Onde elettromagnetiche

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1 Onde elettromagnetiche prof. Paolo Sarti Liceo Scientifico Statale A. Volta Milano, 2/207 Generalità Indicando con Ω un arbitraria superficie chiusa e con S una qualunque superficie avente come contorno una linea chiusa l, le equazioni di Maxwell nel vuoto sono: Φ Ω (E) = q Ω ɛ 0 Φ Ω (B) = 0 Γ l (E) = dφ S(B) Queste, in assenza di cariche e correnti divengono: ( dφ Γ l (B) = µ 0 i l + ɛ S (E) 0 Φ Ω (E) = 0 Φ Ω (B) = 0 Γ l (E) = dφ S(B) Γ l (B) = ɛ 0 µ 0 dφ S (E) dove risulta evidente la simmetria dei ruoli svolti dai campi E e B. In particolare, dalla seconda coppia di equazioni emerge che un campo magnetico variabile genera un campo elettrico (indotto) a circuitazione non nulla e quindi variabile, che a sua volta genera un campo magnetico variabile e così di seguito. In altre parole, la variazione reciproca dei due campi si autosostiene e può durare un tempo indefinito. Inoltre, il fenomeno non rimane confinato nel punto in cui ha avuto luogo la prima variazione, ma si propaga nello spazio, dato che i campi elettrici e magnetici indotti si formano in regioni via via più lontane. La perturbazione associata ad un campo elettromagnetico variabile si chiama onda elettromagnetica. Il modo più semplice per generare un onda elettromagnetica è quello di accelerare una carica elettrica. Immaginiamo ad esempio di collocare una carica puntiforme nell origine di un sistema di riferimento, ferma all istante t = 0. Supponiamo che dopo t secondi la carica inizi ad oscillare di moto armonico lungo l asse z. Dopo aver compiuto un certo numero di oscillazioni, all istante t 2 la carica ritorna nuovamente nell origine, dove si ferma, senza più muoversi. Prima dell istante t e dopo l istante t 2 il campo è puramente elettrostatico, in quanto prodotto da una carica elettrica ferma. ).

2 Nell intervallo di tempo da t a t 2, la carica in movimento genera anche un campo magnetico variabile, che si propaga nello spazio in tutte le direzioni. Il fronte d onda è una sfera che si dilata proporzionalmente al tempo trascorso dall istante in cui la carica è stata accelerata. Un punto a distanza d dall origine rileverà la variazione del campo con un ritardo tanto maggiore quanto più il punto è distante dall origine. Se v indica la velocità di propagazione dell onda elettromagnetica, tale ritardo vale: t = d v. L informazione che la carica ha subito un accelerazione si propaga nello spazio assieme al fronte d onda, che è una sfera di raggio r (t) = v(t t ). Allo stesso modo, l informazione che la carica si è fermata viaggia su un altro fronte d onda, sferico e concentrico al precedente, di raggio: r 2 (t) = v(t t 2 ). Il campo elettromagnetico variabile, cioè l onda, è contenuta tra i due fronti d onda e si propaga anch essa con velocità v. 2 Velocità di propagazione Maxwell osservò che il fattore costante della rapidità di variazione del flusso elettrico nella quarta equazione) ha le dimensioni dell inverso del quadrato di una velocità. Ne segue che il reciproco della radice quadrata del prodotto delle due costanti esprime una velocità: ɛ0 µ 0 = 2, m/s, () cioè la velocità di propagazione della luce nel vuoto. Tale valore, comunemente indicato con c, era stato ottenuto negli anni con gli esperimenti di Fizeau e Foucault. Questa scoperta mostrò che la luce è un fenomeno elettromagnetico. La velocità di propagazione del campo elettromagnetico nella materia assume valori minori che nel vuoto, infatti: v = ɛµ = ɛ0 ɛ r µ 0 µ r = c ɛr µ r e poiché per tutte le sostanze: ɛ r µ r >, ne segue che: v < c. Essendo la velocità di propagazione molto elevata, il ritardo nella propagazione dell interazione su distanze terrestri è di modestissima entità. Diventa però assai rilevante nell osservazione di eventi accaduti in luoghi molto lontani, ad esempio su scala cosmica, perché corrisponde ad una osservazione del passato. La velocità finita di propagazione della luce rende inadeguato il concetto di simultaneità, e si può così comprendere perché la teoria elettromagnetica sia strettamente connessa con la teoria della relatività. Le onde elettromagnetiche sono onde trasversali, cioè le direzioni di propagazione e quelle di oscillazione (cioè quelle dei campi elettrico e magnetico) 2

3 x y λ B E z Figura : Il profilo di un onda e. m. che si propaga nella direzione positiva dell asse +z. Il campo elettrico oscilla nella direzione x e il campo magnetico nella direzione y (l illustrazione è tratta da: Introduzione all uso di TikZ in Ingegneria, di Claudio Fiandrino). sono mutuamente perpendicolari. Il vettore velocità di propagazione dell onda forma, assieme al campo elettrico e al campo magnetico una terna destrorsa. In base alla regola della mano destra, orientando il pollice nel verso di E e l indice secondo quello di B, la velocità di propagazione dell onda ha la direzione e il verso del dito medio disteso nel piano ortogonale a quello individuato da pollice e indice, ovvero v ha lo stesso verso di E B. La velocità dell onda elettromagnetica in figura è diretta come l asse z. 3 Spettro elettromagnetico Nello spettro elettromagnetico sono classificate le radiazioni (onde) elettromagnetiche in base alla frequenza f (in Hz) o alla lunghezza d onda λ (in m). La frequenza della radiazione è caratteristica della sorgente. Ricordo che per un onda periodica sussiste la relazione fondamentale: v = λ f. (2) Nello spettro elettromagnetico si distinguono alcune regioni, chiamate: onde radio, microonde, infrarosso, visibile, ultravioletto, raggi X e raggi gamma; le loro caratteristiche vengono brevemente descritte di seguito. I confini tra le regioni sono indicativi. 3

4 Onde radio. Sono onde elettromagnetiche con frequenze minori di 0 0 Hz, usate quasi esclusivamente per trasmissioni di informazioni e segnali. Microonde. Impiegate per il riscaldamento dei cibi, per comunicazioni telefoniche e nelle tecnologie wi-fi e Bluetooth. La banda di frequenze è: 0 9 Hz < f < 3 0 Hz. Infrarosso (IR). Le radiazioni infrarosse hanno frequenze all incirca da 3 0 Hz a 3, Hz. Sono tipicamente emesse da corpi caldi, spesso infatti vengono qualificate come radiazione termica. Sono impiegate con vari scopi, quali: diagnostica, mappe termiche, mirini di precisione per armi, oltre che nei comuni telecomandi per televisori, videoregistratori, ecc. Visibile. Sono le onde elettromagnetiche a cui sono sensibili i nostri occhi e pressoché tutti gli esseri viventi, quindi costituiscono la luce propriamente detta. La regione del visibile si estende nell intervallo di lunghezze d onda da circa 380 nm del violetto a circa 780 nm del rosso. Le frequenze corrispondenti si ottengono dall equazione (2) usando il valore di c dato dalla (), ottenendo: 3, Hz < f < Hz. Ultravioletto (UV). Radiazione benefica per la pelle in basse dosi, stimola la produzione di melanina e quindi produce l abbronzatura. In dosi elevate può aumentare la probabilità di sviluppare tumori della pelle, tra cui il melanoma. La radiazione UV ha inoltre azione germicida e viene impiegata per sterilizzazione e per rendere l acqua potabile o per curare alcune patologie dermatologiche. Appartengono alla categoria delle radiazioni ionizzanti. Le frequenze sono comprese nell intervallo: Hz < f < Hz. Raggi X. Utilizzati in medicina a scopo diagnostico nelle comuni radiografie (RX) perché sono assorbiti dalle ossa, mentre attraversano facilmente i tessuti molli, permettendo quindi di ottenere delle immagini dell interno del corpo visualizzando le regioni più opache perché più dense. Trovano impiego anche in ambito industriale (analisi di integrità di strutture) e artistico per il restauro di opere d arte. I raggi X vengono comunemente prodotti facendo collidere elettroni veloci su un bersaglio metallico (Bremsstrahlung). Sono radiazioni ionizzanti come l UV, ma con frequenze ancora maggiori, quindi più energetiche e penetranti e l esposizione prolungata può provocare danni alla salute. Sono anche impiegati per distruggere le cellule tumorali in caso di patologie localizzate (radioterapia). I raggi X hanno frequenze comprese nell intervallo: Hz < f < Hz. 4

5 Raggi gamma. Sono originati da reazioni nucleari e sono ancora più energetici e penetranti dei raggi X. Vengono tipicamente prodotti nell esplosione di bombe termonucleari. Possono essere impiegati in radioterapia; hanno frequenze maggiori di 0 9 Hz. 4 Energia di un onda elettromagnetica La densità di energia associata ad un onda elettromagnetica è data dalla somma delle densità di energia elettrica e magnetica: e poiché queste sono equamente ripartite, cioè: risulta: u = u E + u B = 2 ɛ 0E 2 + B2 2µ 0 (3) 2 ɛ 0E 2 = B2 2µ 0 (4) E = cb (5) e si può riscrivere la (3) in una delle due forme equivalenti: u = ɛ 0 E 2 oppure: u = B2 µ 0. (6) Poiché in un onda elettromagnetica le intensità dei campi elettrico e magnetico variano nel tempo con legge sinusoidale, cioè: E(t) = E 0 sin(ωt), B(t) = B 0 sin(ωt), (7) dove E 0 e B 0 indicano i valori massimi (ampiezze) delle intensità dei campi, la (3) o le (6) esprimono il valore istantaneo della densità di energia, mentre il valore medio u è dato da: u = ɛ 0 E 2 = ɛ 0 E 2 0 sin2 (ωt). (8) Ricordo che il valore medio di una funzione f (x) in un intervallo [a, b] è dato da: In particolare: f [a,b] = b f (x) dx. (9) b a a sin 2 x [0,2π] = 2π sin 2 x dx = [ x 2π 0 2π 2 ] 2π sin 2x = (0) 5

6 Si chiama valore efficace di una grandezza periodica con valor medio nullo, la radice quadrata del valore medio del quadrato della grandezza stessa, in simboli: E eff. = E 2 = E 0, B eff. = B 2 = B 0. () 2 2 La (8) diviene quindi: u = 2 ɛ 0E 2 0. (2) Una grandezza essenziale nello studio della radiazione elettromagnetica è l intensità (o irradiamento) S, definita come la quantità di energia radiante E che attraversa perpendicolarmente una superficie unitaria nell unità di tempo: S = E A t = P A. (3) Poiché nell intervallo di tempo t, l onda elettromagnetica percorre la distanza x = c t, nel volume c t A è contenuta l energia: u c t A. L irradiamento diviene quindi: S = cu e il suo valore medio è dato da: S = cu = 2 cɛ 0E 2 0. (4) La costante solare C misura l irradiamento elettromagnetico medio prodotto dal Sole sulla Terra: C = 350 W/m 2. (5) 5 Quantità di moto e pressione di radiazione La quantità di moto q associata a un onda elettromagnetica è data da: q = E c. (6) Quando un onda elettromagnetica incide perpendicolarmente su una superficie piana di area A, trasmette a quest ultima un impulso pari a: q = E c = cua t c = SA t c e a questo, per la seconda legge di Newton, corrisponde una forza media di intensità: F = q t = SA c. (8) Ricordando infine, che la pressione è una forza media per unità di area, ovvero: (7) p = F A, (9) o valore quadratico medio, in inglese: root mean square, spesso scritto con l acronimo rms. 6

7 la quantità: p rad. = S c (20) viene detta pressione di radiazione. 7