Si dimostra che queste funzioni godono delle proprietà delle norme (ossia sono norme).

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1 Norma di un vettore I Una norma vettoriale su R n è una funzione : R n R + {}, che associa ad ogni vettore x R n, di componenti x i, i = 1,..., n, uno scalare, in modo che valgano le seguenti proprietà: x per ogni x R n ; x = x = (se non vale tale proprietà si parla di seminorma); αx = α x α R e x R n ; x + y x + y (disuguaglianza triangolare). Segue che x y x y. In R n si definiscono le seguenti norme: n x 2 = i=1 x i 2 = x T x (norma euclidea) x = max i=1,n x i (norma uniforme o norma del massimo) x 1 = n i=1 x i Si dimostra che queste funzioni godono delle proprietà delle norme (ossia sono norme). V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 15 ] Norma di un vettore II In particolare per dimostrare la disuguaglianza triangolare per la norma euclidea è necessario dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: x T y n x i y i x 2 y 2 i=1 Esempio. Se x = (1, 1, 2) T allora x 2 = 6, x 1 = 4 e x = 2. Le norme 1, 2 e sono casi particolari di norma p, definita in generale da: ( n ) 1/p x p = x i p i=1 p 1 Questo vale anche per la norma uniforme perché si ha max x i i=1,...,n ( n i=1 dunque x = max i=1,...,n x i. x i p ) 1/p n 1/p max i=1,...,n x i e n 1/p p 1 V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 151 ]

2 Norma di un vettore Si dice sfera unitaria di R n rispetto a una norma il seguente insieme: S = {x R n x 1} In R 2, la sfera unitaria rispetto alle norme 2,1 e sono le seguenti: 1 p=2 1 p=1 1.5 p= S è un insieme convesso, ossia se x, y S, anche αx + (1 α)y S, per α (, 1). Infatti αx + (1 α)y α x + (1 α) y 1 Inoltre si dice che la norma è una funzione strettamente convessa se x + y = x + y x = αy La norma euclidea è una funzione strettamente convessa, la norma 1 e non lo sono (si veda norma 1 con x = (, 1) T, y = (1, ) T, x + y = (1, 1) T ). La norma è una funzione uniformemente continua delle sue componenti. V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 152 ] Norma di un vettore Definizione. Due norme + e si dicono equivalenti se esistono costanti positive A e B tali che per ogni x: x + A x x B x + Proprietà. x x 2 n x x x 1 n x x 2 x 1 n x 2 Teorema. In uno spazio di dimensione finita, tutte le norme sono equivalenti. Dunque in R n, che ha dimensione n <, tutte le norme sono equivalenti. V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 153 ]

3 Convergenza di una successione di vettori Definizione. Una successione di vettori {x (k) } R n si dice che converge a un vettore x per k se esiste una norma per cui lim k x (k) x =. Questa definizione è ben posta poiché tutte le norme sono equivalenti. Dunque se in una norma vale che lim k x (k) x =, allora vale in qualunque norma. Inoltre, lim x (k) = x lim x (k) i k k = x i lim x (k) x = k i = 1,..., n Esempio. Sia x (k) = (1/k, 1, 1/k 2 ) T : allora lim k x (k) = (, 1, ) T. V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 154 ] Calcolo della norma di un vettore (in Matlab) f u n c t i o n [ y ] = normvett ( x, p ) % normvett Calcolo d e l l a norma d i un v e t t o r e ( 1, 2 o uniforme ) % Calcolo d e l l a norma p d i un v e t t o r e x nei t r e casi p = 1, 2, o i n f i n i t o % (N. B. : e s i s t e l a funzione p r e d e f i n i t a norm ) % SYNOPSIS : % [ y ] = normvett ( x, p ) % INPUT : % x ( double array ) i l v e t t o r e d i c u i c a l c o l a r e l a norma % p ( s c a l a r ) i l t i p o d i norma da c a l c o l a r e % se p = 1, norma 1 % se p = 2, norma 2 % se p = i n f, norma i n f i n i t o % OUTPUT: % y ( double ) l a norma c a l c o l a t a % i f ( isempty ( f i n d ( x ) ) ) y = ; else switch p case 1 y = sum( abs ( x ) ) ; case 2 t = max( abs ( x ) ) ; y = s q r t ( sum ( ( x / t ). ^ 2 ) ) t ; case i n f y = max( abs ( x ) ) ; otherwise e r r o r ( p non v a l i d o ) ; V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 155 ]

4 Calcolo della norma di un vettore In Matlab esiste una funzione predefinita che fornisce la norma di un vettore x: y = norm(x) restituisce la norma euclidea (o norma 2); y = norm(x,p), con p intero maggiore o uguale a 1, restituisce la norma p; y = norm(x,inf) restituisce la norma del massimo (o norma uniforme) V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 156 ] Norma di una matrice I Poiché una matrice m n si può pensare come un vettore di m n componenti (ordinando gli elementi della matrice per righe o per colonne), segue che una norma matriciale generalizzata è una funzione : R m n R + {}, tale che: A per ogni A R m n ; A = A = m n ; αa = α A per ogni α R e per ogni A R m n ; A + B A + B Di conseguenza, una norma matriciale generalizzata è una funzione uniformemente continua delle sue componenti, tutte le norme matriciali generalizzate sono equivalenti e vale che A B A B Una norma matriciale generalizzata è una norma matriciale se vale la seguente proprietà submoltiplicativa o proprietà di consistenza: ove A e B sono matrici moltiplicabili. AB A B V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 157 ]

5 Norma di una matrice II Una norma matriciale M si dice compatibile con una norma vettoriale V se Ax V x V A M per ogni x R n e A R m n. Non tutte le norme matriciali generalizzate sono consistenti. Per esempio, se si definisce A M = max a ij i,j questa è una norma generalizzata. Tuttavia ( ) ( ) A =, B = 1 1 AB = ( ) e AB M = 2, mentre A M = B M = 1: non vale dunque la consistenza. Tuttavia a partire da una norma matriciale generalizzata, moltiplicandola per una opportuna costante, si ottiene una norma matriciale. Per esempio, la seguente definizione della norma di Turing fornisce una norma matriciale: A T = mn max a ij i,j V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 158 ] Norme matriciali Siamo interessati a introdurre norme matriciali indotte da una norma vettoriale V. Una norma di questo tipo è detta norma naturale o norma indotta dalla norma vettoriale. Essa viene definita come la più piccola costante C per cui vale la condizione: Ax V C x V Ax V x V C per x V Pertanto la definizione di norma naturale è la seguente: A N = Ax V sup x V x V Lo scalare non cambia se si sostituisce x con un suo multiplo. Allora si può prere un versore y = x/ x V, dove y ha norma unitaria. Teno conto che S = {y y V = 1} è un compatto e la norma è funzione uniformemente continua, l estremo superiore è un massimo: A N = max y V =1 Ay V Si dimostra che A N è una norma matriciale, che è compatibile con V e che tale norma (per come è definita) è la più piccola norma matriciale compatibile con la norma V. V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 159 ]

6 Norme matriciali Significato della norma naturale: quando si opera in algebra lineare, le applicazioni lineari che trasformano dati in risultati sono lineari e dunque associabili a una matrice. La A N esprime la massima perturbazione relativa che subisce una qualsiasi direzione dello spazio R n per effetto della trasformazione lineare associata ad A. Ciò permette di misurare come gli errori sui dati si amplificano per effetto di una trasformazione lineare. Se m = n = 2, A 2 è il massimo semiasse dell ellissoide Ax V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 16 ] Norme matriciali Norma matriciale compatibile con la norma n A = max a ij i Norma matriciale compatibile con la norma 1 m A 1 = max a ij j Norma matriciale compatibile con la norma 2 (euclidea), detta norma spettrale A 2 = λ max (A T A) dove λ max (A T A) indica l autovalore massimo della matrice simmetrica semidefinita positiva A T A. Un altra norma matriciale compatibile con la norma euclidea è la norma di Frobenius: A F = (a ij ) 2 = trace(a T A) i dove trace(a T A) è la somma degli elementi diagonali di A T A. Vale che j j=1 i=1 A 2 A F V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 161 ]

7 Esempio Allora A = ( 1 1 ) A T = 3 6 A F = 16 A 1 = 4 A = 5 La norma naturale dell identità è sempre 1. I N = max Ix V = 1 x V =1 Tutte le norme matriciale sono equivalenti. Allora, data la successione di matrici { A (k)} si dice che la successione è convergente alla matrice A per k se esiste una norma matriciale per cui lim k A (k) A =. Questa definizione è ben posta poiché tutte le norme sono equivalenti. Inoltre, lim k A(k) = A lim k a(k) ij = aij i, j V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 162 ] Raggio spettrale Definizione. Si chiama raggio spettrale di una matrice quadrata A di ordine n il massimo dei valori assoluti degli autovalori di A, denotato con ρ(a) = max i=1,n λ i (A). Teorema Rispetto ad una qualunque norma naturale, vale che ρ(a) A N. Infatti, se x è un autovettore relativo a un autovalore λ di A, vale che λx = Ax λ x = Ax A N x Divido per x = e ricordando che λ è un autovalore qualunque (anche quello di modulo massimo), si ha la tesi. Inoltre per ogni ɛ > esiste una norma naturale per cui A N ρ(a) + ɛ V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 163 ]

8 Matrici definite I Definizione. Sia A una matrice simmetrica. Allora A è definita positiva se, per ogni x R n \ {}, x T Ax >. La matrice A è semidefinita positiva se, per ogni x R n \ {}, x T Ax. Definizione. Sia A una matrice simmetrica. Allora A è definita negativa se, per ogni x R n \ {}, x T Ax <, mentre è semidefinita negativa se x T Ax. Si dimostra che A è definita positiva (semidefinita positiva) se e solo se gli autovalori di A sono positivi (non negativi). Si dimostra che A è definita negativa (semidefinita negativa) se e solo se gli autovalori di A sono negativi (non positivi). Sia A R n m. Allora A T A e AA T sono simmetriche e semidefinite positive. Infatti per ogni x R n, x, x T A T Ax = Ax 2. Analogamente x T AA T x = A T x 2. Se m > n e A è di rango massimo per colonne, A T A è definita positiva. Infatti non è possibile che Ax 2 =. Se così fosse, Ax = e dunque esisterebbe una n-upla x tale A 1 x A n x n = ; ma allora le colonne di A sarebbero linearmente dipenti, contro l ipotesi fatta. Se m n e A è di rango massimo per righe, AA T è definita positiva. V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 164 ] Esempio per matrici di ordine forma quadratica definita positiva forma quadratica semidefinita positiva V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 165 ]

9 Calcolo della norma di una matrice f u n c t i o n [ y ] = normmat (A, p ) % normmat Calcolo d e l l a norma d i una matrice ( 1, d i Frobenius, d i Turing, uniforme ) % Calcolo d e l l a norma d i una matrice A nei q u a t t r o c asi : 1, Frobenius, Turing, i n f i n i t o % SYNOPSIS : % [ y ] = normmat (A, p ) (N. B. : e s i s t e l a funzione p r e d e f i n i t a norm ) % INPUT : % A ( double array ) l a matrice d i c u i c a l c o l a r e l a norma % p ( s c a l a r or s t r i n g ) i l t i p o d i norma da c a l c o l a r e % se p = 1, norma 1 % se p = Fro, norma d i Frobenius ( o d i Schur ) % se p = Tur, norma d i Turing % se p = i n f, norma i n f i n i t o % OUTPUT: % y ( double ) l a norma c a l c o l a t a % i f ( isempty ( f i n d (A) ) ) y = ; else switch p case 1 y = max( sum( abs (A) ) ) ; case Fro t = max( abs (A ( : ) ) ) ; y = s q r t ( sum( A ( : ) / t ). ^2 ) t ; case Tur y = s q r t ( prod ( s ize (A) ) ) max( abs (A ( : ) ) ) ; case i n f y = max( sum( abs (A ) ) ) ; otherwise e r r o r ( p non v a l i d o ) ; V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 166 ] Calcolo della norma di una matrice In Matlab esiste la funzione predefinita norm che fornisce la norma di una matrice A: y = norm(a) restituisce la norma euclidea (o norma 2) y = norm(a,1) restituisce la norma 1 y = norm(a,inf) restituisce norma del massimo (o norma infinito) y = norm(a, fro ) restituisce la norma di Frobenius V. Ruggiero e G. Zanghirati (DMI, UniFe) Calcolo numerico e lab. A.A [ 167 ]