- Appunti di Matematica 1 Licei Umanistici - - I polinomi - Polinomi
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- Marianna Rota
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1 Polinomi Un polinomio è un somm lgeric di monomi. Esempio: ; c sono polinomi. ; I vri monomi che compongono il polinomio si chimno termini del polinomio. Un monomio può nche essere considerto come un polinomio con un solo termine. NOTA: se in un polinomio ci sono monomi simili questi si sommno e il polinomio si dice ridotto form normle. Esempio: 6 Definizione: se un polinomio ridotto form normle h termini, cioè è costituito d monomi, si chim inomio, se è costituito d monomi si chim trinomio. Esempio: è un inomio c è un trinomio Definizione: il grdo di un polinomio è il grdo del suo termine di grdo mggiore. Esempio: h grdo Definizione: il grdo di un polinomio rispetto d un letter è il mssimo degli esponenti con cui compre quell letter. Esempio: h grdo rispetto ll letter e grdo rispetto ll letter. Termine noto di un polinomio: è il termine di grdo 0 cioè il termine in cui non compre nessun letter. Esempio: è il termine noto Polinomio omogeneo: un polinomio si dice omogeneo qundo tutti i suoi termini hnno lo stesso grdo. Esempio: è un polinomio omogeneo poiché tutti i suoi termini hnno grdo. 7
2 Operzioni con i polinomi Addizione tr polinomi L somm tr due o più polinomi è il polinomio che h per termini tutti i termini dei polinomi ddendi. Esempio: ( ) ( ) (si riduce sommndo i termini simili) Differenz tr polinomi L differenz tr due polinomi si ottiene sommndo l primo polinomio l opposto del secondo (si cmi il segno dei coefficienti del secondo). Esempio: ( ) ( ) 5 Per indicre ddizione e sottrzione tr polinomi si prl di somm lgeric. Moltipliczione di un monomio per un polinomio Per moltiplicre un monomio per un polinomio si pplic l proprietà distriutiv dell moltipliczione rispetto ll ddizione e si moltiplic il monomio per ciscun termine del polinomio. Esempio: Moltipliczione tr due polinomi Si moltiplic ogni termine del polinomio per ogni termine del e si sommno i risultti (sempre per l proprietà distriutiv dell moltipliczione rispetto ll ddizione) Esempio: ( ) ( ) ( ) ( ) NOTA: il grdo del prodotto è l somm dei grdi dei polinomi fttori (per l proprietà delle potenze). 75
3 NOTA: come si moltiplicno tre polinomi? Prim si moltiplicno due polinomi e il risultto si moltiplic per il terzo. Esempio: ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) Divisione di un polinomio per un monomio Esempio : ( ):? Per l proprietà distriutiv dell divisione rispetto ll ddizione ho: ( : )( : ) Quindi in questo cso, essendo ogni termine del polinomio divisiile per il monomio, il polinomio risult divisiile per il monomio. ( ): Quindi: ( ) cioè se si h Q B A Esempio : ( ):? In questo cso il polinomio non è divisiile per poiché il suo termine non è divisiile per. Possimo scrivere m non è un polinomio. Esercizi ) ( ):... ) ( ) :... 76
4 77 Prodotti notevoli Nell moltipliczione dei polinomi ci sono dei csi prticolri che conviene ricordre. Prodotto dell somm di due monomi per l loro differenz Considerimo per esempio: ( )( ) In generle si h: ( )( ) B A B AB AB A B A B A cioè si ottiene sempre l differenz tr il qudrto del monomio e il qudrto del monomio ( )( ) B A B A B A Esempi ) ( )( ) ) ( )( ) ) ) ( )( ) ( )( ) 5) ( )( ) ( )( ) 9 6) ( )( )( ) ( )( )
5 Qudrto di un inomio Considerimo per esempio: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) In generle si h: ( A B) ( A B)( A B) A AB B A AB AB B In conclusione: ( A B) A AB B Quindi il qudrto di un inomio risult ugule ll somm tr il qudrto del termine, il qudrto del termine e il doppio prodotto tr il termine e il termine del inomio. Esempi ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Interpretzione geometric ( ) Il qudrto di lto è dto dll unione del qudrto di lto, del qudrto di lto e di due rettngoli di lti e (e quindi re ) 78
6 Not Vedimo come risult il qudrto di un trinomio: ( A B C) ( A B C) ( A B C) A AB AC BA B BC CA CB C A B C AB AC BC Quindi il qudrto di un trinomio è dto dll somm tr qudrto del termine, qudrto del termine, qudrto del termine e il doppio prodotto tr il e il termine, il doppio prodotto tr il e il termine e il doppio prodotto tr il e il termine. Esempio ( c) 9 c ( ) ( ) ( ) ( c) ( ) c 9 c 6 c c ( ) Sviluppimo il cuo di un inomio: Cuo di un inomio ( A B) ( A B)( A B)( A B) ( A B) ( A B) ( A AB B )( A B) A A B A B AB AB B A A B AB B In conclusione: ( A B) A A B AB B Quindi il cuo di un inomio risult l somm tr cuo del termine, cuo del termine, triplo prodotto tr il qudrto del termine e il termine, triplo prodotto tr il termine e il qudrto del termine. Esempi ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
7 Introduzione ll scomposizione dei polinomi E molto importnte riuscire scrivere, se è possiile, un polinomio come prodotto di polinomi di grdo minore: si prl di scomposizione del polinomio così come si prl di scomposizione in fttori di un numero nturle. Imprimo scomporre un polinomio ripercorrendo ritroso l moltipliczione di un monomio per un polinomio (srà quello che chimeremo metodo del rccoglimento totle), l moltipliczione tr due polinomi (srà quello che chimeremo metodo del rccoglimento przile) ed lcuni prodotti notevoli. Vedimo lcuni esempi. Rccoglimento totle Considerimo per esempio il polinomio : ci ccorgimo che tutti i termini del polinomio sono divisiili per e quindi rccogliendo ( si dice nche che lo mettimo in evidenz ) imo: ( ) Prticmente nell prentesi dopo il fttore comune scrivimo i termini ottenuti dividendo i termini del polinomio per il fttore comune : stimo tornndo indietro rispetto ll moltipliczione di un monomio per un polinomio. NOTA: è importnte cpire che possimo mettere in evidenz nche un polinomio e non solo un monomio. Se per esempio imo ( ) ( ) in questo cso il fttore comune è ( ) imo ( ) ( ) ( ) [( ) ( )( ) ed Rccoglimento przile Considerimo per esempio il seguente polinomio: In questo cso i vri termini non hnno tutti un fttore comune m se provimo rccogliere tr i primi due termini e tr il terzo e qurto (per questo si prl di rccoglimento przile) che possimo così mettere in evidenz: osservimo che ottenimo il fttore comune ( ) ( ) ( ) ( )( ) Perché questo metodo funzioni è necessrio che dopo il rccoglimento przile si poss procedere con un rccoglimento totle, cioè è necessrio ottenere un fttore comune. Prticmente è come se fossimo tornti indietro rispetto ll moltipliczione tr due polinomi: se inftti svolgimo il prodotto ritrovimo il polinomio inizile ( ) ( ) 80
8 Prodotti notevoli Differenz di due qudrti Se considerimo il prodotto notevole ( A B) ( A B) A B sinistr imo che Esempi ) Considerimo il polinomio A m lo leggimo d destr verso B ( A B) ( A B) Possimo scrivere ( ) ( ) ) Considerimo il polinomio Anche in questo cso possimo considerre come il qudrto di e scomporre con lo stesso prodotto notevole: ) ( ) ( ) ( ) ( ) Qudrto di un inomio Se considerimo lo sviluppo del qudrto del inomio ( A B) A A B B leggimo d destr sinistr imo che ( A ) m lo A A B B B Esempi ) Considerimo il polinomio Possimo riconoscere lo sviluppo del qudrto di un inomio dl momento che ci sono due qudrti e che il termine rimnente è proprio il doppio prodotto delle due si e. Quindi imo ( ) ) Considerimo il polinomio : nche in questo cso ci sono due qudrti ( è il qudrto di e è il qudrto di ) e il terzo termine è proprio il doppio prodotto tr e. Quindi ( ) ) Considerimo : in questo cso, essendo il doppio prodotto - srà il qudrto dell differenz tr le due si cioè Cuo di un inomio ( ) ( A ) A A B AB B B Esempi ) ( ) ) ( ) 8
9 NOTA A volte per scomporre un polinomio doimo usre più metodi in successione. Esempi )Considerimo il polinomio : possimo mettere in evidenz il fttore 6 ( ) m vedimo che imo ottenuto che risult un differenz di qudrti e quindi può essere scomposto e quindi in conclusione imo: ) Considerimo il polinomio scrivere m ci ccorgimo che possimo ncor scomporre qudrti e quindi imo: ( ) ( ) ( ) : possimo considerrlo come differenz di qudrti e ( ) ( ) sempre utilizzndo l differenz di ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Considerimo il polinomio 8 : possimo mettere in evidenz il fttore 8 ( ) m ci ccorgimo che possimo ncor scomporre perché è il qudrto di un inomio e quindi in conclusione: ( ) ( ) 8 ) Considerimo il polinomio : possimo effetture un rccoglimento przile ( ) ( ) ( )( ) m ci ccorgimo che possimo ncor scomporre il fttore con il metodo dell differenz dei qudrti e quindi in conclusione imo: ( )( )( ) 8
10 ) ( 5 ) ( ) ESERCIZI Operzioni con i polinomi [ ) ( 8 6 ) ( 5 ) 5 [ 5 ) ( 5 ) ( 5 7) [ ) ( ) ( 5 ) ( ) [ 5) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 5 6) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )( ) ( 9 ) 7) ( ) [ [ 8 8) ( )( [ ) ( ) ( ) [ 9) ( )( ) ( )( ) [ 7 8 0) ( )( ) ( )( ) [ 6 5 ) ( )( ) ( )( ) [ ) ( 9 )( 9 ) ( 6 8) 5 [ 6 6 ) ( )( )( ) [ ) ( ) 5 ( )( ) [ 6 6 5) ( )( ) ( 5 )( 5) [ 7 5 [ 7 6) ( )( ) 7) ( )( 5) ( )( ) ( 5)( ) [ 0 8
11 Prodotti notevoli 8) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 5 0 9) ( 5) ( 5) ( ) [ 7 0) ( ) ( ) 5( ) [5 ) ) ( ) [ 5 ( ) [ 5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 5 ) ( ) ( 6 ) ( 6) ( ) ( 8) [ 5) ( ) ( ) ( ) [ 6) ( ) ( )( ) ( ) [ 7) ( ) ( ) ( )( ) [ 8) ( ) ( ) 6( ) 7 8 [ 9) ( ) ( )( ) ( ) [ 0) ( )( )( ) ( ) [ ) ( ) ( ) ( ) [ 6 8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 [ [ 8
12 ) ( )( ) ( ) [ 0 [ ) ( ) 5) ( )( ) ( )( ) [ [ 0 9 6) ( ) ( 5 9) 7) ( ) [ 5 7 8) ( ) ( ) 8 [ 0 9) [ 0) ( )( ) ( ) [ 8 ) ( )( ) ( ) [ ) ( ) ( )( ) 6 [ ) ( ) ( )( ) ( ) [ 0 ) ( ) ( )( ) 8 [ ) ( ) ( )( ) ( ) 5 [ 0 [ [ ( ) ( )( ) 6) ( )( ) 85
13 Scomposizione di polinomi Scomponi mettendo in evidenz il fttore comune 7) 6 ; ; 8) 8 ; 6 9 ; 9) ; ; 50) ; ; 6 9 5) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) Scomponi con il metodo del rccoglimento przile 5) 5 5 [ ( 5 )( ) 5) [ ( )( ) 5) 8 [ ( )( ) 55) 6 7 [ ( )( 6) 56) ) [ ( )( ) 5 [ ( )( ) 58) ( ) [ ( )( ) 59) [ ( )( ) 60) 6 [ ( )( ) 6) [ ( )( ) 6) [ ( )( ) 86
14 Scomponi utilizzndo i prodotti notevoli 6) 6) 9 ; 9 ; ) 8 ; 6 66) 9 6 ; 67) ; 68) ; ) ; 9 70) ; ; 5 7) 7) 6 8 ; 8 6 7) ; 9 6 Scomponi cominndo più metodi 7) [ ( )( )( ) 6 75) [ ( )( )( ) 76) [ ( ) 87
15 Prolemi di geometri Prolem svolto Determin perimetro e re dell figur trtteggit. Svolgimento Determinimo per differenz AE Quindi il perimetro dell figur trtteggit srà p 6 Osservimo che risult ugule l perimetro del rettngolo ABCD. Per determinre l re dell figur trtteggit st sottrrre ll re del rettngolo ABCD l re del rettngolo EBGF. Ottenimo quindi: A 77) Determin perimetro e re dell figur trtteggit. 5 [ p 6; A 6 78) Determin perimetro e re del romo in figur spendo che AC 6 ; BD 8. [ p 0; A 88
16 79) Consider un rettngolo R di dimensioni e. Se viene umentto del 50% e viene diminuito del 50% come risult l re del nuovo rettngolo R? Come risult rispetto ll re di R? 80) Determin l re dell zon trtteggit. [ AR' ; AR' AR [ 8) Determin l re di un esgono regolre di lto. 8) Consider un qudrto di lto e determin l re dell zon trtteggit. [ A 6 [ A 5 8) Un prllelepipedo rettngolo h dimensioni,,. Clcol il suo volume V. Aument di tutte le dimensioni e clcol il nuovo volume V. [ V 6 ; V '
17 8) Clcol l re A dell zon trtteggit. [ A 85) Clcol l re del qudrto ABCD di lto AB e l re del qudrto A B C D ottenuto congiungendo i punti medi. Come risult l re di A B C D rispetto ll re di ABCD? 86) Determin perimetro e re del trpezio ABCD. 9 [ A( ABCD) 9 ; A( A' B' C' D' ) 6 [ p 8; A 5 90
18 SCHEDA PER IL RECUPERO CALCOLO LETTERALE: MONOMI E POLINOMI [ 9. ( ) ( ) ( ) 9. [ ( ) : ( ) : ( ) [. In un tringolo isoscele l se misur 0 e il lto oliquo. Determin perimetro e re del tringolo. [ 6 ; 60. Un qudrto h lto che misur. Clcol perimetro, re e misur dell digonle. [ 6 ; 6 ;. Consider un tringolo equiltero di lto. Determin perimetro e re del tringolo. 6. ( ) ( 5) ( ) ( ) ( 5) ( ) 9 [ 9 ; [ 0 [ 5 7. ( ) 8. ( ) ( ) ( ) [ 5 9. ( ) : ( ) [ 0. ( ) ( ) ( ) ( ) [ 7 9
19 SCHEDA PER IL RECUPERO CALCOLO LETTERALE: SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO. [( )( ) [( )( ). [ ( )( ) [ ( )( ) [( ) [ ( ) [ 6 9 ( )( ) 8. 9 ( ) ( ) ( ) [( )( ) [ ( )( ) [ ( ). ( ) [( )( ) [ 9 ( )( ) [( )( )( ) 9
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