Le Matrici. 001 ( matrice unità)

Transcript

1 Le Mtrici Un mtrice è un tbell di numeri o più in generle di elementi disposti quindi secondo righe e colonne. Le mtrici si indicno con le lettere miuscole dell lfbeto, gli elementi con quelle minuscole e ciscuno è crtterizzto d due indici, il primo rppresent l rig il secondo l colonn. m m n n mn ( mtrice mxn in generle; m righe, n colonne) L elemento generico di un mtrice si denot con e si trov ll i-esim rig e ll j-esim colonn. Se il numero delle righe è ugule quello delle colonne l mtrice si dice qudrt, se è diverso rettngolre. Nell mtrice qudrt gli elementi che hnno gli indici uguli costituiscono l digonle principle. Un mtrice con un sol rig è dett mtrice rig, con un sol colonn mtrice colonn. Un mtrice qudrt con tutti gli elementi nulli eccetto quelli dell digonle principle uguli uno è dett unitri, unità o identità. ( mtrice unità) Qundo tutti gli elementi sotto l digonle principle di un mtrice qudrt sono nulli, l mtrice è dett tringolre superiore, se sono nulli quelli sopr è dett tringolre inferiore. L mtrice qudrt che h si dice simmetric. L trspost di un mtrice, ji è l mtrice ottenut d scmbindo le righe con le colonne. Esempio Se un mtrice è simmetric coincide con l su trspost. Operzioni con le mtrici. ddizione. L ddizione è possibile solo qundo le due mtrici hnno le stesse dimensioni. d esempio è possibile eseguire l ddizione fr due mtrici x, m non fr un x5 e un x. L ddizione si esegue ddizionndo fr di loro gli elementi corrispondenti.

2 6 B + 6 +B B L ddizione fr mtrici è commuttiv, ssocitiv ed esiste l elemento neutro costituto dll mtrice null ( tutti gli elementi uguli zero). Queste proprietà sono giustificte dl ftto che l ddizione fr mtrici si riduce quell fr numeri. Moltipliczione di un numero per un mtrice. Si esegue moltiplicndo il numero per tutti gli elementi dell mtrice. 5 5 Moltipliczione di mtrici. Quest operzione si può eseguire solo qundo il numero delle colonne dell prim è ugule l numero delle righe dell second mtrice. d esempio è possibile eseguire l moltipliczione fr un mtrice x e un mtrice x. Moltiplicndo in generle un mtrice mxn con un mtrice nxp si ottiene un mtrice mxp. L moltipliczione si esegue secondo un procedimento detto righe per colonne che consiste nel moltiplicre ciscun rig dell prim mtrice per tutte le colonne dell second e che verrà illustrto con un esempio. B x + x + x xb x + x + x x + x + x x + x + x 9 xb 7 L moltipliczione fr mtrici, qundo è possibile, non è commuttiv, l elemento neutro è l mtrice identità. eterminnte di un mtrice. d ogni mtrice qudrt di numeri è possibile ssocire un numero detto determinnte dell mtrice e che si indic con due linee verticli, con o con det. Il determinnte si può definire per vi induttiv. Se l mtrice h un solo elemento il determinnte è il numero stesso. Nel cso di un mtrice x si oper nel modo seguente det() Se l mtrice è x si utilizz l regol di Srrus, come segue

3 () + + gli elementi dell mtrice si ffincno l prim e l second colonn e poi si procede come sopr. Complemento lgebrico Il complemento lgebrico dell' elemento di un mtrice qudrt èil det er min nte dell mtrice che si ottiene d eliminndo l i-esim rig e l j-esim colonn e nteponendo il segno + se i+j è pri e il segno meno se i+j è dispri. Esempio Esempio numerico ( ) In generle, per qulunque mtrice qudrt, il determinnte è ugule ll somm dei prodotti degli elementi di un rig o un colonn qulsisi per i rispettivi complementi lgebrici. Se è x det( ) + +

4 Proprietà dei determinnti Se un mtrice qudrt h un rig o un colonn formt d zeri, il determinnte è ugule zero. Quest proprietà si spieg tenendo conto che clcolndo il determinnte in bse quell rig o quell colonn si ottiene l somm di prodotti nulli. Se d un rig o d un colonn di un mtrice qudrt si ggiunge un ltr rig o colonn moltiplict per un numero il vlore del determinnte non cmbi. Giustifichimo quest proprietà su un mtrice del terzo ordine. t Il suo determinnte è ugule + + Otterremo lo stesso risultto se ll prim rig ggiungimo l second moltiplict per un numero k. L mtrice ottenut è + k + k + k B Clcolimo or il determinnte con l regol di Srrus + k + k + k + k + k ( ( + k + k + k k ) + ) + k ( + k + k ) + ( + + k ) + k + + ( + k ) k ( + k. Se un mtrice qudrt si moltiplic per un numero k, il determinnte risult moltiplicto per k. ) Un mtrice qudrt e l su trspost hnno lo stesso determinnte. ()( ) Quest proprietà si può dimostrre sviluppndo per secondo l prim rig e secondo l prim colonn.

5 Invers di un mtric t un mtrice qudrt col determinnte () diverso d zero, l su invers si indic con ed è quell mtrice tle che I (mtrice identità). Si clcol in bse ll regol che segue ()