MOMENTI DI INERZIA. m i. i=1

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1 MOMENTI DI INEZIA Massa Ad ogni punto materiale si associa uno scalare positivo m che rappresenta la quantità di materia di cui è costituito il punto. m, la massa, è costante nel tempo. Dato un sistema discreto di punti P i, a ciascuno di essi sarà associata la sua massa m i. La massa è additiva, ovvero la massa del sistema è data da P m := N m i. (1) Se il corpo è continuo, si può definire in ogni punto P del corpo una funzione non negativa ρ (P ), la densità, che rappresenta la massa per unità di volume (o di superficie, o di lunghezza) del corpo, la cui massa totale m := ρ (P ) d. (2) entro di Massa Definizione 1 Dato un sistema discreto di N punti materiali di massa m i,oppure un corpo continuo di densità ρ (P ), fissata una origine O, sidicecentrodimassa il punto G individuato dal vettore posizione nel caso discreto, oppure nel caso continuo. m i P i O (3) m i ρ (P ) d ρ (P ) d P O Osservazione 1 La formula del centro di massa è simile alla formula del baricentro. icordiamo che p = m g per corpi con estensione sufficientemente piccola rispetto alle dimensioni della terra. g si può supporre costante. In questo caso i pesi sono un sistema di forze parallele esiste dunque il centro di questo sistema di forze, detto baricentro, che coincide con il centro di massa. Infatti per un sistema discreto p i P i O = p i mentre per un sistema continuo m i /g P i O m i /g κ (P ) d κ (P ) d = P O m i P i O 5 (4), (5) m i, (6)

2 6 dove con κ (P ) indichiamo il peso specifico. Ma κ (P )=ρ (P ) g, quindi ρ (P ) /gd ρ (P ) /gd P O ρ (P ) d = ρ (P ) d P O. (7) Momento d Inerzia Definizione 2 Si definisce momento d inerzia rispetto ad un asse a, la seguente quantità scalare I a := mr 2. (8) Si noti che I a = P a. (9) In generale I a. Definizione 3 Si definisce momento d inerzia per un sistema discreto di N punti rispetto ad un asse a, la seguente quantità scalare P I a := N m i ri 2. (1) In questo caso I a = tutti i punti P i sono sull asse a.

3 Definizione 4 Si definisce momento d inerzia per un sistema continuo rispetto ad un asse a, la seguente quantità scalare 7 I a := r 2 (P ) dm = r 2 (P ) ρ (P ) d. (11) M Esempio 1 Asta omogenea di lunghezza l emassam formante un angolo θ con l asse a. Sia ρ = m/l la densità dell asta. Detto x p un punto generico dell asta, la lunghezza del segmento OP vale r = x p sin θ. AlvariaredelpuntoP sull asta, il momento d inerzia si può scrivere come I a = l Z2 m l r2 dx = l Z2 m l (x sin θ)2 dx = m l sin2 θ l Z2 x 2 dx l 2 l 2 l 2 = m x 3 l sin2 θ 3 l 2 l 2 = m µ l 3 3l sin2 θ = m l sin2 θ. (12) Se l angolo θ = π/2 = I a = m l2 12. (13)

4 8 Esempio 2 Disco omogeneo di raggio emassam Il punto P è individuato dalle coordinate (r, θ) con r e π θ π. alcoliamo l area infinitesima da AB = rdθ A B = drdθ AA = dr da = rdrdθ La distanza del punto generico P dall asse è data da PP = r sin θ e la densità è ρ = M/π 2. Il momento d inerzia rispetto all asse a è Z I a = Z M π π 2 r2 sin 2 θrdθdr = π Z M π 2 r2 sin 2 θrdθdr (stiamo variando r tra e e θ varia tra π e π) Z M π π 2 π sin 2 θ Z r 2 rdr dθ = M π 2 Z π π 4 4 sin2 θdθ = M2 π4 Z π π sin 2 θdθ M 2 Z π π4 2 sin 2 θdθ = M2 π2 Z π 1 cos 2θ dθ 2 = M2 π2 ½ 1 2 [θ]π 1 2 sin 2θ 2 π ¾ = M2 π2 π 2 = M2 4 (14)

5 9 Teorema 1 Sia assegnato il piano π esiaz π, allora I z = I x + I y (15) con x, y qualunque coppia di assi ortogonali appartenenti al piano π passante per l origine O. Dimostrazione. Per definizione I z = Σ x 2 + y 2 ρdσ ρx 2 dσ + ρy 2 dσ = I x + I y. (16) Σ Σ Teorema 2 (di Huygens) (alcolo dei momenti d inerzia rispetto ad assi paralleli) Sia I G il valore del momento d inerzia calcolato rispetto all asse passante per il baricentro G. Indichiamo con d la distanza tra l asse baricentrale e un asse parallelo ad esso. Allora, indicato con I a il momento d inerzia calcolato rispetto all asse a, vale la relazione I a = I G + md 2. (17)

6 1 Dimostrazione. Sia d 2 = a 2 + b 2 e I a = ρ (P ) (x a) 2 +(y b) 2 d ρ (P ) x 2 + y 2 d + ρ (P ) a 2 + b 2 d 2a ρ (P ) xd 2b ρ (P ) yd I G + md 2 2amx G 2bmy G. (18) Poichè le coordinate del baricentro sono x G = y G =, vale l equazione (17). Osservazione 2 I a I G. Osservazione 3 Fra tutti gli assi paralleli con direzione assegnata, quello passante per il baricentro minimizza il momento d inerzia. Osservazione 4 Se a 1 e a 2 sono due assi paralleli distanti d 1 e d 2 rispettivamente dal baricentro del corpo I a2 = I a1 + m d 2 2 d 2 1. (19) Matrice d Inerzia Scegliamo una terna ortogonale di riferimento con origine O. Sia u il versore dell asse passante per O t.c. u = α i + β j + γ k con α, β e γ coseni direttori rispetto alla terna (O; x, y, z). Scriviamo il momento d inerzia rispetto all asse u I u = r 2 (P ) ρ (P ) d. (2)

7 alcoliamo, attraverso la definizione 11 P O u, corrispondente al vettore r (P ). i j k r (P )= P O u = x y z α β γ = i (yγ zβ) j (xγ zα)+ k (xβ yα) (21) e il suo modulo r (P ) = P O u = P O u sin θ = P O sin θ. (22) alcoliamone il quadrato r 2 (P )= P O u 2 =(yγ zβ) 2 +(xγ zα) 2 +(xβ yα) 2 (23) e sostituiamolo nell espressione (2). Si ottiene I u = ρ (yγ zβ) 2 d + ρ (xγ zα) 2 d + ρ (xβ yα) 2 d = γ 2 ρ y 2 + x 2 d + β 2 ρ x 2 + z 2 d + α 2 ρ z 2 + y 2 d 2αγ ρxzd 2αβ ρxyd 2βγ ρyzd = α 2 I xx + β 2 I yy +γ 2 I zz +2αγI xz +2αβI xy +2βγI yz, (24) dove abbiamo definito i prodotti d inerzia I xz = ρxzd I xy = ρxyd I yz = ρyzd (25) e i momenti d inerzia rispetto agli assi coordinati I xx = ρ (z 2 + y 2 ) d I yy = ρ (x 2 + z 2 ) d I zz = ρ (y 2 + x 2 ) d. (26) Definizione 5 Denotiamo con il simbolo I la matrice d inerzia (o tensore d inerzia) formata dai seguenti elementi I xx I xy I xz I yx I yy I yz. (27) I zx I zy I zz

8 12 Osservazione 5 La quantità espressa dall espressione (2) può essere riscritta nel seguente modo I u =(α, β, γ) I α β = I u u. (28) γ Icoefficienti della matrice I dipendono dalla scelta della terna degli x, y, z. Osservazione 6 Esiste sicuramente almeno una terna rispetto alla quale la matrice I assume una forma diagonale I xx I yy. (29) I zz Questa terna si chiama terna principale d inerzia del corpo relativo al punto O. Osservazione 7 I xx,i yy e I zz sono diversi dagli elementi della matrice (27). Infattisonoimomentid inerziacalcolatirispettoagliassiprincipalid inerziaesono chiamati momenti principali d inerzia. Proprietà 1 Se il corpo ha un piano di simmetria materiale π passante per O è asse principale d inerzia la retta che passa per O perpendicolare al piano. Gli altri due assi vanno cercati nel piano. aso 1 Se il corpo è una figura piana, ogni retta perpendicolare al piano è asse principale d inerzia rispetto al punto O in cui la retta interseca il piano. aso 2 Se il corpo ha due piani di simmetria materiale fra loro ortogonali, per ogni punto della retta d intersezione dei due piani la terna principale d inerzia è costituita dalla retta e dalle due normali. aso 3 Se il corpo è rotondo, ammette piani di simmetria tutti contenenti l asse di rotazione. L asse, quindi, è principale d inerzia e sono principali d inerzia tutti gli assi perpendicolari in O all asse di rotazione (essendo O un qualunque punto dell asse)