Esame di Stato di Liceo Scientifico Corso di Ordinamento

Transcript

1 Corso di Ordinamento Soluzione dei Temi di Matematica proposti nella Sessione Ordinaria 8

2 Sessione Ordinaria 8 Corso di Ordinamento Sommario Problema Punto a) Punto b) Punto c) Punto d) 5 Problema 6 Punto a) 6 Punto b) 7 Punto c) 7 Punto d) 7 Questionario Quesito Quesito Quesito Quesito Quesito 5 Quesito 6 Quesito 7 Quesito 8 Quesito 9 Quesito

3 Sessione Ordinaria 8 Corso di Ordinamento Problema Punto a) Il triangolo è la metà di un triangolo equilatero e risulta: a AC e BC a Inoltre è AP AR a x e BP BQ x Le limitazioni da imporre vengono specificate dal sistema di disequazioni: x a a a x x a Dovendo essere verificata la prima disequazione, la terza risulta vera e, pertanto il sistema si riduce a: x a x a da cui: a a a a x a x a Pertanto le limitazioni da imporre sono che x a; a Punto b) L area S del quadrilatero mistilineo PQCR la si può determinare come differenza tra l area del triangolo ABC e dei settori circolari APR e PBQ Pertanto risulta: a S( x) a a x x 6 ossia: S x x ax a con la limitazione x a; a 8 6 La funzione S x è una parabola concava e, pertanto, assume il valore massimo nell ascissa del suo vertice ossia per x a suo dominio; risulta: S a a a a a a a Per determinare il minimo, calcolo i valori di S x negli estremi del

4 Sessione Ordinaria 8 Corso di Ordinamento S a a a a a a a Essendo S a S a fa funzione Sx assume il valore minimo per x a Punto c) Costruito il rettangolo come in figura e posto DE FG x con x risulta: AE x ; GB x da cui y a x x a x Pertanto l area del rettangolo GFDE è: A x x y x a x ax x x a e EG DF y, x y x a, donde con la limitazione x ; a Anche la funzione A x è una parabola concava e, pertanto il massimo lo assume per a x a, il cui valore è 8 8 A a a a a

5 Sessione Ordinaria 8 Corso di Ordinamento Punto d) Assunto un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con l origine nel punto A e l asse delle ascisse parallelo ad AB, le rette AC e BC hanno equazione rac : y x e rbc : y x a a Il loro punto d intersezione è C la cui ascissa è xc (risolvendo il sistema costituito dalle equazioni delle due rette suddette) a Il solido W ha come sezioni dei quadrati di lato x per x e x a per a x a I volumi infinitesimi sono: a dvs x dx per x a dvd x a dx per x a Il volume del solido W è: a a a a a W dvs advd x dx a x a dx x x ax a x a a a a a a a a a a 5

6 Sessione Ordinaria 8 Corso di Ordinamento Problema Punto a) Assumo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con l origine nel punto C e l asse delle ascisse lungo AB Le due semicirconferenze hanno equazione: : y x, : y x Indicati con D e E i loro punti d intersezione, tali punti hanno coordinate: D ; E ; y x ottenibili risolvendo il sistema, y x o più semplicemente, data la simmetria della figura rispetto alla retta y, il sistema y x y L area richiesta è data da: dx dx x dx x dx x dx x dx x x dx Per calcolare x dx, pongo x sin t da cui t arcsin x e dx cos tdt Osservato che, per considerare la funzione arcsin x, deve essere x ; intervallo risulta cost sin t e che: per x t e che in tale per x t arcsin si ottiene che: dx dx x dx cos tdt cos t dx t sin t sin 6

7 Sessione Ordinaria 8 Corso di Ordinamento Punto b) Risulta: S' x I punti PQRS hanno coordinate Punto c) Preso un punto Px, y nel primo quadrante, appartenete alla semicirconferenza, l area del rettangolo PQRS inscritto nel semicerchio è: S x xy con la condizione che x Dovendo P risulta S x x x Determino la derivata prima di y x da cui Sx Risulta: x x S x x x x ' x ; Pertanto il rettangolo di area massima lo si ha per P,, Q Nel sistema di riferimento scelto, la semicirconferenza è metà circonferenza goniometrica Pertanto, imposto che x ;, risulta: PH sin x, CH cos x e,, R AH cos x Le aree richieste sono: S x AHPH sin x cos x e S x CH PH sin x cos x S x AHPH cos Il rapporto tra le aree è: AH x f x S x CH PH CH cos x Punto d), e S x, Studio della funzione f x cos x cos x Dovendo x ; cosx può essere negativo 7

8 Dominio Posto cos x, da cui Esame di Stato di Liceo Scientifico Sessione Ordinaria 8 Corso di Ordinamento x k con k, il dominio della funzione è Df \ k k Periodicità cos x cos Risulta f x cos cos f x periodo T x x x e, pertanto la funzione è periodica di Simmetrie cosx cos x Risulta f x f x e, pertanto la funzione è pari cosx cos x I risultati dei due punti precedenti mi consentono di studiare la funzione nell intervallo ; Segno Intersezioni con gli assi cartesiani L intersezione con l asse delle ordinate è il punto, Le intersezioni con l asse delle ascisse si ottengono ponendo f x cos x ; y y P k, con k da cui i punti X La funzione risulta strettamente positiva x D \ k f k Discontinuità Comportamento negli estremi del dominio cos x cos x Risulta e lim e,pertanto, le rette xlim cos x x cos x k, sono asintoti verticali x k, con Studio della monotonia Massimi e minimi relativi Determino la derivata prima cos x sin x cos x cos x sin x sin cos cos ' cos x x x x f x cos x cos x cos x sin x cos x cos x tgx cos x cos x Pertanto f ' x quando tgx ossia per x k; k con k Nei punti di ascissa x k con k, la funzione presenta dei minimi le cui coordinate sono:, m k, m k e p d Convessità, concavità, punti di flesso Calcolo la derivata seconda 8

9 Sessione Ordinaria 8 Corso di Ordinamento cos x sin cos cos sin cos cos x x x x x x f '' x tgx cos x cos x cos x cos x cos x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x cos x tgx sin cos x cos x cos x cos x cos x cos x e, pertanto, la funzione è convessa x Df Grafico x 9

10 Sessione Ordinaria 8 Corso di Ordinamento Questionario Quesito Il Principio di Cavalieri afferma: Se due solidi, aventi la stessa altezza, tagliati da un fascio di piani paralleli alle basi, intercettano su di essi sezioni di area uguale, allora essi hanno uguale volume La proposizione del quesito è la proposizione inversa del suddetto principio che, in generale, non è vera È sufficiente considerare un cubo di lato uguale a e un parallelepipedo di dimensioni e di base e 8 di altezza I due solidi hanno lo stesso volume, ma considerato un fascio di piani paralleli alla base d appoggio dei due solidi, il cubo viene sezionato in quadrati di lato il parallelepipedo in rettangoli di dimensioni e Quesito Si consideri la circonferenza goniometrica (circonferenza di raggio unitario e centro nell origine ^ degli assi cartesiani), si tracci l angolo di ampiezza AOP 8 e il suo opposto ^ AOP' 8 Risulta sin ^ PH L angolo POP ' ha ampiezza 6, di conseguenza 5 PP ' PH è il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza goniometrica La parte aurea di un segmento è la parte del segmento media proporzionale tra il segmento e la parte restante, pertanto il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r è l 5 r Nel nostro caso risulta 5 5 sin PH PP ', come richiesto

11 Sessione Ordinaria 8 Corso di Ordinamento Quesito Indico con x il raggio di base della casseruola, con h l altezza ed con S la superficie (quella laterale più il fondo), risulta S x x h Esplicitando l altezza ottengo: S x h x Il volume della casseruola cilindrica risulta: S x V x x h x Sx x x La derivata prima di V x è: V ' x S x S e risulta V' x per x ; Pertanto il volume massimo si ha quando la casseruola ha un S raggio di base r ed un altezza S S S S x S S S h x S S 9S S ossia quando l altezza è uguale al raggio di base Quesito Enunciato del teorema di de L Hôpital x punto di accumulazione per I Siano f : I e g: I Siano I, due funzioni tali che: V intornodi x taleche x V I f ' x e g ' x ; x lim f x lim g x oppure lim f x lim g x xx xx esiste il Allora esiste il lim xx lim xx f f g ' x ' x x g x e risulta xx xx f x f ' x lim lim xx ' g x xx g x ; Il teorema ha validità anche se x è un punto di accumulazione solo destro o solo sinistro per I Il limite proposto lo si determina applicando de L Hôpital 8 volte ottenendo: 8 7 x H 8 x H H 8! lim lim lim x x x 8 x ln x x ln

12 Sessione Ordinaria 8 Corso di Ordinamento Quesito 5 Siano a, a, a, a tali che P' x a x a x a Osservato che e che P x a x a x a x a a x a x a x a dx a x a x a x a x a a a a impongo le condizioni P a P' a P aa donde il sistema: a a aa aa la cui soluzione è,,, P x dx a a Quesito 6 Il polinomio richiesto è Px x x Ricordando che tre o più numeri sono in progressione aritmetica quando la differenza tra un termine e il precedente è costante, si ottiene l equazione: n n n n da cui, per la definizione di coefficiente binomiale, nn nn n n n n 6 ossia, scartando la soluzione n, n 6 n n n ovvero n 9n, le cui soluzioni sono n (non accettabile) e n 7 Pertanto il valore richiesto è n 7 Quesito 7 L equazione proposta è equivalente alla parametrico: f x x x f x k x x k Posto f x k si ottiene il sistema

13 La funzione Esame di Stato di Liceo Scientifico Sessione Ordinaria 8 Corso di Ordinamento f x x x e una funzione definita e continua in tutto, non presenta particolari simmetrie, è negativa x,,, nulla per x e x e positiva x, presenta asintoti La sua derivata è f ' x x 6x e, pertanto è crescente x,, decrescente x, m, Non, Presenta un massimo relativo nell origine e un minimo relativo nel punto Calcolando il valore del parametro per cui si ottengono le rette del fascio passanti per i punti estremanti, si può asserire che le soluzioni reali dell equazione proposta sono: Per k una soluzione negativa; per k tre soluzioni di cui due coincidenti uguali a, l altra negativa; per k tre soluzioni distinte, una negativa e due positive; per k tre soluzioni di cui due coincidenti uguali a, l altra positiva; per k una soluzione positiva Quesito 8 D, in quanto la funzione x è definita per x La funzione, per x, si annulla Determino il segno delle prime due derivate in tale punto Calcolo le derivate Risulta: f ' x x ln x x Il dominio della funzione è, x f '' x ln x x In particolare: f ' ln x ln in quanto essendo e risulta ln ;

14 Sessione Ordinaria 8 Corso di Ordinamento f '' ln ln ln per motivi analoghi a quelli della derivata prima Sotto viene riportato il grafico della funzione Quesito 9 Si rammenta che una funzione ammette limite in un punto se e solo se esistono e sono coincidenti i limiti sinistro e destro della funzione stessa Per la funzione proposta risulta: x x x lim lim lim x x x x x x x x x lim lim lim x x x x x x x Pertanto non esiste lim x x Quesito Disegnata la sezione della strada come un triangolo rettangolo risulta: BC 85 sin 78 AC da cui: arcsin ' 67''

15 Sessione Ordinaria 8 Corso di Ordinamento La pendenza viene rappresentata dal coefficiente angolare della retta AC espresso in percentuale Il coefficiente angolare della retta AC è dato da m tg tg78 7 e, quindi, la percentuale da riportare sul segnale è 7% 5