcolare il seguente integrale [ ln + ) ln + ) arctan ln + ) ) ] ln 4 d + ) nelle condizioni > e 0. Soluzione: Applichiamo la sostituzione di variabile t = ln + ), per cui dt = ln+) + d. L integrale diviene t arctan t + ) + t dt la funzione integranda è una somma di termini e per i teoremi noti, si ha arctan tdt + +t dt = risolviamo il primo integrale per parti 4 t arctan t t 4 + t dt + arctan t = t 4 arctan t + arctan t t t dt = = t 4 arctan t + arctan t 4 dt t dt = t 4 arctan t + arctan t 4 t + 4 arctan t = t 4 arctan t arctan t 4 t + C La soluzione rispetto alla variabile sarà ln 4 + ) arctan ln + ) ) + 3 arctan ln + ) ) ln + ) )) + C 4 Eercise 3. Tracciare il grafico della funzione y = e ln + ln Campo di Esistenza: la funzione esponenziale ha il campo di esistenza del suo esponente; in questo caso, dovendo esistere il logaritmo, avremo > 0 oppure 0; + ). Intersezioni con assi: per il campo di esistenza non vi sono intersezioni con l asse, mentre per le intersezioni con l asse y { ln { + ln = 0 ln ln ± ) = 0 y = 0 y = 0 { = y = 0 Non esistono simmetrie. Segno: nel campo di esistenza la funzione risulta sempre non negativa, cioè y 0 C.E. Asintoti: calcoliamo i iti negli estremi di campo di esistenza sostituendo t = ln, da cui = e t, avremo + e ln + ln = +t+ t t + e t + e = 0 + ln + ln = 0 +e t e t +t+ t t e t = 0 + Avremo quindi un asintoto orizzontale di equazione y = 0. Crescenza, decrescenza: la presenza del modulo richiede di considerare la funzione nei due intervalli ln = ln ln 0 <

30 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 30 caso:, la funzione diviene y = e ln +ln e y ) = ; calcoliamo la derivata prima y = e ln +ln + e ln +ln ln + ) = e ln +ln ln ) il campo di esistenza della derivata coincide con quello della funzione y. Inoltre, y ) = Studiamo il segno della derivata, ricordando che l esponenziale è sempre positivo y 0 ln 0 e f crescente y 0 ln 0 e f decrescente avremo quindi un massimo relativo per = e. Studiamo la derivata seconda y = e ln +ln ln + ) ln ) + e ln +ln ) = = e ln +ln ln ln 3) Nel campo di esistenza l esponenziale, il logaritmo e il denominatore sono sempre positivi, per cui y 0 ln 3 0 e 3 f concava y 0 ln 3 0 e 3 f convessa avremo quindi un flesso di tangente obliqua per = e 3. caso: 0 <, la funzione diventa y = e ln ln e y ) = ; calcoliamo la derivata prima y = e ln ln + e ln ln ln ) = ln e ln +ln il campo di esistenza della derivata coincide con quello della funzione y. Inoltre, y ) = 0. Per = avremo, quindi, un punto angoloso. Calcoliamo il ite della derivata nell estremo sinistro dell intervallo ln e ln +ln = e per = 0 avremo un punto a tangente orizzontale. Studiamo il segno della derivata, ricordando che l esponenziale è sempre positivo Studiamo la derivata seconda Avremo y 0 ln 0 f sempre crescente y = e ln +ln ln + ln + y 0 ln + ln + y 0 0 < e e avremo quindi un flesso a tangente obliqua per = e. Grafico: rappresentiamo graficamente la funzione data e non accettabile e accettabile f concava f convessa

31 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 3 Eercise 33. Risolvere nel campo reale la seguente disequazione 3e e + e 4 + Soluzione: si tratta di una disequazione non algebrica, di cui studiamo il campo di esistenza, ponendo i denominatori diversi da zero { 0 4 Poiché gli esponenziali sono sempre positivi, la disequazione si può riscrivere, dividendo i due esponenziali della prima frazione, 3 e + e 4 + moltiplico ora entrambi i membri per e + e ottengo la disequazione equivalente 3 e Osserviamo che se > 4 il polinomio 4 + > 0 e la disequazione è equivalente a ) e 3+ mentre se < 4, la disequazione è equivalente a ) e 3+ Studiamo le funzioni y = 34+) e y = e 3+ e risolviamo graficamente, osservando che y è un iperbole traslata con asintoti y = 6 e = 0 passante per = 4, e y è una funzione esponenziale. I grafici sono rappresentati in figura Avremo, pertanto, le soluzioni α < 4 e 0 < β con, come si vede in figura, α < 4 e β > 0. Eercise 34. Calcolare il valore del seguente integrale definito π sin cos ln sin + ) sin + ) 3 d 0 Soluzione: Osservando che sin cos d = d sin ), introduciamo la seguente sostituzione t = sin e dt = sin cos d; l integrale diviene 0 ln t + ) t + ) 3 dt Calcoliamo l integrale indefinito per parti, ponendo f = ln t + ) sarà f = t+ e g = t + ) 3 dt, per cui g = t+) ln t + ) I = t + ) 3 dt quindi calcoliamo l integrale ln t + ) I = t + ) + t + ) t + ) dt = dt riscrivendo la frazione come t+) t+) A t + + B t + ) + C t + = t + ) t + )

32 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 3 svolgendo abbiamo A t + ) t + ) + B t + ) + C t + ) = At + 3At + A + Bt + B + Ct + Ct + C = t A + C) + t 3A + B + C) + A + B + C) = confrontando i termini ai due membri osserviamo che l integrale diverrà avremo quindi A + C = 0 3A + B + C = 0 A + B + C = C = A A = B A + B = t + ) t + ) dt = C = A 3A + B A = 0 A + B A = A = B = C = dt t + + dt t + ) + ln t + ) I = t + ) ln t + t + ) + ln t + + C Il nostro integrale definito avrà quindi come soluzione 0 dt t + ln t + ) 3 3 dt = ln t + ) 8 ln 4 + ln 3 + ln + ln = 4 ln + 3 ln 3 8 Eercise 35. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico y = Soluzione: Riscriviamo la funzione, sommando i termini del radicando y = = 4) = Campo di esistenza: il denominatore e radicando è sempre positivo < 0) per cui la funzione esiste R. Simmetrie: la funzione non è né pari né dispari. Si può semplificare lo studio di questa funzione analizzando la funzione y = ed eseguendo le opportune simmetrie delle sue parti negative. Intersezioni: { = 0 y = = Segno: risolviamo la disequazione Essendo il denominatore sempre positivo, avremo > 0 y > 0 per > 4 y < 0 per < 4 { = 4 y = 0 Asintoti: calcoliamo i iti negli estremi del campo di esistenza ) 4 ± 4 + ) = ± 8 avremo due asintoti orizzontali di equazione y = e y = e non vi sono asintoti obliqui.

33 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 33 Crescenza, decrescenza: calcoliamo la derivata prima della funzione ) y = ) 4+8 = ) = 4 + 8) il campo di esistenza della derivata coincide con quello della funzione, ed essendo ancora il denominatore sempre positivo, avremo Avremo pertanto un minimo nel punto m 0; ). Flessi: calcoliamo la derivata seconda y = y > 0 > 0 f. crescente y < 0 < 0 f descrescente 6 4+8) ) ) ) ) 3 = = ) ) 4 + 8) 4 + 8) la derivata seconda ha lo stesso campo di esistenza della funzione e si annulla se 4 = 0 = ± 7 avremo due flessi in corrispondenza di questi valori di ; inoltre = 4 4 ) 4 + 8) 5 y > 0 < 7 > + 7 concavità verso alto y < 0 7 < < + 7 concavità verso basso la funzione avrà quindi l andamento in figura Applichiamo ora il ribaltamento della parte negativa Si può osservare che ora l intersezione di ascissa = 0 è punto di massimo assoluto e che il punto 4; 0) è di minimo assoluto ed è un punto angoloso in quanto y 4) = y + 4) = Eercise 36. Calcolare, mediante la definizione, la derivata di f ) = e 4 5 con < 4 5. Soluzione: la definizione di derivata è la seguente y ) = h 0 f + h) f ) h e applicata alla funzione assegnata, diviene ricordando il ite notevole f) 0 e 4 5+h) e 4 5 h 0 h e f) f) =, riscriviamo il rapporto incrementale e ) 4 5 e 4 5+h) ) 5 + h) 4 5 h 0 4 ) = h 5 + h) 4 5 e ) 5 + h) 4 5 h

34 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 34 razionalizziamo il numeratore e ) 4 ) 5 + h) h) h 0 4 ) = e h 4 + 5) 4 ) = h 5 + h) h 5 + h) h 0 = 5h e 4 5 h h) ) = 5 Eercise 37. Calcolare il valore del seguente integrale definito +ln ln 4 + e 4) d Soluzione: operiamo la sostituzione t = e e = ln t +, d = dt t. L integrale diviene e ln 4 + t ) t dt = integriamo per parti con f = dt t e g = ln 4 + t ) = [ t ln 4 + t )] + [ dt 4 + t = t ln 4 + t ) + arctan ] = = ln 8 + π 4 + ln 5 arctan = ln 5 + π 4 arctan Eercise 38. Tracciare il grafico della seguente funzione ) y = ) e + 4e ) + ln 4 5 e precisare il tipo di discontinuità della funzione nel punto di ascissa zero Campo di Esistenza: l argomento del logaritmo è sempre positivo, per cui basterà 0, cioè ; 0) 0; + ) Per la presenza del la funzione si divide in due parti ) ) 4 + ln ) e +4e 5 = < 0 y = ) ) ) ) 4 + ln e +4e e 5 = ln +4e 5 > 0 Studiamo separatamente i due rami ) y = con < 0. La funzione si rappresenta osservando che essa rappresenta una parabola con concavità rivolta verso il basso, V ; ) 7 4 e può intersecare solo l asse nel punto ad ascissa negativa = 7. Inoltre e la sua derivata prima è = 4 0 y = + y 0 ) =

35 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 35 ) y = ln ) e +4e 5 con > 0. Intersezione asse y: { e +4e 5 = y = 0 { e 5e + 4 = 0 y = 0 e = non accett) e = 4 B ln ; 0) La funzione non presenta simmetria. Segno: e + 4e ) ln > 0 e 5e + 4 > 0 5 per cui Asintoti: Calcoliamo i iti e + 4e ) ln y > 0 per > ln y < 0 per 0 < < ln = ln = 0 + ln e + 4e ) = + 5 Verifichiamo l esistenza di un asintoto obliquo, essendo verificata la condizione necessaria e m = + ln + 4e ) = [ ln e + 4e ) ln 5 ] = { 5 ln [e + 4 )] } e ln 5 = [ + ln + 4 ) ] e ln 5 = + ln ) + 4 e ln 5 = Pertanto e q = ln + 4e ) = + ln + 4 ) + 5 e ln 5 = ln 5 L asintoto obliquo avrà equazione y = ln 5 Crescenza, decrescenza: calcoliamo la derivata prima, che è sempre definita La derivata prima si annulla se studiamo il segno della derivata y = y > 0 5 e + 4e 5 e 4e ) = e 4e e + 4e e 4e = 0 e 4 = 0 = ln e 4e e +4e > 0 N > 0 > ln D > 0 C.E. y > 0 > ln f crescente y < 0 0 < < ln f decrescente Avremo un punto di minimo nel punto m ln ; ln )

36 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 36 Flessi: studiamo la derivata seconda y = e + 4e ) e 4e ) 6 e + 4e ) = e + 4e ) la derivata seconda è sempre positiva e la funzione avrà sempre, nell intervallo > 0, concavità rivolta verso l alto. Analizziamo la discontinuità nel punto di ascissa = 0. y 0 +) = 3 5 Avremo quindi una discontinuità di prima specie non einabile, esistendo le derivate d e s ma avendo valore diverso. Grafico: Eercise 39. Risolvere nel campo reale la seguente disequazione; ln 3 ) e 4 < 0 Soluzione: studiamo dapprima il campo di esistenza 3 > < < Studiamo ora la disequazione iniziando dal suo numeratore N > 0 < < C.E : < 0 0 < < 3 ln 3 ) > e risolviamo graficamente ponendo y = ln 3 ) e y = e. y è la funzione logaritmo naturale traslata verso destra di 3 e sulla quale si opera una riflessione rispetto all asse y; la y è una funzione sempre positiva, pari y ) = y ) con asintoto orizzontale y = 0 e massimo per =. La loro forma grafica è in figura, dalla quale è possibile risolvere la disequazione

37 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 37 Avremo quindi N > 0 per < α 0) con.5 < α <. Studiamo ora il denominatore D > 0 4 > entrambi i membri sono positivi nel campo di esistenza, per cui, elevando al quadrato, D > 0 3 > 0 < 0 > 3 La disequazione avrà come soluzione N > 0 < α, 0 D > 0 < 0 > 3 frazione < 0 α < < 3 Eercise 40. Calcolare il valore del seguente integrale definito e ln ln + d Soluzione: Introduciamo la sostituzione t = ln, per cui = e t e d = e t dt; inoltre, se =, allora t = ln = 0 e se = e, allora t = ln e =. Avremo quindi 0 t e t e t t + dt = 0 t t + dt = 0 t t + dt ricordando che il differenziale di d t + ) dt =, integriamo per parti t + t [ t + 0 t + dt = t t t + ) ] [ ] t + = t + t ) = = 4 3 Eercise 4. Studiare le caratteristiche della seguente funzione e tracciarne il grafico y = ln 3 Campo di Esistenza: la radice cubica è sempre definita, mentre l argomento del logaritmo deve essere positivo, per cui C.E. : > 0 Segno: determiniamo il segno della funzione e gli eventuali punti di intersezione con l asse ; non vi saranno intersezione con l asse y per le C.E ln 3 > ln > > ln > 0

38 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 38 risolviamo graficamente indicando con y = 9 3 e y = ln. La funzione y è traslata verso destra di vettore ; 0) ed è simmetrica rispetto a questo punto ed è inoltre dilatata verticalmente; la funzione y è nota. La figura mostra le due funzioni y e y si intersecano nel punto ; 0) e dalla figura si ricava y > 0 > y = 0 = Asintoti: calcoliamo i iti negli estremi del C.E. y < 0 0 < < ln 3 = ln 3 = + + Avremo un asintoto verticale di equazione = 0. Verifichiamo la presenza di asintoto obliquo ln 3 = 0 + infatti è un infinito di ordine superiore rispetto a 3 e a ln. Non vi sono, pertanto asintoti obliqui. Crescenza, decrescenza: calcoliamo la derivata prima della funzione y = 3 ) ln il campo di esistenza della derivata è 0, studiamo il segno della derivata y = 3 3 ) = + 3 ) ) 3 > N > 0 3 ) 3 3 ) > 0 C.E. D > 0 C.E. {} la derivata prima è sempre positiva nelle condizioni indicate e la funzione è sempre crescente. Studiamo il ite della derivata per tendente a + ± 3 ) 3 = + avremo quindi un punto a tangente verticale in ; 0) Flessi: calcoliamo la derivata seconda y = 3 ) la derivata seconda ha lo stesso C.E della derivata prima e si annulla 3 ) = ) 5 = 0 la soluzione algebrica presentaun equazione di sesto grado. Cerchiamo la soluzione graficamente, disegnando la parabola y = e la y = 3 ) 5

39 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 39 Avremo quindi un flesso, nel nostro C.E., per 0 < <. Grafico: Eercise 4. Determinare per quali valori del parametro reale a la seguente funzione è continua in [0; π] cos + sin f ) = π ) 0 < π a π π Soluzione: calcoliamo il ite per π cos + sin π Pertanto dovrà essere a = ±. π ) = cos + cos = + cos π ) π ) = cos π ) π π ) = cosπ ) = π ) = 4 Eercise 43. Risolvere la seguente equazione differenziale y y 4y ) + ) = 0 Soluzione: risolviamo mediante la separazione delle variabili dy y 4y = + d e passando all integrale dy y 4y = Risolviamo l integrale al primo membro dy y 4y = + d y 7) y + 3) dy riscriviamo la frazione come somma di frazioni y 7) y + 3) = A y 7 + B Ay + 3A + By 7B y A + B) + 3A 7B = = y + 3 y 7) y + 3) y 7) y + 3)

40 ESERCITAZIONI PER ESAMI DI ANALISI MATEMATICA 40 ricaviamo A e B dal sistema { A + B = 0 3A 7B = l integrale diviene dy y 4y = 0 dy y 7 0 Risolviamo ora l integrale al secondo membro + d { A = 0 B = 0 dy y + 3 = ln 0 ) y 7 y + 3 introduciamo la sostituzione + = t da cui d = 4t t ), l integrale diviene 4t 4 4t ) dt = 4 5 t5 4 3 t3 = 4 ) ) 3 + = 4 ) ) + C L equazione differenziale avrà come soluzioni ) ln y 7 0 y + 3 = 4 ) ) y C 5 y + 3 = e ) 3 )+C 0 y + 3 = e ) 3 )+C e 8 3+ ) 3 3 )+C = 0 y y = ) 3 e 83+ ) 3 3 )+C Eercise 44. Studiare le caratteristiche della seguente funzione e tracciarne il grafico y = 3 ) e + Campo di esistenza: la funzione è definita su tutto l insieme dei numeri reali R. Intersezioni: determiniamo l intersezione con gli assi cartesiani { { = = 0 asse asse y y = 0 y = e Segno: risolviamo la disequazione 3 ) e + > 0 fat > 0 ) > 0 fat > 0 e + > 0 R la funzione è quindi sempre positiva; y > 0. Asintoti: calcoliamo i iti agli estremi del campo di esistenza ) e + = ) 3 3 e +) Hop = 3 ) e + = + + e = 0 avremo un asintoto orizzontale di equazione y = 0; non vi sono asintoti verticali né obliqui. Crescenza, decrescenza: calcoliamo la derivata prima y = ) 3 ) 3 e + + ) 3 3 e + = e Il C.E della derivata è. Calcoliamo quindi i iti destro e sinistro della derivata ) 3 e+ 3 3 = e 0 = ) e = e 0 + = + il punto di ascissa = sarà una cuspide essendo i iti non finiti e di segno opposto. Studiamo il segno della derivata y > 0 e + > 0 3 > 0 > 3 > 0 >