equazioni e disequazioni

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1 T Cpitolo equzioni e disequzioni Disequzioni e princìpi di equivlenz Le disuguglinze sono enunciti fr espressioni che confrontimo medinte le seguenti relzioni d ordine: (minore), (mggiore), # (minore o ugule), $ (mggiore o ugule). Per : 5, $ b. Listen to it An inequlity is reltion tht compres two epressions, one greter thn the other. If the epressions contin unknown quntities, we solve the inequlity by finding the vlues for which the inequlity holds. definizione Un disequzione è un disuguglinz in cui compiono espressioni letterli per le quli cerchimo i vlori di un o più lettere che rendono l disuguglinz ver. Le lettere per le quli si cercno vlori sono le incognite. I vlori delle incognite che rendono ver l disuguglinz sono le soluzioni dell disequzione. Ci occuperemo, per il momento, di disequzioni un sol incognit e cercheremo di determinre l insieme delle soluzioni S nell insieme R dei numeri reli. L disequzione 5-0 h come insieme delle soluzioni S = $! R 5., che indichimo, per brevità, con 5. Se un disequzione è scritt nell form normle P() 0, con P() polinomio nell incognit ridotto in form normle, il grdo dell disequzione è il grdo di P(). Anlog definizione si h per le disequzioni con, #, $. Un disequzione è numeric se nell equzione non compiono ltre lettere oltre ll incognit. È letterle se invece contiene ltre lettere, che possono nche essere chimte prmetri. Un disequzione è inter se l incognit compre soltnto nei numertori delle eventuli frzioni presenti nell disequzione. Se invece l incognit è contenut nel denomintore di qulche frzione, llor l disequzione è frtt.

2 Prgrfo. Disequzioni e princ pi di equivlenz T L disequzione 5 5! 0 "! è frtt e h senso solo qundo perché non possono esistere frzioni con denomintore nullo. Dicimo nche che l su condizione di esistenz è! - 5. definizione Le condizioni di esistenz di un disequzione sono le condizioni che le vribili devono soddisfre ffinché tutte le espressioni scritte bbino significto. Le indichimo con C.E. Intervlli Esercizi p. 4 Spesso gli insiemi delle soluzioni delle disequzioni che studieremo sono prticolri sottoinsiemi di R chimti intervlli. definizione Dti due numeri reli e b, con b, chimimo intervllo limitto l insieme dei numeri reli compresi fr e b. Dto un numero rele, chimimo intervllo illimitto l insieme dei numeri reli che precedono, oppure l insieme dei numeri reli che seguono. Un intervllo è chiuso qundo include i propri estremi, in cso contrrio è perto. Distinguimo i seguenti csi, dove rppresentimo gli intervlli in tre modi diversi: con le disuguglinze, medinte prentesi qudre o con un rppresentzione grfic. Intervlli limitti Intervlli illimitti < < b. Intervllo perto ]; b[. b >. Intervllo perto illimitto superiormente ]; [. b b. Intervllo chiuso [; b]. b < b. Intervllo perto illimitto inferiormente ] ; [. < b b c. Intervllo perto destr [; b[. < b b d. Intervllo perto sinistr ]; b]. c. Intervllo chiuso illimitto superiormente [; [. d. Intervllo chiuso illimitto inferiormente ] ; ].

3 T Cpitolo. Equzioni e disequzioni. ; 7 7 ; E, ossi # #, è un intervllo limitto chiuso; è l estremo in- 5 5 feriore, 7 l estremo superiore. 5 7 Ñ ;56, ossi 5, è un intervllo perto illimitto inferiormente. Ð 5 Disequzioni equivlenti Esercizi p. 5 definizione Due disequzioni sono equivlenti se hnno lo stesso insieme di soluzioni. - 0 e - sono disequzioni equivlenti perché hnno per soluzioni i vlori dell intervllo. I membri di un disequzione sono le due espressioni che si trovno sinistr (primo membro) e destr (secondo membro) del segno di disuguglinz. Per l equivlenz tr disequzioni vlgono i seguenti princìpi.. L disequzione è equivlente ll disequzione 6 0? b è equivlente 4? Primo principio di equivlenz Dt un disequzione, si ottiene un disequzione ess equivlente ggiungendo entrmbi i membri uno stesso numero o espressione. L disequzione - è equivlente ll disequzione - - 0, ottenut sommndo - entrmbi i membri. Nell precedente, dopo l ppliczione del primo principio, il termine scompre dl secondo membro e compre l primo con il segno cmbito. Per questo, possimo dire che un termine può essere trsportto d un membro ll ltro dell disequzione cmbindogli il segno. Secondo principio di equivlenz Dt un disequzione, si ottiene un disequzione ess equivlente: moltiplicndo o dividendo entrmbi i membri per uno stesso numero (o espressione) positivo. moltiplicndo o dividendo entrmbi i membri per un numero (o espressione) negtivo e cmbindo il verso dell disuguglinz. In prticolre, se si cmbi il segno di tutti i termini di un disequzione e si inverte il verso dell disuguglinz, si ottiene un disequzione equivlente. Quest operzione equivle moltiplicre per - i due membri dell disequzione e invertire il verso dell disuguglinz. 4

4 Prgrfo. Disequzioni di primo grdo T 5. L disequzione è equivlente ll disequzione 5. L second si ottiene dll prim moltiplicndo entrmbi i membri per è equivlente 9. L second disequzione si ottiene dll prim moltiplicndo entrmbi i membri per - (ovvero cmbindo il segno di tutti i termini) e invertendo il verso dell disuguglinz.. L disequzione ^- h è equivlente ll disequzione? - b è equivlente 0? Disequzioni di primo grdo Le disequzioni intere di primo grdo possono sempre essere scritte in un delle seguenti forme, dopo ver opportunmente pplicto i princìpi di equivlenz: b, $ b, b, # b, con, b! R. Risolvendo b, ottenimo, second dei vlori di : se 0, b ; se b 0, S = Q; se = 0, 0 $ b se b = 0, S = Q; se b 0, S = R ; se 0, b. Un rgionmento nlogo vle nche per le ltre tre disequzioni. Risolvimo un disequzione numeric inter, pplicndo i princìpi di equivlenz: # " - # - " - #- " $. Un di disequzione letterle è - $. Per risolverl occorre discutere le sue soluzioni l vrire di. se 0, $ - $ " $ se = 0, 0 $ " impossibile se 0, # Discutere le soluzioni di un disequzione letterle permette di ottenere le soluzioni di infinite disequzioni numeriche, quelle che si hnno sostituendo nell disequzione dt vlori prticolri ll letter (o lle lettere). Studio del segno di un prodotto Esercizi p. 5 Considerimo l disequzione costituit d un prodotto di binomi di primo grdo messo confronto con il numero 0: ( - )( )( 4) 0. Per risolverl studimo il segno di ogni fttore e poi deducimo quello del prodotto l vrire di. Animzione Nell nimzione, scomponendo in fttori e pplicndo lo stesso metodo, risolvimo nche: - 4 # 0. 5

5 T Cpitolo. Equzioni e disequzioni Risolvi l disequzione ^4- h^ h # " 0 " " - 4 Rppresentimo i risultti in uno schem grfico in cui indichimo i 0 segni dei fttori nei diversi intervlli e il segno del prodotto, ottenuto con l regol dei segni. Evidenzimo in gillo gli intervlli in cui l disequzione è verifict, cioè quelli 4 ( ) ( ) ( 4) 0 in cui il prodotto risult essere positivo. L insieme delle soluzioni è: Disequzioni di secondo grdo Segno di un trinomio di secondo grdo Esercizi p. 8 Per studire il segno di un trinomio di secondo grdo b c, con! 0, possimo considerre l funzione y = b c e utilizzre il suo grfico, che è un prbol. Studimo il segno del trinomio di secondo grdo - 7. L funzione y = - 7 h per grfico un prbol che h l concvità y rivolt verso l lto e intersec l sse nei punti di sciss e, perché: Ð y > 0 y < " ! 5 - = D = - = 0, = " =, =. 4 Per, i punti del grfico hnno ordint negtiv; per o, hnno ordint positiv. Per lo studio del segno non servono ltre informzioni reltive ll prbol, quindi possimo utilizzre lo schem semplificto dell figur sotto e concludere che - 7 è: negtivo se nullo se ; = 0 = ; positivo se 0. Rissumimo nell tbell le possibili posizioni di un prbol di equzione y = bc c rispetto ll sse. e sono le rdici dell equzione ssocit b c = 0, cioè i vlori per i quli il trinomio è nullo. I segni e - indicno dove l prbol è sopr o sotto l sse, e quindi nche dove il trinomio è positivo o negtivo. 6

6 Prgrfo. Disequzioni di secondo grdo T D 0 D = 0 D 0 0 = 0 Ð Ð Ð Ð = Chimimo intervllo delle rdici l intervllo dei vlori compresi fr e. Osservimo i grfici nell prim colonn dell tbell precedente, che si riferiscono l cso D 0. Per vlori di esterni ll intervllo delle rdici: se 0, cioè h segno, nche il trinomio h segno ; se 0, cioè h segno -, nche il trinomio h segno -; quindi il trinomio ssume sempre segno concorde con quello del primo coefficiente per vlori esterni ll intervllo delle rdici. Rgionndo in modo nlogo, ottenimo che, con D 0, il trinomio ssume segno discorde d quello di per vlori di interni ll intervllo delle rdici. Quindi, per formulre un regol che vlg si per 0 si per 0, bst confrontre il segno del trinomio con quello di per i vlori interni o esterni ll intervllo delle rdici. Procedendo nello stesso modo nche nei csi D = 0 e D 0, ottenimo il seguente schem, che possimo utilizzre nche senz trccire il grfico dell prbol. confronto dei segni di b c e di : Segno di un trinomio di secondo grdo Qundo l equzione ssocit l trinomio b c, con! 0, h: D 0, il trinomio e il coefficiente hnno segno concorde per vlori di esterni ll intervllo delle rdici; segni discordi per vlori di interni ll intervllo delle rdici; D = 0, il trinomio e il coefficiente hnno segno concorde per tutti i vlori di diversi dll rdice dell equzione; D 0, il trinomio e il coefficiente hnno segno concorde per ogni vlore rele di. Fccimo lcuni esempi. > 0 = 0 < 0 segno concorde segno discorde segno concorde = segno concorde. Il trinomio - - h equzione ssocit - - = 0, con D 0 e =-, =. Segno del trinomio Ð segno di Ð 7

7 T Cpitolo. Equzioni e disequzioni b. Il trinomio 9-6 h equzione ssocit 9-6 = 0, con D = 0 e = =. Segno del trinomio ÐÐ segno di c. Il trinomio h equzione ssocit = 0, con D 0 e nessu- n rdice rele. Segno del trinomio Ð Ð Studio lgebrico del segno segno di Animzione L regol che bbimo ottenuto medinte interpretzione grfic, osservndo le crtteristiche dell prbol, può nche essere dimostrt con lo studio lgebrico del segno, come proponimo nell nimzione. Listen to it To solve qudrtic inequlity, just sketch some bsic fetures of the grph of the ssocited qudrtic function, s shown in the figures. > 0 Risoluzione di un disequzione di secondo grdo Esercizi p. 9 L regol dello studio del segno di un trinomio di secondo grdo è utile per risolvere un disequzione di secondo grdo. Possimo seguire questo procedimento: portimo l disequzione nell form normle b c 0 nloghe con $,, #), dove per comodità sceglimo di vere 0; (o in quelle risolvimo l equzione ssocit, determinndo il segno del discriminnte e le rdici, qundo esistono; pplichimo l regol dello studio del segno, individundo l intervllo o gli intervlli in cui il trinomio è o positivo o negtivo, second dell richiest dell disequzione. Abbimo scelto di portre sempre l disequzione nell form con 0 perché, in questo modo, nell risoluzione, per studire il segno del trinomio possimo utilizzre solo prbole con l concvità rivolt verso l lto. Esminimo lcuni esempi. Nelle nimzioni puoi vedere il segno dei trinomi in modo dinmico.. Animzione D 0 Risolvimo l disequzione L equzione ssocit è - - = 0, con D = 5 0; le sue rdici sono: = - ; =. Il trinomio h segno concorde con il coefficiente di per vlori esterni ll intervllo :- ; D, h segno discorde per vlori interni. L disequzione chiede che il trinomio si negtivo, quindi le soluzioni sono: -. 8

8 Prgrfo 4. Disequzioni di grdo superiore l secondo T. Animzione D = 0 Risolvimo l disequzione L equzione ssocit = 0 h D = 0, con due soluzioni coincidenti: = =. Il trinomio h segno concorde con il coefficiente di per qulunque vlore diverso d. L disequzione chiede che il trinomio si positivo, quindi le soluzioni sono:!.. Animzione D 0 Risolvimo l disequzione - 0. L equzione ssocit - = 0 h D 0. Il trinomio h segno concorde con il coefficiente di per qulsisi vlore di. L disequzione chiede che il trinomio si negtivo, quindi non è mi verifict. Disequzioni di grdo superiore l secondo Disequzioni risolvibili con scomposizioni in fttori Esercizi p. 5 = 0 < 0 Risolvi le seguenti disequzioni: ; b. - 8 $ 0; c Dto un polinomio P() di grdo mggiore di, le disequzioni del tipo P() 0 o P() 0 sono di grdo superiore l secondo e possono essere risolte scomponendo in fttori di primo e secondo grdo il polinomio P() e studindo il segno del prodotto di polinomi che si ottiene. Animzione Risolvimo l disequzione Scomponimo in fttori medinte l regol di Ruffini. Se sostituimo nel polinomio i divisori del termine noto 6, scoprimo che è uno zero del polinomio, che è quindi divisibile per ( - ). Applichimo l regol di Ruffini: = ( - )( - - 6). L disequzione inizile è equivlente : ( - )( - - 6) 0. Esminimo il segno dei polinomi fttori e del prodotto: - 0 " ; " - 0. Risolvi l disequzione -6-8 # Dl qudro dell figur ricvimo che l disequzione è verifict per ( ) ( 6)