Principali proprietà delle operazioni

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1 Principli proprietà delle operzioni Proprietà commuttiv dell ddizione + b b +,b N Proprietà commuttiv dell moltipliczione b b,b N Proprietà distributiv dell moltipliczione (b + c) (b + c) b + c (b c) (b c) b c,b,c N,b,c N Proprietà distributiv dell divisione ( + b) : c : c + b : c,b,c N, c 0 ( b) : c : c b : c,b,c N, c 0 Prticolri divisioni 0 : 0 N, 0 : 0 non h significto / impossibile N, 0 0 : 0 indeterminto Divisione con resto : b q con resto di r b q + r Alcuni errori rigurdnti le proprietà delle operzioni In presenz di un sequenz di divisioni e moltipliczioni, si svolgono le operzioni nell ordine in cui sono scritte d sinistr verso destr. 1 : 1 : 8 1 : 8 1 : : 1 : 8 1 : : : Non esiste un proprietà distributiv dell moltipliczione rispetto ll moltipliczione o ll divisione. Semplicemente, si svolgono le operzioni rispettndo l ordine prescritto dlle prentesi. ( b) c ( c) (b c) e ( : b) c ( c) : (b c) ( 5) ( ) (5 ) 10 0 ( 5) 5 0 (8 : ) (8 ) : ( ) 1 : 8 (8 : ) Non esiste un proprietà distributiv dell divisione rispetto ll moltipliczione o ll divisione. Semplicemente, si svolgono le operzioni rispettndo l ordine prescritto dlle prentesi. ( b) : c ( : c) (b : c) e ( : b) : c ( : c) : (b : c) ( ) : ( : ) ( : ) ( ) : : 1 (8 : ) : (8 : ) : ( : ) : (8 : ) : : 1 1

2 L proprietà distributiv dell divisione rispetto ll ddizione e ll sottrzione vle solo qundo l ddizione o l sottrzione sono l dividendo, e non l divisore. c : ( + b) c : + c : b e c : ( b) c : c : b 0 : ( + ) (0 : ) + (0 : ) : ( + ) 0 : 5 0 : ( ) (0 : ) (0 : ) : ( ) 0 : 1 0 Proprietà delle potenze Prodotto di potenze con ugule bse m n m+n,m,n N Quoziente di potenze con ugule bse m : n m n,m,n N Prodotto di potenze con ugule esponente n b n ( b) n,b,n N Quoziente di potenze con ugule esponente n : b n ( : b) n,b,n N Potenz di potenz ( m ) n m n,m,n N Prticolri potenze 1 N 0 n 0 n N, n N, non h significto Alcune mosse che utilizzno le proprietà delle potenze Sequenz di moltipliczioni e divisioni con potenze di ugule bse. : 5 : Conseguenze dell proprietà dell potenz di potenz. ( m ) n ( n ) m n m Scomporre un potenz in prodotto o quoziente di potenze con esponenti picere : 5 1

3 Scomporre un potenz in fttori primi. 15 ( 5) 5 8 ( ) 1 0 ( 5) ( ) 5 5 Prodotto o quoziente di potenze con bsi che sono potenze un dell ltr. 8 ( ) 1 : 9 : ( ) : Prodotto o quoziente di potenze con bsi ed esponenti diversi. 5 5 ( ) 5 ( 8 ) 1 : 5 ( ) : 5 ( ) : 5 Alcuni errori rigurdnti le proprietà delle potenze In un prodotto o quoziente di potenze, se le bsi e gli esponenti delle potenze sono diversi, non si possono pplicre proprietà delle potenze ( meno che, scomponendo e distribuendo l esponente, non si trovino bsi in comune). 5 ( ) ( ) 5 In cso di somme o sottrzioni, non ci sono proprietà delle potenze che vlgno. ( + b) n n + b n e ( b) n n b n ( + ) ( + ) 5 5 ( ) 9 5 ( ) 1 1 m + n m+n e m n m n Un esponente che è un potenz e un potenz di potenz sono cose diverse. mn ( m ) n 1 m ( ) 8 Operzioni con le frzioni Addizione e sottrzione di frzioni con ugule denomintore c ± b c ± b c,b,c N, c 0 Moltipliczione di frzioni c b d b c d,b,c,d N, c,d 0 Divisione di frzioni c : b d c d b d c b,b,c,d N, b,c,d 0

4 Elevmento potenz di un frzione ( b ) n n b n,b,n N, b 0 Proprietà invrintiv delle frzioni b c b c b : c b : c,b,c N, b,c 0,b,c N, b,c 0 Alcune mosse che utilizzno le proprietà delle operzioni con le frzioni Semplificzione di frzioni (ricorrendo eventulmente ll scomposizione in fttori) Ricondurre llo stesso denomintore più frzioni per poterle sommre o sottrrre Moltipliczione di frzioni con nness semplificzione in croce (ricorrendo eventulmente ll scomposizione in fttori) Spezzre l frzione in un somm di frzioni con numertori picere Spezzre l frzione nell su prte inter più l su prte frzionri Prodotto o quoziente di potenze con bsi che sono potenze un dell ltr. ( ) 8 ( ) ( ) 8 [( ) ] ( ) 8 ( ) ( ) ) : ) [ ) ] : ) ) ) ) Prodotto o quoziente di potenze con bsi ed esponenti diversi. ( 10 ) ( 9 ) ( 5 ) ( ) ) : ( 10 ) ) ( ) 5 ) ( )

5 Alcuni errori rigurdnti le proprietà delle operzioni con le frzioni Non si può spezzre il denomintore di un frzione, m solo il numertore Nell semplificzione di un frzione si possono semplificre solo fttori, e non ddendi Nelle moltipliczioni si possono semplificre in croce solo fttori, e non ddendi In un moltipliczione tr frzioni elevte d esponenti diversi non si possono semplificre in croce i numertori/denomintori dell un con i denomintori/numertori dell ltr. ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) Il reciproco di un frzione con un somm l denomintore non è un somm di frzioni. Il reciproco di + 5 è + 5 Il reciproco di + 5 è + 5 Alcune operzioni con numeri negtivi Potenz con esponente pri ( ) n n Q, n N, n pri Potenz con esponente dispri ( ) n n Q, n N, n dispri Potenz con esponente negtivo n 1 n Q, 0, n N Prticolri potenze ( 1) n + 1 se n N, n pri 1 se n N, n dispri Alcune mosse che utilizzno le proprietà delle operzioni con numeri negtivi L somm lgebric gode dell proprietà commuttiv Pssggio del segno meno d un fttore ll ltro di un prodotto. ( ) 5 ( 5) 5 Pssggio del segno meno tr numertore e denomintore

6 Il segno meno dvnti d un prentesi cmbi i segni di tutti gli ddendi in ess contenuti. (5 + ) 5 + Il segno meno dvnti d un frzione cmbi i segni di tutti gli ddendi del numertore In un potenz, un bse negtiv può essere trsformt in positiv (e vicevers) se l esponente è pri. ( 5) (+5) In un potenz, un bse negtiv può essere trsformt in positiv (e vicevers), e il segno meno portto fuori dll bse, se l esponente è dispri. ( 5) (+5) In presenz di moltipliczioni o divisioni, è possibile trsformre tutte le bsi negtive in positive, semplicemente cmbindo il segno se l esponente è pri, o trsportndo il segno meno dvnti l prodotto se l esponente è dispri. 5 ( 5) ( 5) Trsformre un bse nel suo reciproco, cmbindo il segno dell esponente. ( ) ( ) ) ( 5 ) Alcuni errori rigurdnti le proprietà delle operzioni con numeri negtivi L positività o negtività di un termine dipende dl vlore dell incognit. è negtivo è negtivo se è positivo è positivo se è negtivo In un potenz, il segno meno v elevto solo se è prte dell bse (ovvero, solo se è dentro l prentesi) ( 5) +5 Non si può spostre il segno meno d fuori dentro l bse di un potenz con esponente pri. 5 ( 5) 5 5 ( ) 5 ( 5) ( ) Cmbire segno ll esponente di un potenz trsform l bse nel suo reciproco, m non ne cmbi il segno. ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 ( ( ) 1 ) 1 8 8