Una famiglia di piani è caratterizzata da: Orientazione del piano nel cristallo (indici di Miller) Distanza tra i piani (d hkl

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1 Reticolo reciproco E un concetto per certi versi astratto ma ci aiuta a capire i risultati degli esperimenti di diffrazione sui cristalli Il disegno di un reticolo cristallino diventerebbe rapidamente incomprensibile se disegnassimo tutti i possibili piani reticolari. Una famiglia di piani è caratterizzata da: Orientazione del piano nel cristallo (indici di Miller) Distanza tra i piani (d hkl )

2 Ciascuna famiglia di piani hkl è rappresentata da un unico punto nel reticolo reciproco

3 Il reticolo reciproco: importanza Lo spazio reciproco è lo spazio dell esperimento di diffrazione. L esempio in Figura è il patter di diffrazione di un cristallo raccolto su un film fotografico. Ciascun punto corrisponde a una famiglia di piani. La macchia centrale è l origine del reticolo reciproco

4 Regole di costruzione del reticolo reciproco: Si prende un origine comune, da cui partono i vettori che caratterizzano le normali ai piani. Si troncano i vettori a valori d 1 * e d 2 *, lunghi K/d 1 e K/d 2 (K è una costante arbitraria, normalmente pari a 1) d 1 * e d 2 * sono vettori del reticolo reciproco, si misurano in [Lunghezza] -1, ad esempio Å -1 Ne consegue che se d 1 = 0.5Å e K = 1, d 1 * = 1/0.5 Å = 2.0 Å -1 Quindi a vettori reali lunghi (distanze interplanari lunghe) corrispondono vettori reciproci corti (e viceversa).

5 cella unitaria del reticolo reciproco Terna assiale di riferimento a*, b*, c* a* = d* 100 al piano (bc) del reticolo diretto a* = 1/d 100 b* = d* 010 al piano (ac) del reticolo diretto b* = 1/d 010 c* = d* 001 al piano (ab) del reticolo diretto c* = 1/d 001 La terna (hkl) nello spazio diretto è associata ad una famiglia di piani paralleli, nello spazio reciproco indica le componenti del vettore d* hkl Nello spazio diretto i punti del reticolo sono definiti dai vettori r uvw = ua + vb + wc Nello spazio reciproco, d* hkl = ha* + kb* + lc*, le componenti del vettore reciproco sono gli indici di Miller (hkl)

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7 relazioni tra spazio diretto e spazio reciproco Prendiamo una cella monoclina. c* è perpendicolare al piano generato da a e b, quindi valgono le relazioni di prodotto scalare: c* a = 0 c* b = 0 Analogamente, per a* e b* valgono le relazioni: a* c = 0 e a* b = 0 b* a = 0 e b* c = 0

8 Invece, per c c* = c c* cos φ Dato che c* = 1/d 001 ; c cos φ = d 001 c c* = c c* cos φ = d 001 /d 001 = 1 e, analogamente, a a* = b b* =1 Quindi, si può definire spazio reciproco dello spazio reale quello generato dai vettori a*, b* e c*, tali per cui: a a* = 1 a b* = 0 a c* = 0 b a* = 0 b b* = 1 b c* = 0 c a* = 0 c b* = 0 c c* = 1

9 Raggi X Scoperti da Roengten nel 1895 La lunghezza d onda dei raggi X è dello stesso ordine di grandezza delle spaziature tra gli atomi in un cristallo E una radiazione ionizzante

10 I raggi X possono essere prodotti utilizzando due modi principali : Eccitazione di elettroni di core negli atomi Questo è il metodo usato nei tubi a raggi X, nei dispositivi di laboratorio Accelerazione di elettroni liberi Metodo usato nei sincrotroni

11 Tubo a raggi X W target X-rays Vacuum Come funziona: Elettroni prodotti da un filamento di tungsteno riscaldato (catodo) accelerati da una elevata ddp Colpiscono il bersaglio (anodo) costituito da un elemento metallico Vengono emessi raggi X Caratteristiche: Usato in laboratorio Costo ~ migliaia di Euro Richiede acqua e alta tensione

12 Spettro di emissione di un tubo a raggi X Radiazione bianca (Brehmsstralung) dovuta al frenamento e perdita di energia degli elettroni a seguito degli urti con gli atomi del bersaglio E max = ev = hv max = hc λ min λ hc ev V min = = λ misurato in Å V misurato in Volts L energia massima dei fotoni (e quindi la minima lunghezza d onda) dipende SOLO dall energia degli elettroni incidenti ed è indipendente dalla natura del materiale.

13 Radiazione caratteristica monocromatica prodotta quando gli elettroni hanno energia sufficiente a scalzare un elettrone da livelli di core N.B. Radiazione caratteristica compare solo se si supera una certa tensione di accelerazione

14 Simbologia usata per indicare la radiazione X prodotta in un tubo Kα Kβ 2p 1s 3p 1s Kα ha energia minore e intensità maggiore della Kβ

15 N.B. La radiazione Kα è in realtà un doppietto (2 possibili stati di spin) Kα 1 Kα 2 (Kα 1 ha intensità doppia rispetto a Kα 2 ) K β K α L α K L M L K α2 K α1 I II III Energy K state K α K β L state L α N state ground state

16 La lunghezza d onda della radiazione prodotta dipende dal Numero Atomico del metallo usato come bersaglio Legge di Moseley All aumentare di Z v = k( Z σ ) ν aumenta e λ diminuisce Elementi utilizzati come bersaglio e lunghezza d onda della radiazione X (Å) Anodo Kα 1 Kα 2 Kα Cr Fe Cu Mo Ag

17 La radiazione Kα è quella normalmente utilizzata per gli esperimenti di diffrazione di raggi X (è la più intensa) Come eliminare la Kβ e la radiazione bianca? Il modo più semplice è utilizzare un filtro I filtri sfruttano la variazione netta del coefficiente di assorbimento dei raggi X in corrispondenza di ben precisi valori di lunghezza d onda Anodo Kα(Å) Filtro Cr Fe Cu Mo Ag V Mn Ni Zr Pd Il filtro non elimina completamente la radiazione Kβ, che può essere completamente eliminata usando un cristallo monocromatore (sfrutta la legge di Bragg

18 Sincrotrone Come funziona: Un fascio di elettroni viene accelerato in un anello Viene prodotta radiazione elettromagnetica in direzione tangenziale all anello tangential downwards Caratteristiche: Usato in grandi infrastrutture Intensità molto più elevata della radiazione prodotta da un tubo Costi centinaia di milioni Euro

19 Elettra, Trieste ESRF, Grenoble