1 Espressioni polinomiali

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1 1 Espressioni polinomili Un monomio è un espressione letterle in un vribile x che contiene un potenz inter (non negtiv, cioè mggiori o uguli zero) di x moltiplict per un numero rele: x n AD ESEMPIO: sono tutti monomi. In prticolre v osservto che 2x 3, 5x 2, 9 9 = 9x 0 Il grdo del monomio x n è l esponente n quindi il grdo di 2x 3 è 3, il grdo di 5x 2 è 2, il grdo di 9 = 9x 0 è zero. Un espressione letterle in un vribile x è dett polinomile se è somm di monomi e il suo grdo è il grdo mssimo dei suoi monomi: AD ESEMPIO: è un espressione polinomile di grdo 3. 2x 3 + 5x Un equzione tr due espressioni polinomili si dice di grdo 1 o di primo grdo se vi compre un monomio di grdo 1 e i monomi che vi compiono sono l mssimo di grdo 1 (cioè le potenze di x che vi compiono sono l mssimo di esponente 1). AD ESEMPIO: 2x + 1 = 3(x + 1) sono tutte equzioni di primo grdo. 2x + 1 = 3(x + 1) x 2x + 1 = 3(x + 1) x 2 Un equzione tr due espressioni polinomili si dice di grdo 2 o di secondo grdo, se vi compre un monomio di grdo 2 e i monomi che vi compiono sono l mssimo di grdo 2, cioè se le potenze di x che vi compiono sono l mssimo di esponente 2: 2x = 3(x + 1) 2 è un equzione di secondo grdo. In generle, un equzione tr due espressioni polinomili si dice di grdo n, o di grdo n-simo se vi compre un monomio di grdo n e se i monomi che vi compiono sono tutti di grdo l mssimo n, cioè le potenze di x che vi compiono sono l mssimo di esponente n: 2x = 3(x 5 + 1) è un equzione di quinto grdo. UNA SOLUZIONE DI UN EQUAZIONE è un vlore x 0 rele tle che se ponimo x = x 0 le due espressioni sono uguli. AD ESEMPIO ponendo x = 2 in 2x = 3(x + 1) ottenimo 2x = 3(x + 1) per x = 2 SE E SOLO SE = 3(2 + 1) SE E SOLO SE = = 9 e quindi x = 2 è soluzione dell equzione 2x = 3(x + 1).

2 2 Equzioni e disequzioni di primo grdo Un equzione di primo grdo si può sempre ridurre d un espressioe del tipo x + b = 0 AD ESEMPIO: 2x + 1 = 3(x + 1) 2x + 1 = 3x + 3 2x + 1 3x 3 = 3x + 3 3x 3 x 2 = 0 2x + 1 = 3(x + 1) x 2x + 1 = 3x + 3 x 2x + 1 = 2x + 3 2x + 1 2x 3 = 2x + 3 2x 3 2 = 0 2x + 1 = 3(x + 1) x 2 2x + 1 = 3x + 3 x 2 2x + 1 = 2x + 1 2x + 1 2x 1 = 2x + 1 2x 1 0 = 0 Come mostrto dgli esempi precendenti, per un equzione di primo grdo ridott ll form cnonic si possono vere tre situzioni diverse: 0: in questo cso l equzione h un sol soluzione x = b/; = 0, b 0: in questo cso l equzione non h soluzioni e si dice nche che l equzione è impossibile; = 0 b = 0: in questo cso l equzione h infinite soluzioni, inftti qulunque vlore sceglimo per x, questo è soluzione. In questo cco si dice che l equzione è indetermint. Concentrimoci sul cso in cui 0 e b due numeri reli noti, risolvere l equzione di primo grdo x + b = 0 signific trovre, se esistono, i vlori di x reli che soddisfno l precedente uguglinz Ricordndo lcune proprietà dei numeri reli, ossi, d esempio, α, β R (che si legge: per ogni lf e bet che pprtengono ll insieme dei numeri reli) α = β, implic α + γ = β + γ γ R α = β, implic αγ = βγ γ R. Interpretzione grfic: riprendimo gli esempi precedenti, inizindo dll equzione 2x + 1 = 3(x + 1). Possimo disegnre sul pino crtesino il grfico delle due rette y = 2x + 1, e ossi i due sottoinsiemi del pino crtesino y = 3(x + 1) (x,y), tli che y = 2x + 1} (x,y), tli che y = 3(x + 1)} queste due rette si intersecno in un punto (x 0,y 0 ). Per trovre le coordinte del punto (x 0,y 0 ) occorre e bst richiedere che pprteng d entrmbe le rette, ossi che di conseguenz deve necessrimente ccdere che y 0 = 2x e contempornemente y 0 = 3(x 0 + 1) 2x = 3(x 0 + 1) ( = y 0 ) x0 è soluzione dell equzione 2x + 1 = 3(x + 1) QUINDI x 0 = 2 e y 0 = 2x = 2 ( 2) + 1 = 3 IN CONCLUSIONE: risolvere l equzione 2x + 1 = 3(x + 1) signific trovre l sciss del punto in comune lle due rette y = 2x + 1 e y = 3(x + 1).

3 Figur 1: Grfico delle due rette y = 2x + 1 e y = 3(x + 1). Figur 2: Grfico delle due rette y = 2x + 1 e y = 3(x + 1) x (= 2x + 3). Per gli ltri due csi dimo solo l interpretzione grfic: per l equzione 2x + 1 = 3(x + 1) x, in modo del tutto nlogo, osservimo che risolvere l equzione corrisponde cercre l sciss (o le scisse) degli eventuli punti in comune tr le due rette e y = 2x + 1 y = 3(x + 1) x y = 2x + 3. In questo cso le due rette sono prllele e quindi non hnno punti in comune Questo ftto si riflette nel ftto che non ci sono soluzioni ll equzione 2x + 1 = 3(x + 1) x. Anche per l equzione 2x + 1 = 3(x + 1) x 2 osservimo che risolvere l equzione corrisponde cercre l sciss (o le scisse) degli eventuli punti in comune tr le due rette e y = 2x + 1 y = 3(x + 1) x 2 y = 2x + 1. In questo cso le due rette coincidono e quindi hnno tutti i punti in comune. Questo ftto si riflette nel ftto che per qulunque vlore di x vle l uguglinz 2x + 1 = 3(x + 1) x 2. Per le disequzioni di primo grdo, esttmente come prim, si riducono sempre d disequzioni del tipo Ad esempio x + b 0. 2x + 1 3(x + 1) 2x + 1 3x + 3 2x + 1 3x 3 3x + 3 3x 3 x 2 0 2x + 1 3(x + 1) x 2x + 1 3x + 3 x 2x + 1 2x + 3 2x + 1 2x 3 2x + 3 2x x + 1 3(x 1) x 2x + 1 3x 3 x 2x + 1 2x 3 2x + 1 2x + 3 2x 3 2x x + 1 3(x + 1) x 2 2x + 1 3x + 3 x 2 2x + 1 2x + 1 2x + 1 2x 1 2x + 1 2x 1 0 0

4 3 Equzioni e disequzioni di secondo grdo Sino 0, b e c tre numeri reli noti, risolvere un equzione di secondo grdo signific trovre, se esistono, i vlori di x reli per i quli vle x 2 + bx + c = 0 ESEMPIO 1 Osservndo che x 2 x 2 = 0 x 2 x 2 = (x + 1)(x 2) [inftti (x + 1)(x 2) = x 2 + x 2x 2 = x 2 x 2] si vede fcilmente che le soluzioni sono x = 1 e x = 2 (inftti per due numeri reli α e β si h αβ = 0 se e solo se α = 0 oppure β = 0) ESEMPIO 2 Le soluzioni sono + 2 e 2 ESEMPIO 3 x 2 2 = 0 x = 0 non mmette soluzioni reli in qunto per ogni x rele si h x 2 0 per cui x ESEMPIO 4 x 2 2x + 1 = 0 Osservndo che x 2 2x + 1 = (x 1) 2 si vede fcilmente che solo x = 1 soddisf l equzione x 2 2x + 1 = 0. Sino 0, b e c tre numeri reli noti, risolvere un disequzione di secondo grdo signific trovre, se esistono, i vlori di x reli per i quli vle x 2 + bx + c 0 (oppure x 2 + bx + c 0) ESEMPIO 1 BIS x 2 x 2 0 Osservndo che x 2 x 2 = (x + 1)(x 2) e ricordndo che, per ogni α e β numeri reli, αβ 0 [ α 0 oppure β 0 ] α 0 β 0 si vede fcilmente che le soluzioni sono dte d x x 2 0 oppure x x 2 0 Ossi x 2 oppure x 1 GRAFICAMENTE si può usre il metodo illustrto nell Figur 3: si studino i segni di ciscuno dei due fttori (x + 1) e (x 2) e si ottiene il segno del prodotto utilizzndo le regole + per + = +, + per - = - e - per - = +.

5 Figur 3: Studio del segno di (x + 1)(x 2) ESEMPIO 2 BIS x Le soluzioni dell equzione corrispondente sono + 2 e 2 e quindi le soluzioni sono dte dl sistem x x x oppure 2 0 x 2 0 ossi x 2 oppure x 2. ESEMPIO 3 BIS x L equzione corrispondente non mmette soluzioni reli, in qunto per ogni x rele si h x 2 0 per cui x Quindi ogni x rele soddisf l disequzione, e l insieme delle soluzioni è tutt l rett rele. ESEMPIO 4 BIS x 2 2x Osservndo che x 2 2x + 1 = (x 1) 2 si vede fcilmente che solo x = 1 soddisf l disequzione x 2 2x ATTENZIONE: Definizione di rdice qudrt di un numero positivo. Se α 0 llor α è definito come quel numero β MAGGIORE O UGUALE A ZERO, β 0, tle che β 2 = α. QUINDI LA RADICE QUADRATA DI UN NUMERO MAGGIORE O UGUALE A ZERO È SEMPRE MAGGIORE O UGUALE A ZERO!!! Ad esempio 4 = 2 MENTRE SCRIVERE 4 = ±2 È UN ERRORE!! Invece le soluzioni dell equzione x 2 = 4 sono effettivmente ± 4 = ±2. L confusione potrebbe derivre dl ftto che volte le soluzioni di un equzione di secondo grdo sono dette rdici dell equzione.

6 COME ARRIVARE ALLA SOLUZIONE GENERALE DELL EQUAZIONE x 2 + c = 0 (ossi il cso b = 0, e, come sempre, 0) x 2 + c = 0 x 2 + c c = 0 c x 2 = c 1 x2 = 1 ( c) x2 = c D questi semplici pssggi ottenimo che vnno distinti due csi, second del segno di c i c 0 In questo cso ci sono due soluzioni o più sinteticmente c c x 1 = + x 2 =, c x 1,2 = ±. ATTENZIONE: ovvimente se c = 0 in reltà x 1 = x 2 = 0: in questo sottocso si dice che ci sono due soluzioni coincidenti. ii c < 0 In questo cso non ci sono soluzioni reli, in qunto, qulunque si x rele, x 2 0 e quindi è impossibile che x 2 = c NOTA: Ovvimente stimo prlndo di soluzioni reli, perché se si sercno INVECE soluzioni complesse, ricordndo che il numero immginrio i = 1,, per il qule i 2 = ( i) 2 = 1, potremmo dire che ci sono due soluzioni complesse z 1,2 = ±i COME ARRIVARE ALLA SOLUZIONE GENERALE DELL EQUAZIONE x 2 + bx + c = 0 ( 0) L ide è riuscire riscrivere [ ( x 2 + bx + c = x + b ) ] 2 b2 4c () 2 in modo d trsformre l equzione nell equzione x 2 + bx + c = 0 c. [ ( x + b ) ] 2 b2 4c () 2 = 0 d cui si ottiene (trscurndo il fttore 0) in modo del tutto simile l cso precedente x 2 + bx + c = 0 ( x + b ) 2 = b2 4c () 2 Trlscindo, per or, il motivo per cui vle quest uguglinz, osservimo che vnno distinti due csi, second del segno di b2 4c, ossi di () 2 := b 2 4c ( è un letter miuscol e si legge delt) i b 2 4c () 2 0 := b 2 4c 0 In questo cso ci sono due soluzioni x 1,2 = b ± b 2 4c, ovvero x 1 = b b 2 4c, x 2 = b + b 2 4c, (1) ATTENZIONE: ovvimente se b 2 4c = 0 in reltà x 1 = x 2 == b : in questo sottocso si dice che ci sono due soluzioni coincidenti. ( ) 2 Per l verific di (1) bst osservre che x + b = b 2 4c vle se e solo se () 2 x 1,2 + b = ± b 2 4c () 2, ossi x 1,2 = b ± b 2 4c () 2. Per ottenere l form usule bst notre che ± b 2 4c b () 2 = ± 2 4c = ± b 2 4c se > 0 = b 2 4c se < 0 ± b 2 4c

7 e quindi nel cso in cui < 0, l insieme delle soluzioni rimne lo stesso del cso in cui > 0. IMPORTANTE: Abbimo usto il ftto che, il ftto che per un numero rele α si h che α 2 = α, dove il simbolo α è il suo vlore ssoluto, nche detto il suo modulo, ossi α se α 0 α = α se α < 0 d esempio 3 = 3 mentre 3 = 3. Ricordndo che l rdice qudrt di un numero è sempre mggiore o ugule zero, si vede fcilmente che α 2 = α, Inftti α 2 α se α 0 = α se α < 0 (inftti ( α) 2 = α 2 e α > 0) d esempio 3 2 = 3, e ( 3) 2 = 3 = ( 3) ii b 2 4c () 2 < 0 := b 2 4c < 0 In questo cso non ci sono soluzioni reli, in qunto, per ogni numero y rele, y 2 0 e quindi è impossibile che (x+ b )2 = b2 4c () 2 (< 0). NOTA: Ovvimente stimo prlndo di soluzioni reli, perché se si cercno INVECE soluzioni complesse, ricordndo che il numero immginrio i = 1, potremmo dire che ci sono due soluzioni complesse z 1 = b + i b 2 + 4c = b b + i 2 + 4c = b + i, b 2 + 4c z 2 = b i b 2 + 4c = b + i = b i

8 MOTIVO PER CUI VALE ( ) ] 2 x 2 + bx + c = [ x + b b 2 4c () 2 e quindi, SE = b 2 4c 0 [( ) ] [( ) ] x 2 + bx + c = x + b b 2 4c x + b () 2 + b 2 4c = (x x () 2 1 )(x x 2 ) Inftti, essendo 0, possimo scrivere ( x 2 + bx + c = x 2 + b x + c ) ( = x ) b x + c ggiungendo e sottrendo ( b ) 2 e ricordndo che (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2, si ottiene llor x 2 + bx + c = = [ x b ( b x+ [ ( x + b ) ] ) 2 ( b Arrivti ll precedente espressione, se 0 bst usre l ben not uguglinz α 2 β 2 = (α β)(α + β) ) ] [ 2 ( + c = x + b ) ] 2 b2 4c 4 2 con α = x + b e β = b 2 4c () 2 Si noti che se := b 2 4c 0 llor h senso clcolre b 2 4c () 2.

9 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO x 2 + bx + c 0. Inizimo con il considerre il cso in cui ci sono due soluzioni reli e distinte x 1 e x 2, ossi se b 2 4c 0 come bbimo visto quest condizione ci permette di scrivere x 2 + bx + c = (x x 1 )(x x 2 ). Lo studio del segno di tle espressione si riduce llo studio del segno dei singoli fttori, (x x 1 ) e (x x 2 ), come illustrto nell Figur 4, m, come ccennto in seguito, c è un metodo di rppresentzione che permette di ricordre fcilmente lo studio del segno. Figur 4: Studio del segno di (x x 1 )(x x 2 ) Rissumendo: se = b 2 4c 0 e se > 0 llor (x x 1 )(x x 2 ) 0 se e solo se x x 1 oppure x x 2 ovvero per x (,x 1 ] [x 2,+ ) ed EQUIVALENTEMENTE llor (x x 1 )(x x 2 ) 0 se e solo se x x 1 e x x 2 ovvero per x 1 x x 2 ovvero per x [x 1,x 2 ] se = b 2 4c 0 e se < 0 llor (x x 1 )(x x 2 ) 0 se e solo se x x 1 oppure x x 2 ovvero per x (,x 1 ] [x 2,+ ) ed EQUIVALENTEMENTE llor (x x 1 )(x x 2 ) 0 se e solo se x x 1 e x x 2 ovvero per x 1 x x 2 ovvero per x [x 1,x 2 ] Infine osservimo che se b 2 4c = 0, llor x 1 = x 2 e quindi x 2 + bx + c = (x x 1 ) 2 e il segno dipende solo dl segno di. Anche nel cso in cui non ci sono due soluzioni reli, ossi se = b 2 4c < 0 il segno dipende solo d, inftti, poiché, bbimo visto che x 2 + bx + c = ( ) 2 qundo = b 2 4c < 0, si h che nche x + b b 2 4c > 0. () 2 Quindi rissumendo se = b 2 4c < 0 e se > 0 llor x 2 + bx + c > 0 per ogni x se = b 2 4c < 0 e se < 0 llor x 2 + bx + c < 0 per ogni x [ ( x + b ) ] 2 b2 4c () 2

10 PER CAPIRE BENE E MEMORIZZARE, conviene pensre l grfico dell funzione f (x) = x2 + bx + c, ossi ll insieme (x, y) tli che y = x2 + bx + c}, che e un prbol con l concvit rivolt verso l lto o verso il bsso, second del segno di (come in Figur 5). Figur 5: dll Figur 5.4 del testo di Villni, segno delle prbole

11 DISUGUAGLIANZE IRRAZIONALI (con le rdici qudrte) Sino A(x) e B(x) due espressioni polinomili, un disuguglinz irrzionle è un disuguglinz del tipo TIPO I A(x) B(x) TIPO II ESEMPIO 1: A(x) B(x) 2x 1 x 2 4 che è un disuguglinz irrzionle di tipo I, è equivlente l seguente sistem: x x 1 0 (2x 1) 2 x 2 4 INFATTI: Per inizire bisogn ssicurrsi che l espressione x 2 4 bbi senso, ossi che x Si noti che, per x = 1, si h x 2 4 = = 3 e NON HA SENSO scrivere 3. Poi, tenendo conto che x e che 2x 1 x 2 4, bisogn richiedere che l espressione 2x 1 0. Si noti che, per x = 3, si h x 2 4 = ( 3) 2 4 = 5 e 2x 1 = 7, m NON VALE 7 5, mentre vle ( 7) 2 5 2, ossi 49 25!!! Infine, tenendo conto del ftto che x 2 4 0, x e 2x 1 0, l disequzione 2x 1 x 2 4 è equivlente richiedere che (2x 1) 2 ( x 2 4 ) 2, ossi (2x 1) 2 x 2 4. Quindi per risolvere l disequzione rzionle v risolto il seguente sistem: che è equivlente x 2 oppure x 2 2x 1 x 2 4 x x 1 0 (2x 1) 2 x 2 4 x 1 2 4x 2 4x + 1 x 2 4 3x 2 4x che vle per ogni x, in qunto = = 4(4 15) < 0 e quindi l soluzione di 2x 1 x 2 4 è: per ogni x 2 Ricpitolndo: un disuguglinz del tipo I A(x) B(x) equivle l sistem di disuguglinze B(x) 0 A(x) 0 ( ) 2 A(x) B(x)

12 Pssimo or invece d un esempio di disuguglinz irrzionle di tipo II 2x 1 x 2 4 Quest disuguglinz è equivlente i seguenti sistemi: x x 1 0 oppure x x 1 0 (2x 1) 2 x 2 4 l soluzione dell disequzione è dt dll unione delle soluzioni dei due sistemi. INFATTI: Per inizire bisogn ssicurrsi che l espressione x 2 4 bbi senso, ossi che x COME PRIMA: Si noti che, per x = 1, si h x 2 4 = = 3 e NON HA SENSO scrivere 3. Poi, vnno distinti i csi in cui l espressione 2x 1 0 e il cso in cui 2x 1 > 0: qundo 2x 1 0 bst richiedere che x e bbimo finito, Si noti che ogni numero negtivo o nullo è minore o ugule un rdice qudrt in qunto un rdice qudrt è sempre positiv o null: d esempio 3 5 qundo 2x 1 > 0 tenendo conto del ftto che x 2 4 0, x e 2x 1 > 0, l disequzione 2x 1 x 2 4 è equivlente richiedere che (2x 1) 2 ( x 2 4 ) 2, ossi (2x 1) 2 x 2 4. Quindi per risolvere l disequzione irrzionle 2x 1 x 2 4 vnno risolti i seguenti sistemi: primo sistem x x 1 0 che è equivlente x 2 oppure x 2 x 1 2 l cui soluzione è: x tli che x 2}; ovvero x 2 ovvero x (, 2] secondo sistem x x 1 0 (2x 1) 2 x 2 4 che è equivlente x 2 oppure x 2 x 1 2 4x 2 4x + 1 x 2 4 3x 2 4x che non vle mi, in qunto = < 0 e quindi 2x 1 x 2 4 è soddisftt per x (,2] /0 = x (,2]. Ricpitolndo: risolvere un disuguglinz del tipo II A(x) B(x) equivle risolvere il problem dto d due sistemi di disuguglinze: B(x) 0 B(x) 0 oppure A(x) 0 A(x) 0 ( ) 2 A(x) B(x) l soluzione dell disequzione è dt dll unione delle soluzioni dei due sistemi. OSSERVAZIONE 1: v notto che i vlori di x per i quli A(x) = B(x) = 0 soddisfno si il primo sistem che il secondo sistem. Non è molto elegnte, m non è sbglito. OSSERVAZIONE 2: v notto che l condizione B(x) 0 nel secondo sistem è sovrbbondnte, in qunto utomticmente soddisftt se vle nche ( A(x) ) 2 B(x) in qunto 0 ( A(x) ) 2 B(x): è poco elegnte, m è bene ricordre subito che l rdice qudrt h senso solo per numeri mggiori o uguli zero.

13 Bisogn poi stre ttenti l cso delle disuguglinze strette, d esempio A(x) < B(x) equivle risolvere il problem dto d due sistemi di disuguglinze: B(x) 0 B(x) 0 oppure A(x) 0 A(x) < 0 ( ) 2 A(x) < B(x) l soluzione dell disequzione è dt dll unione delle soluzioni dei due sistemi. ESEMPIO 2 vle se e solo se x x 1 0 x 1 x 2 1 oppure ( ) Il primo sistem è soddisftto per x (, 1] [1,+ ) x 1 oppure x 1 Il secondo sistem è equivlente x 1 x 2 2x + 1 x 2 1 x x 1 0 ( ) 2 x 1 x 2 1 (,1] ossi per x (, 1] 1}. che su volt equivle e che soddisftto per x 1. L soluzione è quindi: l disequzione irrzionle x 1 x 2 1 è soddiftt per x (, 1] [1,+ ). x 1 2x 2 ESEMPIO 2 BIS vle se e solo se x x 1 < 0 x 1 < x 2 1 oppure ( ) Il primo sistem è soddisftto per x (, 1] [1,+ ) x 1 oppure x 1 Il secondo sistem è equivlente x 1 x 2 2x + 1 < x 2 1 x x 1 0 ( ) 2 x 1 < x 2 1 (,1) ossi per x (, 1]. che su volt equivle x 1 e che soddisftto per x > 1. L soluzione è quindi: l disequzione irrzionle x 1 < x 2 1 è soddiftt per x (, 1] (1,+ ). 2x < 2 DISUGUAGLIANZE IRRAZIONALI (con le rdici cubiche) Sino A(x) e B(x) due espressioni polinomili, un disuguglinz irrzionle (con rdici cubiche) è un disuguglinz del tipo TIPO I A(x) 3 B(x) TIPO II A(x) 3 B(x) Qui l trttzione è più semplice: inftti l rdice cubic di un numero h sempre senso, si per numeri positivi che negtivi, quindi semplicemente i due problemi sono equivlenti TIPO I TIPO II A(x) 3 B(x) A(x) 3 B(x) Le considerzioni ftte si generlizzno fcilmente l cso di rdici n sime distinguendo tr n pri, che si trttno in modo del tutto simile l cso delle rdici qudrte, ed n dispri, che si trttno in modo del tutto simile l cso delle rdici cubiche.