SPEZZATA. Si chiama spezzata una figura costituita da due o più segmenti consecutivi non adiacenti. A, B, C, D, E. Vertici AB, BC, CD, DE,..

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1 Poligoni e triangoli

2 SPEZZATA Si chiama spezzata una figura costituita da due o più segmenti consecutivi non adiacenti B A D E A, B,, D, E. Vertici AB, B, D, DE,.. Lati

3 Una spezzata può essere aperta chiusa quando il primo vertice coincide con l ultimo Spezzata aperta Spezzata chiusa (Poligonale)

4 POLIGONO Si chiama poligono la figura formata da una poligonale e dalla parte finita di piano delimitata dalla stessa. Lati Vertici ontorno

5 Definizione: TRIANGOLI Si chiama triangolo un poligono di tre lati B A

6 LASSIFIAZIONE TRIANGOLI In base ai lati :scaleno, isoscele, equilatero Scaleno Isoscele Equilatero In base agli angoli :acutangolo, rettangolo, ottusangolo Acutangolo Rettangolo Ottusangolo

7 DEFINIZIONI SUI TRIANGOLI Mediana: si chiama mediana relativa ad un lato il segmento che congiunge il punto medio del lato con il vertice opposto Baricentro Baricentro: punto di intersezione delle mediane relative ai tre lati

8 DEFINIZIONI SUI TRIANGOLI Bisettrice: si chiama bisettrice relativa ad un lato il segmento che congiunge il lato con il vertice opposto sulla semiretta bisettrice dell angolo. Incentro Incentro: punto di intersezione delle tre bisettrici

9 DEFINIZIONI SUI TRIANGOLI Altezza: si chiama altezza relativa ad un lato il segmento che congiunge il vertice opposto con il lato formando con esso due angoli retti Ortocentro Ortocentro: punto di intersezione delle tre altezze

10 TRIANGOLI ONGRUENTI Due triangoli si dicono congruenti se possono essere sovrapposti uno sull altro mediante un movimento rigido A B B A

11 TRIANGOLI ONGRUENTI Due triangoli si dicono congruenti se possono essere sovrapposti uno sull altro mediante un movimento rigido

12 TRIANGOLI ONGRUENTI I triangoli congruenti hanno i lati e gli angoli ordinatamente congruenti AB DE B EF A DF A D B E F A B E D F

13 I RITERIO DI ONGRUENZA DEI TRIANGOLI Se due triangoli hanno due lati e l angolo compreso congruenti allora sono congruenti A B B β' A α' γ' Se AB A B A A Risulta anche: B B

14 ESERITAZIONE Dato un triangolo qualunque AB, tracciamo la mediana AM e prolunghiamola, dalla parte di M, di un segmento MD AM. Dimostrare che BD A e che D AB A M B Hp: M MB AM MD Th: BD A D AB D

15 II RITERIO DI ONGRUENZA DEI TRIANGOLI Teorema: Due triangoli che hanno un lato e i due angoli ad esso adiacenti congruenti sono congruenti A B B β' Hp: A A e A α' γ' Th: B B AB A B

16 PROPRIETA DEL TRIANGOLO ISOSELE Teorema: in un triangolo isoscele gli angoli adiacenti alla base sono congruenti A Hp: AB B (il triangolo è isoscele) Th: AB AB Dimostrazione AB B per ipotesi B T \ AT AT per la proprietà riflessiva della congruenza BAT AT perché AT è la bisettrice per costruzione Bisettrice I triangoli ABT e AT risultano congruenti per il primo criterio di congruenza

17 PROPRIETA DEL TRIANGOLO ISOSELE Teorema: in un triangolo isoscele gli angoli adiacenti alla base sono congruenti A I triangoli ABT e AT risultano congruenti per il primo criterio di congruenza perché hanno due lati e l angolo compreso congruenti Poiché ABT AT allora ne consegue che B Bisettrice T AB AB perché angoli omologhi di triangoli congruenti Resta pertanto dimostrata la tesi.v.d. (ome Volevasi Dimostrare)

18 PROPRIETA DEL TRIANGOLO ISOSELE Teorema inverso: se un triangolo ha due angoli congruenti allora è isoscele B A Th: il triangolo è isoscele cioè AB B Dimostrazione Hp: AB AB onsideriamo i triangoli TB e SB B B per la proprietà riflessiva della congruenza BT S per costruzione TB SB perché angoli supplementari di angoli congruenti T S I triangoli TB e SB risultano congruenti per il primo criterio di congruenza (due lati e l angolo compreso)

19 PROPRIETA DEL TRIANGOLO ISOSELE Teorema inverso: se un triangolo ha due angoli congruenti allora è isoscele A Poiché TB SB risulta BS T e TB SB onsideriamo i triangoli ASB e AT BS T per la precedente dimostrazione BAS AT perché angoli coincidenti ABS AT perché somma di angoli B congruenti AB + SB AB + TB I triangoli ASB e AT risultano congruenti per il secondo criterio di congruenza (due T S angoli e il lato compreso congruenti) Pertanto in particolare risulta AB B che è la tesi.v.d.

20 III RITERIO DI ONGRUENZA DEI TRIANGOLI Teorema: Due triangoli che hanno i tre lati ordinatamente congruenti sono congruenti A B B A α' β' γ' Hp: AB A B A A B B Th: