Liceo Scientifico E. Majorana Guidonia Quaderno di lavoro estivo Matematica

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1 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni Numeri Nturli Sintesi dell teori Domnde Risposte Esempi Come si indic l insieme dei numeri nturli {0,,,,, }? L insieme dei numeri nturli si indic con l letter N. Quli operzioni eseguimo in N? Addizione, sottrzione, moltipliczione e divisione. 0 0 Operzioni in N Proprietà Esempi Addizione Intern N (ovvero l somm di due numeri nturli è sempre un numero nturle). Commuttiv. Associtiv ()c (c). Esiste l elemento neutro ed è lo Sottrzione Non intern N. Non commuttiv. Non ssocitiv. Invrintiv l differenz di due numeri nturli non cmi se entrmi si ggiunge o si toglie uno stesso numero ( c) ( c) ( c) ( c). Moltipliczione Intern N (ovvero il prodotto di due numeri nturli è sempre un numero nturle). Commuttiv. Associtiv ()c (c). Esiste l elemento neutro ed è l. Legge di nnullmento del prodotto 0 se e solo se 0 o 0. Distriutiv rispetto ll ddizione e ll sottrzione sinistr ( ± c) ± c e destr ( ± )c c ± c. Divisione Non intern N. Non commuttiv. Non ssocitiv. Invrintiv il quoziente di due numeri nturli non cmi se il dividendo e il divisore vengono moltiplicti o divisi per uno stesso numero diverso d 0 ( c) ( c) ( c) ( c). Distriutiv rispetto ll ddizione destr m non sinistr ( ) c c c. Non è definit se il divisore è 0. ( ) ( ) non è eseguiile in N ( ) ( ) 7 (7 ) ( ) 7 (7 ) ( ) ( ) ( ) (0 ) 0 ( 7) 7 7 non è eseguiile in N ( ) ( ) 99 9 (99 ) (9 ) 99 9 (99 ) (9 ) (99 9) e sono espressioni prive di 0 significto Esercizi. Complet le seguenti ffermzioni.. Fr le quttro operzioni elementri le uniche due che sono interne N sono l e l e 0 c. Per l proprietà commuttiv dell ddizione 0 99 d. Per l proprietà ssocitiv dell ddizione (0 ) 00 0 ( )

2 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni Numeri Nturli e. Per l proprietà distriutiv dell moltipliczione rispetto ll ddizione possimo scrivere che (0 ) 0 7 f. In se ll proprietà dell possimo scrivere che (77 7) g. In se ll proprietà dell possimo scrivere che ( 00) ( 00) -. Vero o flso? (0 ) ( ) 0 V F 99 9 (99 ) (9 ) V F 99 (9 ) V F (99 9) V F (0 0) V F 0 (0 ) è un scrittur priv di significto V F 9 0 è un scrittur priv di significto V F (0 ) 0 V F. Qul è il risultto dell espressione 0 ( 0)? A 0 B C D Non definito. Qul è il risultto dell espressione ( 0) 0? A 0 B C D Non definito. Qul è il risultto dell espressione (0 ) 0? A 0 B C D Non definito. Qul è il risultto dell espressione ( ) ( )? A B 0 C D Non pprtiene N Errori (tipici) d evitre 0 0 oppure 0 FALSO. Come imo detto, non è mi possiile dividere un numero per 0. In questo cso, inftti, l operzione di divisione non è definit. 0 non è definit oppure 0 FALSO. Il numero 0 è divisiile per qulsisi ltro numero (diverso d 0), e il risultto dell divisione è sempre 0. Dunque, in prticolre, 0 0. Note ed ppunti

3 Liceo scientifico E. Mjorn Guidoni Divisiilità Sintesi dell teori Domnde Risposte Esempi Dti due numeri nturli e, qundo si Qundo esiste un numero nturle q tle che 0, quindi 0 è multiplo di. dice multiplo di? q. In quli modi equivlenti si può esprimere è un divisore di ; 0 è multiplo di equivle è un l frse è multiplo di? divide ; divisore di 0, oppure divide 0 è divisiile per ; Qundo un numero nturle si dice primo? Qundo è divisiile soltnto per se stesso e l unità. Il numero non è considerto numero primo. Quli sono i principli criteri di divisiilità? Che cos è il mssimo comune divisore tr due o più numeri nturli diversi d zero, e come si clcol? Qundo due numeri si dicono primi fr loro o coprimi? Che cos è il minimo comune multiplo tr due o più numeri nturli diversi d zero, e come si clcol? Un numero è divisiile per se termin con un cifr pri. o 9 se lo è l somm delle sue cifre. se termin per 0 o per o se lo è il numero formto dlle ultime sue due cifre o se termin con due zeri. se lo è l differenz tr l somm delle cifre di posto dispri e l somm delle cifre di posto pri, contte prtire d destr. È il più grnde fr i loro divisori comuni. Lo si può clcolre scomponendo i numeri dti in fttori primi e considerndo il prodotto dei fttori primi comuni tutti i numeri ssegnti, presi un sol volt, ciscuno con il minimo esponente con cui figur nelle scomposizioni. Qundo il loro mssimo comune divisore è. È il più piccolo fr i multipli comuni diversi d 0. Lo si può clcolre scomponendo i numeri dti in fttori primi e considerndo il prodotto dei fttori primi comuni e non comuni tutti i numeri ssegnti, presi un sol volt, ciscuno con il mssimo esponente con cui figur nelle scomposizioni. oppure 0 è divisiile per. è primo. non è primo (è divisiile, oltre che per se stesso e l unità, nche per e per ). è divisiile per. è divisiile per (perché è divisiile per ). e 0 sono divisiili per. è divisiile per (perché lo è ). 7 è divisiile per (perché lo è 7). 9 è divisiile per perché lo è -90 (0 è divisiile per qulsisi numero nturle diverso d zero, in prticolre è divisiile per )., 0, 0 Osservimo che è l unico fttore primo comune tutti e tre i numeri dti e che l esponente minimo con cui compre nell scomposizione è. Quindi M.C.D.(, 0, 0). e sono primi tr loro e non sono primi tr loro (perché il loro mssimo comune divisore è )., 90, 0 I fttori comuni e non comuni sono, e, e i mssimi esponenti con cui questi tre numeri compiono nelle scomposizioni sono rispettivmente, e. Quindi m.c.m.(, 90, 0) 0. Esercizi. Complet le seguenti ffermzioni.. 7, quindi 7 e sono di.., quindi è divisiile, oltre che per e per se stesso, per,.,,.. c. 0 è multiplo di. e di.. d. 9, quindi è.. di 9 e di.. Vero o flso? Ogni numero nturle diverso d zero è divisiile per se stesso V F Ogni numero nturle è divisiile per V F Ogni numero nturle è divisiile per 0 V F 0 è divisiile per ogni numero nturle diverso d zero V F. Qule tr i seguenti numeri è un divisore di? A B C D 9. Qule tr i seguenti numeri è un divisore di? A B C D 9

4 Liceo scientifico E. Mjorn Guidoni Divisiilità. Qule tr i seguenti numeri è un multiplo di? A B C D. Qule tr i seguenti numeri è un multiplo di 9? A 9 B 7 C 9 D 7. Qule tr i seguenti numeri è un primo? A 9 B 9 C 9 D 9. Qule delle seguenti è un coppi di numeri primi fr loro? A e B e C 9 e D e 9. Scomponi in fttori primi i seguenti numeri nturli Determin il mssimo comune divisore e il minimo comune multiplo dei seguenti gruppi di numeri,,, 0, 0,,, 9, 70 0, 0, 00 Errori (tipici) d evitre Dl ftto che, segue che è multiplo di FALSO. Fte ttenzione non confondere l prol multiplo con l prol divisore. Inftti è multiplo di perché esiste un numero nturle q tle che q. Questo equivle dire che è divisore di. Note ed ppunti

5 Liceo scientifico E. Mjorn Guidoni Numeri interi Sintesi dell teori Domnde Risposte Esempi Quli numeri si dicono interi? I numeri ottenuti ttriuendo ciscun numero nturle un segno o un segno -. Sono numeri interi -7; ; 0; -0; 00. Come si indic l insieme dei numeri interi? L insieme dei numeri interi si indic con l letter Z. Qundo due numeri si dicono concordi? Qundo hnno lo stesso segno. - e - sono concordi e sono concordi Qundo due numeri si dicono discordi? Qundo hnno segno diverso. - e sono discordi Che cos è il vlore ssoluto di un numero E il numero stesso considerto senz segno. Il - intero? vlore ssoluto di un numero si indic con il simolo e rppresent l distnz dll origine del punto che lo rppresent Qundo due numeri si dicono opposti? Operzioni in Z Addizione Sottrzione sull rett. Qundo hnno lo stesso vlore ssoluto e segno contrrio. L somm di due interi concordi è un intero che h vlore ssoluto ugule ll somm dei vlori ssoluti degli ddendi; segno ugule quello dei due ddendi. L somm di due interi discordi è un intero che h vlore ssoluto ugule ll differenz tr il vlore ssoluto mggiore e quello minore dei due ddendi; segno ugule quello dell ddendo che h vlore ssoluto mggiore. L differenz di due numeri interi e è dt dll somm di con l opposto di. - e sono opposti e - sono opposti - (-) -( ) () (-) -( ) - (-) - (-) () (-) (-) (-) - (-) (-) (-) () Moltipliczione Il prodotto di due numeri interi è un numero intero che h come vlore ssoluto il prodotto dei vlori ssoluti dei fttori; segno se i numeri sono concordi, segno se i numeri sono discordi. Regol dei segni ( ) ( ) ( ) (- ) - () (-) -( ) - (- ) ( ) - (- ) (- ) (-) (-) ( ) 0 Divisione Il quoziente di due interi è eseguiile in Z ()() ( ) solo se il dividendo è multiplo del divisore; ()(-) -( ) - in tl cso è il numero intero che h come vlore ssoluto il quoziente dei vlori ssoluti dei due numeri; segno se i numeri sono concordi, segno se i numeri sono discordi. L regol dei segni è l stess. NOTA Nell insieme Z, differenz di quello che succede nell insieme N, non sono interne soltnto le operzioni di ddizione e di moltipliczione, m lo è nche l sottrzione. Esercizi. Complet le seguenti ffermzioni.. Il vlore ssoluto di -7 è.. I due numeri -0 e sono opposti. c. I due numeri e - sono. d. I due numeri - e sono concordi. e. I due numeri 9 e sono discordi. f. I due numeri -0 e sono diversi m hnno lo stesso vlore ssoluto.

6 Liceo scientifico E. Mjorn Guidoni Numeri interi g. Fr le quttro operzioni elementri, l unic che non è intern ll insieme Z è l.. Vero o flso? - V F - V F. Svolgi i seguenti clcoli A (-) () (-) () (-) (-) B (-0) (-) (-00) (-0) (-0) (-) C (-0) (-) (-) () () (-7) D () (7) (7) () (0) (-). Complet le seguenti uguglinze in modo che risultino corrette A (-) ( ) - () ( ) - (-)(-) B [(-0)()] (-) (- ) (-) (-00) (-0) (-0) [(-0) (-)] (-0) ( ) C (-)(-)(-) ( )(-) (-) () [(-7)( )] (-) () (-) D (-)(-)( ) (-)() (-) ( ) [(-0) ( )] (-) () (-) Note ed ppunti

7 Liceo scientifico E. Mjorn Guidoni Numeri rzionli Sintesi dell teori Domnde Risposte Esempi Che cos è un frzione? Un frzione è il rpporto tr due numeri nturli Qundo un frzione si dice ridott i in cui il denomintore è diverso d 0. è un frzione ridott i minimi termini, minimi termini? Si dice ridott i minimi termini qundo il mssimo comune divisore fr il numertore ed il mentre non lo è. denomintore è. Come si possono confrontre due c c c frzioni? < > > perché 7 > d d d 7 rispettivmente second che d < c d c d > c < perché < Come si può esprimere un frzione in Eseguendo l divisione fr numertore e 7 form decimle? denomintore. 7,7 Come si può trsformre un numero Si scrive l frzione che h decimle finito in un frzione? l numertore il numero scritto senz, 00 l virgol l denomintore un seguito d tnti 7, zeri qunte sono le cifre dopo l 0 virgol. Come si può trsformre un numero decimle periodico in un frzione? Si scrive l frzione che h l numertore l differenz fr il numero scritto senz l virgol e l prte che viene prim del periodo l denomintore tnti 9 qunte sono le cifre del periodo, seguiti d tnti zeri qunte sono le cifre dell ntiperiodo (ovvero l prte compres tr l virgol e il periodo). Che cos è un numero rzionle ssoluto? Si chim numero rzionle ssoluto ogni numero che si può esprimere trmite un frzione. Che cos è un numero rzionle? Come si indic l insieme dei numeri rzionli? Qundo due numeri rzionli si dicono concordi? E discordi? Che cos è il reciproco o inverso di un numero rzionle? Si chim numero rzionle ogni numero che si ottiene fcendo precedere dl segno o dl segno un numero rzionle ssoluto. Il rpporto tr due numeri interi in cui il denomintore è diverso d 0, è sempre un numero rzionle. Si trtt del numero rzionle ssoluto che è preceduto dl segno se numertore e denomintore sono concordi è preceduto dl segno se numertore e denomintore sono discordi h l numertore il vlore ssoluto del numertore e l denomintore il vlore ssoluto del denomintore. L insieme dei numeri rzionli si indic con l letter Q. Si dicono concordi qundo hnno lo stesso segno e discordi in cso contrrio. È il numero che, moltiplicto per il numero originrio, dà come risultto. Se il numero rzionle è espresso nell form ± il suo reciproco è ±. Non esiste il reciproco dello 0. 7, ,0 900 ; 0,;, ; ; 0,;, ; - ; ; - - ; e 0, sono concordi, e sono discordi reciproco reciproco Operzioni in Q Proprietà Esempi Addizione e sottrzione fr numeri Per sommre fr loro due frzioni è necessrio rzionli ssoluti espressi in form di portrle llo stesso denomintore; come frzione. denomintore comune è opportuno scegliere il m.c.m. dei denomintori 0 ( 0 ) ( 0 )

8 Liceo scientifico E. Mjorn Guidoni c ± d ( m.c.m. (,d ) ) ± ( m.c.m. (,d ) d ) m.c.m. (,d ) c Numeri rzionli Moltipliczione Divisione Esercizi Per moltiplicre fr loro due frzioni è sufficiente moltiplicre fr loro i numertori i denomintori c c. d d Per dividere un frzione per un ltr (divers d zero) è sufficiente invertire il divisore e moltiplicre c d d c 9 9 Se possiile, semplific in croce / / 9 / / 9 9 Se possiile, semplific in croce / / 9 / /. Vero o flso? L somm di due numeri rzionli può non essere rzionle V F Nell insieme Q l sottrzione è un operzione intern V F Nell insieme Q l divisione è ssocitiv V F Nell insieme Q l moltipliczione è ssocitiv V F Se il prodotto di due numeri rzionli è 0, llor uno è il reciproco dell ltro. V F Se il prodotto di due numeri rzionli è, llor uno è l opposto dell ltro. V F Riduci i minimi termini le seguenti frzioni 99 A B Disponi le seguenti frzioni in ordine crescente,,,, 7 9. Complet inserendo il simolo opportuno (<, >, ) Esprimi i seguenti decimli trmite un frzione ridott i minimi termini A 0,,0, B,00 0,00 0,. Esegui le seguenti operzioni 7 A 0 B 9 C 9 D 00 0, (,) ( 0,) (, ) (, ) 9 0, 0

9 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni Potenze Sintesi dell teori Definizione In simoli Esempi Potenz d esponente nturle n mggiore di K nvolte Potenz d esponente ugule 7 7 Potenz d esponente ugule 0 0 con 0 Potenz d esponente intero negtivo Proprietà delle potenze Prodotto di potenze venti stess se Quoziente di potenze venti stess se n con n nturle e n > ( ) ( )( )( ) n con 0, n nturle ATTENZIONE 0 0, 0 -n non sono definiti ( ) m n m n 0 m n mn Potenz di potenz n m n ( ) ( ) m 0 ( ) 0 ( ) esponente opposto e sereciproc Potenz di un prodotto n n n ( ) ( ) Potenz di un quoziente Esercizi n. Complet clcolndo, se esistono, le seguenti potenze A ( ) 0 B ( ) 0 n n n n n ( ). Clcol pplicndo, ovunque possiile, le proprietà delle potenze A 7 ( ) B ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) [ 0, ] 7 C ( ) ( ) ( ). Stilisci se le seguenti uguglinze sono corrette e, in cso contrrio, correggile È corrett? Uguglinz Eventule correzione (SÌ o NO) 0 0 [( 0 ) ] [( 0) ] 7 9 9

10 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni Potenze 0 Errori (tipici) d evitre - (-) FALSO. In generle, n () n. Inftti n con se, mentre () n () () () con se. In prticolre, - - mentre (-). In effetti, l uguglinz vle soltnto se n è dispri. ( ) FALSO. In generle, ( ) n n n ± ±. In prticolre, ( ) mentre 7. FALSO. Elevndo d un esponente negtivo, il segno dell se rest lo stesso m se ne prede il reciproco. È il segno dell esponente che cmi. In prticolre 7. FALSO. Moltiplicndo due potenze con l stess se, gli esponenti si sommno e non si moltiplicno. In prticolre 7. ( ) 9 FALSO. Per clcolre un potenz che h come se un ltr potenz, isogn prendere l se di quest e moltiplicre gli esponenti delle due. In prticolre ( ). ( ) / / FALSO. L se del prodotto di potenze è ugule l prodotto delle si solo se gli esponenti sono uguli. In prticolre, 9 / /.

11 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni Espressioni numeriche Sintesi dell teori Domnde Risposte Esempi Quli sono le priorità nello svolgimento delle operzioni in un espressione numeric? Se non ci sono prentesi, prim si clcolno le potenze, poi si eseguono le moltipliczioni e le divisioni nell ordine in cui compiono, infine le ddizioni e le sottrzioni. Se ci sono prentesi, si eseguono prim le operzioni ll interno delle prentesi tonde, poi quelle ll interno delle qudre, infine quelle ll interno delle grffe. Come si toglie un prentesi non elevt potenz? Se l prentesi è precedut d un segno l si può eliminre, lscindo inlterti i segni di tutti i termini dentro l prentesi. Se l prentesi è precedut dl segno l si può eliminre, cmindo i segni di tutti i termini dentro l prentesi. ( ) 7 7 ( ) 7 7 Esercizi Semplific le seguenti espressioni e scrivi il risultto nell colonn finco. ( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 0 ( )( ) ( )( ) [ ] { } ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 0 ( ) ( ) [ ] { }

12 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni Monomi Sintesi dell teori Domnde Risposte Esempi Che cos è un monomio? Un espressione lgeric che si può scrivere Sono monomi come prodotto di numeri e lettere, queste ultime elevte esponenti non negtivi. c z Qundo un monomio si dice in form Qundo compre un solo fttore numerico e Il monomio è in form normle. normle? ogni letter compre un sol volt. Il monomio non è in form normle Che cos sono il coefficiente e l prte letterle di un monomio? Che cos è il grdo di un monomio? Dto un monomio in form normle, il fttore numerico è il coefficiente del monomio; il complesso dei fttori letterli è l prte letterle. E l somm degli esponenti delle lettere che compiono nel monomio. perché l letter compre tre volte. è il coefficiente è l prte letterle Il monomio z è equivlente l monomio z il cui grdo è Qundo due monomi si dicono simili? Qundo, ridotti in form normle, hnno l stess prte letterle. Sono simili e Operzioni fr monomi Procedimento Esempi Addizione e sottrzione Si possono semplificre solo ( ) somme in cui gli ddendi sono ( ) monomi simili. L somm (differenz) di due monomi simili è un monomio simile, vente come coefficiente l somm (differenz) dei coefficienti. Moltipliczione Si moltiplicno i coefficienti e per l prte letterle si sommno gli esponenti delle lettere uguli (ricord il prodotto di potenze con stess se). ( ) ( ) ( ) ( ) Divisione Si dividono i coefficienti e si sottrggono gli esponenti delle lettere uguli (ricord il quoziente di potenze con stess se). L divisione dà luogo d un monomio solo se tutte le lettere del divisore compiono nche nel dividendo con esponente mggiore o ugule. Potenz Per elevre un monomio d n si elev il coefficiente n e si moltiplicno gli esponenti delle lettere per n (ricord l potenz di un potenz). 0 ( z) ( ) z z ( ) NOTA Le regole per il clcolo del M.C.D. e del m.c.m. fr monomi sono del tutto nloghe quelle utilizzte fr numeri. Convenimo di scegliere come coefficiente del M.C.D. (rispettivmente, m.c.m.) il M.C.D. (rispettivmente, m.c.m.) fr i vlori ssoluti dei coefficienti, se questi sono interi, in cso diverso. Esercizi. Complet le seguenti ffermzioni.. L espressione non è un monomio perché.. L espressione non è un monomio perché. c. Il monomio h coefficiente e grdo. Vero o flso? Il coefficiente del monomio è nullo V F Il monomio h grdo V F

13 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni Monomi I due monomi e sono simili V F L espressione non è un monomio V F. Esegui le seguenti operzioni A B 0 ( ) ( ) ( ) ( ) z 0z C c 0 z z 9 c D ( )( ) c ( )( ) z z. Semplific le seguenti espressioni e scrivi il risultto finco () ( ) 9 0 () (c) ( ) ( ) (d) ( ) ) ( (e) ( ) ( ) ( ) [ ] (f) ( ) ( ) c c c c c c c c c 7 (g) ( ) 9 (h) ( ) ( ) Ricord semplificre un espressione vuol dire ridurl ll su form più semplice operndo su di ess ttrverso le regole del clcolo lgerico.

14 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni Insiemi Sintesi dell teori Domnde Risposte Esempi Che cos è un insieme? Un rggruppmento di oggetti per cui si possiile stilire, senz miguità, se un oggetto pprtiene o meno l rggruppmento. I numeri nturli mggiori di 000 formno un insieme. I numeri nturli molto grndi non formno un insieme perché non è precisto il criterio in se l qule un numero è d considerrsi Come si può rppresentre un insieme? Si può rppresentre in tre modi diversi per elenczione medinte proprietà crtteristic medinte digrmmi di Venn grnde. Si A l insieme dei numeri nturli compresi tr e, incluso ed escluso. A {,,, } A { N < } Figur A.... Che cos è un sottoinsieme? Qundo un sottoinsieme si dice proprio e qundo improprio? Dti due insiemi A e B, si dice che B è un sottoinsieme di A se ogni elemento di B pprtiene d A. Dto un insieme qulsisi, l insieme stesso e l insieme vuoto (cioè l insieme privo di elementi) vengono detti sottoinsiemi impropri dell insieme; ogni ltro sottoinsieme viene detto proprio. L insieme dei numeri pri è un sottoinsieme di N. L insieme A {-, 0) non è un sottoinsieme di N perché - non pprtiene d N. L insieme dei numeri pri è un sottoinsieme proprio di N. L insieme vuoto è un sottoinsieme improprio di N. Operzioni fr insiemi Definizione Esempi Intersezione di A e B A {,,, } e B {,, }. Gli elementi AI B Dti due insiemi A e B, si chim intersezione di A e B l insieme degli elementi che pprtengono d A e B. comuni sono quelli in grssetto. Quindi AI B{, } A..... B Unione di A e B AU B Dti due insiemi A e B, si chim unione di A e B l insieme degli elementi che pprtengono d A o B. A {,,, } e B {,, }. Vnno presi, un sol volt, tutti gli elementi di A e di B. Quindi AU B {,,,, } A B AU B..... Differenz di A e B A \ B Dti due insiemi A e B, si chim differenz di A e B l insieme degli elementi che pprtengono d A m non B. A {,,, } e B {,, }. Gli elementi comuni sono quelli in grssetto eliminndoli d A ottenimo A \ B {, } A B.....

15 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni Insiemi Prodotto crtesino di A e B A B L insieme dei due elementi e presi in quest ordine, si chim coppi ordint e si denot (, ). Dti due insiemi A e B, si chim prodotto crtesino di A e B l insieme di tutte le possiili coppie ordinte (, ) con pprtenente d A e pprtenente B. SIMBOLI A L elemento pprtiene ll insieme A A B L insieme A è contenuto nell insieme B (A è un sottoinsieme di B) A B L insieme A contiene l insieme B (B è un sottoinsieme di A) A B L insieme A è strettmente contenuto nell insieme B (A è un sottoinsieme di B e A B) A B L insieme A contiene strettmente l insieme B (B è un sottoinsieme di A e A B) L negzione di questi simoli si ottiene rrndoli A, A B, etc. Simolo che, nell descrizione di un insieme per proprietà crtteristic, si legge tle che Insieme vuoto Se A {, } e B {d, e} llor llor A B {(, d), (, e), (, d), (, e)} Esercizi Us lo spzio dell pgin successiv per svolgere gli esercizi che seguono.. Rppresent, in tutti i modi possiili i seguenti insiemi.. L insieme delle vocli dell prol slmone. L insieme dei divisori di 0. c. L insieme dei numeri interi compresi fr, incluso, e, escluso.. Dti gli insiemi A e B, stilisci se A è un sottoinsieme di B e, in cso ffermtivo, specific se si trtt di un sottoinsieme proprio o improprio.. A { N < < } e B { N }. A { Z < 9} e B { Z - < } c. A è l insieme dei divisori di, B l insieme dei divisori di 0.. Dti gli insiemi A { è un vocle dell prol unione } e B { è un vocle dell prol rgione }, rppresent in tutti i modi possiili gli insiemi AI B, AU B, A \ B.. Dti gli insiemi A { N } e B { N < < 7}, rppresent in tutti i modi possiili gli insiemi AI B, AU B, A \ B.. Si A l insieme dei multipli di e B l insieme dei multipli di ; rppresent, medinte proprietà crtteristic, l insieme AI B.. Dti gli insiemi A {,, c, d}, B {c, d} e C {,, d} rppresent per elenczione A \ B, B \ A, ( U B) I C AU ( BI C). È vero che A \ B B \ A? E che ( A U B) I C AU ( BI C)? 7. Dti gli insiemi A {,, c}, B {, }, rppresent in tutti i modi possiili. E vero che A B B A?. Vero o flso? Se A B, llor AI B A V F Comunque scelti due insiemi non vuoti A e B, risult A \ B B \ A V F Se A B, llor AU B B V F Se A B e BI C, llor AI C V F A,

16 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni Insiemi 7

17 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni GEOMETRIA PIANA Angoli Ripssimo Angolo Ciscun delle due prti in cui il pino rest diviso d due semirette venti l stess origine, comprese le semirette stesse. Angoli consecutivi Due ngoli che hnno lo stesso vertice e hnno in comune soltnto i punti di un lto. Angoli dicenti Due ngoli consecutivi tli che i lti non comuni pprtengono ll stess rett. α β Angolo nullo L ngolo formto d due semirette coincidenti che non contiene ltri punti oltre lle semirette stesse. α β Angolo pitto Ciscuno dei due ngoli formti d due semirette opposte. Angolo giro L ngolo formto d due semirette coincidenti e che corrisponde ll intero pino. Angoli opposti l vertice Due ngoli tli che i lti dell uno sino i prolungmenti dei lti dell ltro. α β 7

18 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni GEOMETRIA PIANA I segmenti Ripssimo Segmento di estremi A e B E l insieme di tutti i punti dell rett per AB compresi tr A e B, inclusi A e B A B Segmenti consecutivi Sono due segmenti che hnno in comune uno ed un solo estremo B A C Segmenti dicenti Sono due segmenti consecutivi che pprtengono ll stess rett B C A Convessità e concvità Se un figur F è tle che, comunque scelti due punti P e Q pprtenenti d F, il segmento PQ è intermente contenuto in F llor l figur si dice convess; ltrimenti si dice concv. concv convess Prov tu. Vero o flso? In riferimento ll figur qui finco, stilisci quli ffermzioni sono vere e quli flse. D. AC e CB sono consecutivi V F. AC e CB sono dicenti V F c. AC e CD sono consecutivi V F d. CB e CD sono dicenti V F e. AB e CD sono consecutivi V F A C B

19 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni GEOMETRIA PIANA I segmenti. Descrivendo esttmente l situzione spieg perché i segmenti AB e CD in ciscun dell seguenti figure non sono consecutivi D D D A B A B A B C C C fig. fig. fig. nell fig. nell fig. nell fig.. Per ciscun delle seguenti figure, spieg con esttezz perché i segmenti AB e CD non sono dicenti. C D A B fig. D A B C D fig. A B C fig. nell fig. nell fig. nell fig. 9

20 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni GEOMETRIA PIANA Poligoni Ripssimo Poligono Dt un poligonle chius e non intreccit, in cui ogni vertice pprtiene esttmente due lti dell poligonle, si chim poligono l figur formt dll poligonle e di punti l suo interno. vertice POLIGONO lto È un segmento che congiunge due punti del contorno del poligono pprtenenti lti distinti cord Cord È un segmento che congiunge due suoi vertici non consecutivi.. Digonle digonle È un ngolo individuto d due lti consecutivi del poligono e dl vertice in comune. ngolo interno Angolo interno È un ngolo dicente d un ngolo interno ed individuto dl prolungmento del lto. ngolo esterno Angolo esterno ngolo interno 0

21 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni GEOMETRIA PIANA Poligoni Congruenz, equiscomponiilità, equivlenz due poligoni sono congruenti se è possiile sovrpporli punto per punto medinte un movimento rigido; due poligoni sono equiscomponiili se possono essere scomposti in prti (cioè in poligoni) due due congruenti; due poligoni si dicono equivlenti se hnno l stess estensione (cioè l stess re). Ecco un esempio i due poligoni dell figur sono equivlenti poiché possono essere scomposti in tringoli ordintmente congruenti. Ricord le definizioni di convessità e concvità che imo dto nell sezione SEGMENTI vlgono evidentemente nche per i poligoni. Prov tu. Complet l seguente tell Figur E un poligono? Si No, perché Si No, perché Si No, perché Si No, perché

22 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni GEOMETRIA PIANA Poligoni. Complet. Un poligono di cinque lti si chim.. Un ettgono è un poligono vente lti c. Un poligono vente sei lti si chim d. Un decgono è un poligono vente... lti. Verific che i poligoni dell seguente figur sono equiscomponiili, e quindi equivlenti, individundo un loro scomposizione in poligoni due due congruenti.. Disegn un poligono convesso ABCDEFGH vente otto lti. Poi trcci. due digonli che hnno un punto in comune e un cord che intersec entrme le digonli;. l ngolo interno di vertice B e gli ngoli esterni di vertice E.. Disegn un trpezio rettngolo che si scomponiile in tringoli rettngoli congruenti.. Disegn un poligono concvo vente sei lti.

23 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni GEOMETRIA ANALITICA Pino crtesino Ripssimo Pino crtesino ortogonle monometrico (d ssi perpendicolri e con l stess unità di misur) E un pino geometrico dove è stto fissto un sistem di riferimento così costruito si considerno nel pino due rette perpendicolri e si chim origine O il loro punto di intersezione; su ciscun di esse si fiss un sistem di coordinte vente origine in O, orientndo l rett che ppre orizzontle (sse ) verso destr e quell che ppre verticle (sse ) verso l lto. ordint sse O P(,) sse sciss Associzione punto-coppi (corrispondenz iunivoc) Ad ogni punto P del pino corrisponde un coppi ordint (,) di numeri reli e vicevers; si chim sciss ed ordint del punto P. Che cos sono i qudrnti Sono le quttro prti in cui il pino rest diviso dgli ssi. Essi vengono numerti in senso ntiorrio. Si conviene che gli ssi non pprtengno i qudrnti II qudrnte I qudrnte o III qudrnte IV qudrnte Alcuni esempi u A (, ) B (, ) C, C A 0 B

24 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni GEOMETRIA ANALITICA Pino crtesino Prov tu. Determin le coordinte dei punti A, B, C, e D rppresentti nell figur (ttento i segni!) u A B A (..,..) B (..,..) C (..,..) D (..,..) D C. Rppresent nel pino crtesino i seguenti punti 7 A(, ); B, ; C, ; D, u 0

25 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni GEOMETRIA ANALITICA Pino crtesino. Vero o flso?. il punto A(, ) pprtiene l qurto qudrnte V F 7. il punto B, pprtiene l qurto qudrnte V F c. ogni punto dell sse h sciss ugule zero V F d. l origine è l unico punto dell sse di sciss null V F. Disegn nel pino crtesino il tringolo di vertici A(0, ), B(, 0), C(, ).. Disegn nel pino crtesino il qudriltero ABCD di vertici A(, 0), B(, 0), C(, ), D(, ) Di che tipo di qudriltero si trtt? Spresti motivre l tu rispost? 0

26 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni GEOMETRIA Sched di verific finle. Se lo conosci, prov spiegre il significto dei seguenti termini concetto primitivo. ssiom.. teorem. Elenc tutti i segmenti e tutte le semirette che si possono individure nell figur qui finco. segmenti semirette A B D C Ricord che per indicre un ngolo puoi usre tre lettere l second delle quli deve essere il suo vertice; d esempio AĈB B C ngolo AĈB A D. Nell figur qui finco individu C. tutti gli ngoli;. tutte le coppie di ngoli dicenti; c. tutte le coppie di ngoli consecutivi. A B E tutti gli ngoli coppie ngoli dicenti c coppie ngoli consecutivi

27 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni GEOMETRIA Sched di verific finle. Esistono segmenti consecutivi m non dicenti? Si, per esempio... No, perché... L ngolo α è di un ngolo pitto e l ngolo β è di un ngolo pitto. Qul è l mpiezz dell ngolo αβ? Qul è l mpiezz dell ngolo α β?. Può esistere un tringolo i cui lti sono lunghi 0 cm., cm. e cm.? E un tringolo i cui lti sono lunghi 7 cm., cm. e cm.? Giustific ccurtmente le tue risposte. 7. Qul è l mpiezz dell somm degli ngoli interni di un poligono di 0 lti? Conosci un regol generle per determinre tle somm per un poligono con un numero n di lti?. Qul è l mpiezz di ciscuno degli ngoli interni di un tringolo rettngolo isoscele? 9. Si ABC un tringolo rettngolo isoscele di ipotenus BC. Si P un punto di BC tle che AB BP. Qul è l mpiezz dell ngolo PÂC? 0. Stilisci se le seguenti figure sono convesse o concve. concv convess concv convess concv convess concv convess 7

28 Liceo Scientifico E. Mjorn Guidoni GEOMETRIA Sched di verific finle. Sul pino crtesino determin perimetro ed re del qudriltero individuto di quttro punti A(, ); B(, ); C(, ); D(, ). 0