Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche.

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1 Lezione Prerequisiti: Lezioni 8,. Risoluzione delle equzioni lgebriche. Si F un cmpo, e si K un chiusur lgebric di F. Si f ( ) F[ ] non costnte. Studimo i metodi di risoluzione per l equzione f ( ) = 0, qundo il grdo di f () è bsso. Si = ( f ). Equzioni qudrtiche Supponimo che F bbi crtteristic divers d. Si Allor, dett un rdice qudrt di = b c, le rdici di f () f ( ) = b c, con, b, c F, 0. in K sono b b α =, α =. Segue che: - f () h due rdici distinte in F, se 0 e h un rdice qudrt in F; - f () h un rdice doppi in F, se = 0 ; - f () h due rdici distinte in K \ F, se non h rdici qudrte in F. Osservzione. Le formule risolutive riportte sopr non si pplicno l cso di crtteristic, in cui l elemento non è invertibile. Per semplicità, nel seguito, per ogni α F α in K., con il simbolo α indicheremo un rdice qudrt di Equzioni cubiche Si f ( ) p q, con p, q F. Illustrimo il metodo sviluppto d Nicolò Trtgli (- 55) e Girolmo Crdno (50-56) nel Cinquecento per ricvre un formul risolutiv generle che esprime le rdici di f () (nturlmente, il metodo di Crdno si riferiv polinomi coefficienti reli). Noi supporremo che l crtteristic di F si divers d e d. Effettuimo, nzitutto, un sostituzione formle ponendo = u v. Si h = f ( u v) = ( u v) p( u v) q = u v (uv p)( u v) q. A questo punto, possimo trovre le rdici di f () imponendo uv p = 0 u v q = 0. ()

2 p Dll prim equzione ricvimo v = che, sostituito nell second equzione, ci fornisce u Abbimo ottenuto un equzione qudrtic in 6 u qu p = 0. u. Ponendo y qy p = 0, y = u, l equzione divent che equivle le cui soluzioni sono p y qy = 0, () q q p q q p β =, β =. Si osservi che, in bse ll Esempio 8.0 b), i rdicndi sono uguli. Quindi le soluzioni cercte per u sono le rdici cubiche di β in K. Indicte con β, β rdici cubiche di β in K, e con ω un rdice primitiv cubic di in K, i vlori risultnti per u sono ω ω ω ω β. Si osservi che risolvere le () rispetto u oppure v fornisce l stess equzione (). Per motivi di simmetri possimo quindi ttribuire i primi tre vlori d u ed i secondi tre vlori v. Tenimo or conto dell prim delle (): supponimo di ver scelto le rdici cubiche in modo che p β β =. Allor le coppie di vlori di u e v che verificno l stess uguglinz sono {( β ),( ω ω β ), ( ω ω ) } ( u, v). β Quindi le rdici di f () sono (formule di Trtgli-Crdno): = β β, α = ω β ω β, α = ω β ω β α Esempio. Nell Esempio.8 vevmo considerto il polinomio f ( ) = Q[ ], il cui gruppo di Glois su Q è isomorfo d A. Utilizzimo le formule ppen trovte per determinre le sue rdici in C. Risolvimo prim l equzione qudrtic usiliri y y = 0 ()

3 Si h β = i, β = i, che riconoscimo come le rdici cubiche primitive dell unità che sono rdici complesse coniugte. Quindi porremo πi = e, πi ω = β ω = β = e, πi 6πi β e, β e = =, che sono ncor complesse coniugte, così come lo sono π i i 8 i i 6 i 0 i π π π π π = = e = e, = = e = e ω β β β ω β β β e π i i i i 6 i i π π π π π = = e = e, = = e = e ω β β β ω β β β Ottenimo llor le seguenti rdici di f () : π α = β β = cos( ) 8π α = ω β ω β = cos( ) π α = ω β ω β = cos( ) Gurdndo l form delle tre rdici di f () possimo giustificre il ftto che il gruppo di Glois si isomorfo d A () =, e quindi consent solo rotzioni tr le rdici. È chiro, inftti, che l unic simmetri che sussiste tr le rdici è quell che port dll prim ll second, dll second ll π terz e dll terz ll prim sommndo ll rgomento del coseno. Osservzione. Nell Osservzione 8. vevmo descritto il ruolo del discriminnte nell clssificzione delle rdici di un polinomio cubico rele. Il risultto ottenuto nell Esempio. è in pieno ccordo con il cso : f () h tre rdici reli distinte e = 8 > 0. Not storic Il polinomio dell Esempio. h tre rdici reli, m, per trovrle, bbimo dovuto fr ricorso i numeri complessi: inftti il discriminnte dell equzione qudrtic usiliri () è negtivo, e quindi bbimo dovuto estrrre l rdice qudrt d un numero negtivo. L esigenz di effetture quest operzione formle per pplicre le formule di Trtgli-Crdno h spinto, nell second metà del Cinquecento, il mtemtico bolognese Rfel Bombelli d inventre l unità immginri.

4 Equzioni qurtiche Dimo un procedimento risolutivo ispirto quello sviluppto, nel Cinquecento, d Ludovico Ferrri (5-565). Supporremo che l crtteristic di F si divers d e d. Si f ( ) = b c d,, b, c, d F. Dobbimo risolvere l equzione b c d = 0. Seprimo i termini = b c d e completimo il qudrto primo membro: ( ) = ( b) c d. Quindi sommimo su entrmbi i membri un espressione polinomile in y che trsform il primo membro in un ltro qudrto perfetto: ( ) y( ) y = ( b y) ( y c) y d Riscrivimo l equzione in un form più comptt: ( y ) = A B C. () L () divent fcilmente risolubile se l espressione secondo membro è un qudrto perfetto. Ciò vviene se e solo se B AC = 0. Quest ultim è un equzione nell incognit y: y by ( c d ) y bd d c = 0. (5) Il primo membro è il risolvente di f () introdotto nell Lezione. Supponimo di ver risolto l (5) medinte le formule di Trtgli-Crdno. Sostituimo le soluzioni β, β, β trovte l posto di y in (); ottenimo così equzioni dell form ( βi ) = ( e ) f. Ognun di esse si decompone nelle due equzioni qudrtiche β i βi = e f, = ( e f ). (6) Le soluzioni di queste sono le rdici di f ( ) = 0.

5 Esempio. Il polinomio f ( ) = 6 dell Esempio.8 b) h in C le seguenti rdici: α = i, α = i, α = i, α = i. Not Le soluzioni ottenute dl progrmm Mthemtic ppiono così: È evidente che si trtt di soluzioni di equzioni qudrtiche (le (6)), scritte utilizzndo l not formul con il discriminnte: l inconveniente è, però, che tli equzioni hnno coefficienti complessi non reli. Ciò spieg l presenz dell unità immginri sotto il segno di rdice qudrt. È possibile ricvre formule che esprimono le soluzioni dell'equzione qudrtic in termini delle rdici β, β, β del polinomio risolvente r (). Queste sono legte lle rdici α, α, α, α del polinomio f () dlle seguenti relzioni, viste nell Lezione, che riscrivimo, permutndo gli indici: Si ricv, dll prim, β = α α α α β = α α α α β = α α α α e, dll second, β = ( α α = α α α α α α α α, α α α α) Pertnto β = ( α α = α α α α α α α α. α α α α) β = ( α α ) ( α α ) β. Assumendo, meno di un cmbio linere di indetermint, che si = 0, si ricv che α α = ( β ). β Si ricvno, in mnier nlog, ltre simili rppresentzioni per le restnti somme α α. Se ne deducono le seguenti formule esplicite per le rdici: i j

6 ( ( ) ( ) ( ) ) α = β β β β β β α = β β β β β β α = β β β β β β α = β β β β β β ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) **Not Usulmente si ttribuisce il nome di formule di Ferrri d espressioni esplicite per le soluzioni di un equzione di qurto grdo che, però, sono bste su un metodo risolutivo lievemente diverso: viene utilizzto un ltro risolvente di grdo. Per i dettgli si può consultre [DF], pgg.65 e seguenti, oppure [G], 5..g.