Modulo o "valore assoluto" Proprietà del Valore Assoluto. Intervalli

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1 Modulo o "vlore ssoluto" Dto x definimo modulo o vlore ssoluto di x il numero rele positivo x se x 0 x = x se x < 0 Es. 5 è è 2.34 Dl punto di vist geometrico x rppresent l distnz di x d 0. x x x 0 x Anlogmente, x, y, vle x y = y x e x y rppresent l distnz tr x e y. N.B. Un distnz è sempre un numero rele positivo. r = r r = r r 0 r 3. I r punti = rx che soddisfno l disequzione x r sono tutti e soli i punti r = x r : r x r, ovvero tutti i punti che distno d zero r o meno di r. r 0 r 4. I r punti = rx che soddisfno l disequzione x r sono tutti e soli i punti r = x r : x r oppure x r, ovvero tutti i punti che distno d zero r o piú di r. r 0 r I numeri reli - Ordinmento in Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.1/20 I numeri reli - Ordinmento in Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.3/20 Proprietà del Vlore Assoluto x, y, vle l relzione: x + y x + y (disuguglinz tringolre) Es. x = 8, y = 13. x + y = 8 13 = 5 = 5, x = 8 = 8, y = 13 = 13 x + y x + y in questo cso è L equzione x = r, con r ssegnto, h due soluzioni: x 1 = r frg replcements e x 2 = r r = r r = r Intervlli Def. Sino, :. Chimimo intervllo chiuso di estremi e l insieme [, ] = {x x }. Se <, chimimo intervllo perto di estremi e l insieme (, ) = {x < x < }. x 2 = r 0 x 1 = r (, ) si può scrivere nche ], [. Es. Le soluzioni dell eqz. x = 2 sono x 1,2 = ± 2. intervllo semi-perto destr: [, ) = {x x < }. I numeri reli - Ordinmento in Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.2/20 I numeri reli - Ordinmento in Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.4/20

2 intervllo semi-perto sinistr: (, ] = {x < x }. Intervlli definiti d un sol disuguglinz: [, + ) = {x x}, (, + ) = {x < x} oppure (, ] = {x x }, (, ) = {x x < }, dove i simoli e + non indicno numeri reli, permettono di estendere l ordinmento dei reli, ttrverso l convenzione che x, < x < +. Si definisce l ett estes = {, + } = [, + ] In generle: un intervllo si dice chiuso se include i suoi estremi, perto se esclude i suoi estremi. Def. I punti dell intervllo che non sono estremi dell intervllo sono detti punti interni. A Def. Si A. Dicimo che A è inferiormente limitto se esiste un numero rele tle che: x, x A. Ogni che soddisf tle relzione è detto un minornte di A. Es. A = [ 1, 1) {2}. Qulunque 1 è minornte di A. A è superiormente e inferiormente limitto. Es. A = (, 1). A è superiormente limitto, m non inferiormente limitto: tutti i numeri reli x 1 sono mggiornti di A, mentre non esistono minornti di A. I numeri reli - Ordinmento in Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.5/20 I numeri reli - Ordinmento in Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.7/20 plcements Insiemi limitti A Def. Si A. Dicimo che A è superiormente limitto se esiste un plcements numero rele tle che: 2 x, x A. Ogni che soddisf tle relzione è detto un mggiornte di A. Es. A = {x 1 x < 1}. = 1, = 10, = 1000 sono mggiornti di A. Qulunque 1 è mggiornte di A. 1 A 1 5 Es. N è inferiormente limitto, m non superiormente. Qulunque 0 è un minornte di N, m: non esiste mggiornte di N. Proprietà di Archimede Def. Si dice che A è limitto se è contempornemente superiormente e inferiormente limitto. L intervllo [ 5, π) è limitto. I suoi minornti sono tutti i numeri reli x 5, i suoi mggiornti sono tutti i numeri reli x π Es. A = [ 1, 1) {2}. Tutti i 2 sono mggiornti di A, = 1.6 non è mggiornte di A. I numeri reli - Ordinmento in Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.6/20 I numeri reli - Ordinmento in Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.8/20

3 Mssimo e minimo di un insieme Def. Dicimo che un insieme A mmette mssimo se esiste un elemento x M A tle che x x M x A. L elemento x M viene chimto mssimo dell insieme A e si indic con x M = mx A. Oss. Un insieme che mmette mssimo è nche superiormente limitto e x M = mx A è un mggiornte di A. Proprietà: Se un insieme A h mssimo, llor mx A è il piú piccolo dei mggiornti di A. Es. A = ( 5, 2]. mx A = 2 e ogni x 2 è mggiornte di A. Oss. Un insieme che è superiormente limitto non è detto che i mssimo: Es. A = ( 5, 2). x M A mggiore o ugule di tutti gli elementi di A. N.B. x = 2 A. Es. A = {x Q x 2 2 < 0}. A è limitto in, m non h mssimo e minimo. Inftti si può nche scrivere A = {x Q 2 < x < 2}. I mggiornti di A sono tutti i numeri reli x 2. I minornti di A sono tutti i numeri reli x 2, m ± 2 Q e quindi ± 2 A. N.B. L scrittur ( 2, 2) è equivlente {x 2 < x < 2} e non {x Q 2 < x < 2}. Es. A = {x x 2 2 0} = {x 2 x 2}. A è limitto in ed h mssimo e minimo. Inftti, stvolt ± 2 A. I numeri reli - Ordinmento in Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.9/20 I numeri reli - Ordinmento in Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.11/20 Def. Dicimo che un insieme A mmette minimo se esiste un elemento x m A tle che x m x x A. L elemento x m viene chimto minimo dell insieme A e si indic con x m = min A. Oss. Un insieme che mmette minimo è nche inferiormente limitto e x m = min A è un minornte di A. Proprietà: Se un insiem A mmette minimo, llor min A è il piú grnde dei minornti di A. Es. A = [ 5, 2). min A = 5 e ogni x 5 è minornte di A. Oss. Un insieme che è inferiormente limitto non è detto che i minimo: Es. A = ( 5, 2). x m A minore o ugule di tutti gli elementi di A. N.B. x = 5 A. Teorem. Mssimo e minimo, se esistono, sono unici. Estremi inferiore e superiore Def. Si A superiormente limitto. Chimimo estremo superiore di A il più piccolo dei mggiornti di A e lo denotimo con sup A. Si A inferiormente limitto. Chimimo estremo inferiore di A il più grnde dei minornti di A e lo denotimo con inf A. Oss. Se un insieme h mssimo, llor tle numero è nche estremo superiore. Il vicevers non è vero. Se un insieme h minimo, llor tle numero è nche estremo inferiore. Il vicevers non è vero. Es. A = ( 2, 2], mx A = 2 = sup A, inf A = 2. I numeri reli - Ordinmento in Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.10/20 I numeri reli - Ordinmento in Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.12/20

4 Crtterizzzione mtemtic del sup Il sup A è crtterizzto dlle seguenti due condizioni: 1) x A, x sup A (ovvero sup A è un mggiornte di A) 2) r, r < sup A, x A x > r. (ovvero sup A è il piú piccolo dei mggiornti di A, perché un qulsisi ltro numero rele r minore di sup A non è piú mggiornte di A) frg replcements x Proprietà. Se esistono inf e sup di un insieme, questi sono unici. Se un insieme non è superiormente limitto, dicimo che sup A = + Se un insieme non è inferiormente limitto, dicimo che inf A = r sup A I numeri reli - Ordinmento in Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.13/20 I numeri reli - Ordinmento in Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.15/20 Crtterizzzione mtemtic dell inf Stvmo nlizzndo le proprietà di L inf A è crtterizzto dlle seguenti due condizioni: 1) x A, x inf A (ovvero inf A è un minornte di A) 2) r, r > inf A, x A x < r. (ovvero inf A è il piú grnde dei minornti di A, perché un qulsisi frg replcements ltro numero rele r mggiore di inf A non è piú minornte di A) x 1. Le operzioni di Q si estendono 2. Su c e un ordinmento totle: intervlli perti e chiusi, insiemi superiormente ed inferiormente limitti, mggiornti e minornti, mssimo e minimo, sup e inf. 3. I numeri rzionli sono densi tr i numeri reli, ovvero tr due numeri reli qulsisi, esistono infiniti numeri rzionli. sup A infa r 4. L insieme dei numeri reli è completo: geometricmente vuol dire che ogni punto dell rett è ssocito d un unico numero rele. Quest proprietà permette di risolvere equzioni come x 2 2 = 0 che non hnno soluzione in Q. I numeri reli - Ordinmento in Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.14/20 I numeri reli Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.16/20

5 3. Q è denso in ovvero: Tr due numeri reli qulsisi esistono infiniti numeri rzionli Es. Considerimo i numeri reli π = x = I numeri sono tutti rzionli (hnno rppresentzione decimle finit), m nche , , ,..., sono tutti rzionli, ecc. s Geometricmente, l completezz signific che ovunque io tgli in due l rett rele, il punto di confine s tr le due semirette rppresent un (!) numero rele. L rett è un continuo di punti. Al contrrio Q non è rppresentile con un rett, perchè è un sottoinsieme discreto dell rett. = Q ( \ Q) reli = rzionli irrzionli Si Q che ( \ Q) sono densi in. L Assiom di completezz di implic che: "Ogni sottoinsieme di superiormente (risp. inferiormente) limitto mmette in estremo superiore (risp. inferiore)". Fine di. I numeri reli - Q è denso in Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.17/20 I numeri reli - L completezz di Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.19/20 4. L completezz di L insieme dei numeri reli è completo ovvero verific l seguente proprietà dett Assiom di completezz o Assiom di Dedekind. Sino, due clssi contigue, ovvero due sottoinsiemi disgiunti di ( = ) tli che = e tli che ogni elemento di si minore o ugule di ogni elemento di. frg replcements Allor!s : s x 1 s x 2 x 1, x 2. Def. s viene detto elemento seprtore delle clssi. I numeri reli - L completezz di Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.18/20 iferimento iliogrfico: C. Cnuto, A. Tcco: Anlisi Mtemtic 1, second edizione. Cpitolo 1, pg ; Esercizi: pg Esercizio: Individure le proprietà dei seguenti intervlli (perto, chiuso, semi-perto destr o sinistr, limitto); individure inf e sup e, qulor esistno, nche min e mx. ( 5, 4], (, 0), {x : x < 3}, {x : x π}, ]2, 18[, [ 2π, 2π), {x : x 2 2}. Esercizio: individure inf, sup, mggiornti e minornti dei seguenti insiemi e, qulor esistno, nche min e mx. {x : x > 4}, {x : x < 3 x > 8}, {x : x π x > 2}, (2, 10], [ 2π, 2π) {6}, {x : x 2 2} {x : x 3 > 1}, { } x2 3 x : 3 3x I numeri reli Cp1.pdf c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic A 2006/ p.20/20