Campo Magnetico Definizione Forze dovute al campo magnetico Legge di Biot e Savart Teorema di Ampère

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1 Campo Magnetico Definizione Forze dovute al campo magnetico Legge di Biot e Savart Teorema di Ampère

2 Campi Magnetici (I) Esperimenti di W. Gilbert (XVI Secolo) Ad un magnete sospeso nel centro tramite un filo si avvicina un secondo magnete. Si osserva che il secondo magnete esercita sul primo una certa forza. In maniera analoga all elettrostatica si interpreta il fatto dicendo che un magnete genera un campo, chiamato campo magnetico, indicato con il simbolo B, e che l altro magnete risente dell azione che il campo magnetico esercita nalla posizione da esso occupata. Con un analisi sistematica si trova 1. La forza di attrazione fra i due magneti e` attrattiva o repulsiva a seconda dei poli dei magneti che vengono affacciati 1. Esistono solo due specie di poli, detti poli positivi e poli negativi. I poli di uno stesso magnete sono sempre di segno opposto Poiche` la magnetite e` un conduttore e, come si puo` verificare con mezzi elettrostatici, il secondo magnete e` certamente scarico, i fenomeni osservati non sono certamente attribuibili a cariche elettriche fisse localizzate in alcune regioni dei magneti.

3 Campi Magnetici (II) Una bacchetta sottile di ferro avvicinata ad un pezzo di magnetite acquista la proprieta` di attirare la limatura di ferro, principalmente in vicinanza delle estremita`: la bacchetta di ferro immersa nel campo magnetico generato dalla magnetite e` diventata pertanto un magnete ovvero si e` magnetizzata. La bacchetta cosi` magnetizzata viene chiamata magnete artificiale o calamita e presenta due poli magnetici di segno opposto. Quando la bacchetta e` di piccole dimensioni viene detta ago magnetico.

4 Campi Magnetici (III) Se si sospende ad un filo l ago magnetico cosi` definito e lo si lascia libero di ruotare, si osserva che esso tende a disporsi approssimativamente parallelo al meridiano terrestre. Se si sposta l ago da questa posizione di equilibrio si osserva che l ago compie intorno ad essa delle oscillazioni smorzate dagli attriti. L esperienza mostra l esistenza di un campo magnetico naturale, il campo magnetico terrestre, e mette in evidenza un comportamento dell ago magnetico del tutto analogo a quello di un dipolo elettrico posto in un campo elettrico E. Quindi l ago magnetico si comporta come un dipolo magnetico che, lasciato libero, si orienta nella direzione e verso del campo magnetico esistente nel punto dove e` posto. Il polo dell ago che si orienta approssivamente verso il Nord geografico viene chiamato polo nord (N)eglisiattribuiscesegno positivo, l altro e` chiamato polo sud (S) e gli si da` segno negativo.

5 Campi Magnetici (IV) Definiti come detto i poli di un magnete ed eseguendo esperienze come sopra descritte (I trasp.) si trova sempre che l interazione tra poli magnetici dello stesso segno e` repulsiva, quella tra poli magnetici di segno opposto e` attrattiva. Lo studio quantitativo della forza magnetica tra i poli di due magneti, svolto da Coulomb con la stessa apparecchiatura con cui aveva ottenuto la legge per la forza tra le cariche elettriche, dimostro` anche in tale caso un andamento inversamente proporzionale al quadrato della distanza, almeno per poli puntiformi, come sono con buona approssimazione quellli agli estremi di sbarre lunghe e sottili. Si potrebbe pertanto enunciare una legge di Coulomb per l interazione magnetica di due poli data dalla forza * * q1 q F km r * * in cui i poli sono caratterizzati dalle masse magnetiche q 1, q e k e` una m costante il cui valore dipenda dal mezzo in cui avviene l interazione e dal sistema di unita` di misura adottato e che esprime l intensita` dell azione magnetica analogamente a G e k per le interazioni gravitazionale ed elettrostatica rispettivamente

6 Campi Magnetici (V) Pero`, sebbene la struttura della Legge di Coulomb per l interazione magnetica tra due poli sia identica a quella della forza tra due cariche elettriche o tra due masse, c e` tuttavia una differenza fondamentale. Una carica elettrica, positiva o negativa, puo` sempre essere isolata e cio` e` una conseguenza dell esistenza della carica elementare negativa portata dall elettrone: la possibilita` di separazione esiste cioe` gia` a livello elementare. La massa, sebbene non quantizzata e di un solo segno, e` chiaramente isolabile a livello elementare. Il polo magnetico isolato, invece, non si e` mai potuto ottenere: i poli magnetici sembrano esistere sempre a coppie di egual valore e segno opposto, cioe` si manifestano solo sotto forma di dipoli magnetici.

7 Campi Magnetici (VI) Esperimento della Calamita Spezzata (I) Se si taglia a meta` una calamita compaiono sempre due poli di segno opposto nella zona del taglio, che precedentemente a questo, non mostrano la proprieta` di attrarre la limatura di ferro. Con il dispositivo sperimentale di Coulomb, dopo avere verificato l uguaglianza in modulo dei poli preesistenti, si trova che i due nuovi poli sono quantitativamente uguali a questi. Ripetendo il taglio su pezzi sempre piu` piccoli si ottiene ogni volta lo stesso risultato, senza riuscire ad isolare un polo magnetico. Accanto a tale esperienza sono significative quelle condotte con limatura di ferro posta in vicinanza di un magnete. I granelli di limatura si dispongono in modo ordinato lungo linee regolari, fatto che interpretiamo supponendo che ciascun granello venga magnetizzato dal campo magnetico del magnete e, diventato un dipolo magnetico, si orienti parallelamente al campo stesso. L insieme dei fatti sperimentali esposti suggerisce l ipotesi che gli elementi costitutivi dei magneti siano i dipoli magnetici, cioe` oggetti caratterizzati da massa magnetica nulla e da un momento di dipolo m. Siccome la non isolabilita` degli ipotetici poli magnetici e` confermata anche a livello elementare, siamo portati a supporre che atomi e molecole abbiano anche un momento di dipolo magnetico oltre ad una struttura elettrica.

8 Campi Magnetici (VII) Esperimento della Calamita Spezzata (II) In conclusione la legge di Coulomb per l interazione magnetica tra due poli non riveste un ruolo fondamentale, essendo utilizzabile solo in situazioni particolari e riferendosi a grandezze come le masse magnetiche che non hanno una realta` fisica.

9 Definizione Campo Magnetico (I) Il campo magnetico, secondo quanto indicato in modo consistente da tutta la sperimentazione, è una grandezza vettoriale che si suole indicare con il simbolo B. Una verifica di questo assunto può essere lo studio del comportamento di un ago magnetico sottoposto all azione contemporanea di più magneti. Determinare B in una certa regione significa darne in ogni punto direzione, verso e modulo. In generale direzione, verso e modulo di B variano punto per punto (campo non uniforme) e, in un dato punto, possono variare nel tempo (campo non costante). Il valore del campo magnetico B inoltre può dipendere dal mezzo che riempie lo spazio circostante. Considereremo inizialmente, come per il campo elettrico, fenomeni magnetici stazionari, indicando con questo termine che il campo magnetico è costante nel tempo: questa ristretta fenomenologia prende talora il nome di magnetostatica. Nella magnetostatica si includono anche i campi magnetici lentamente variabili. E Il campo elettrico in un punto dello spazio è stato definito come la forza elettrica per unità di carica che agisce su una carica di prova posta in quel punto. Supponiamo di porci in una regione di spazio in cui esiste un campo magnetico B (ad esempio nel traferro di un magnete): ci proponiamo di studiare l effetto che esercita il campo B su una carica puntiforme q che si muove con velocità v e che costituirà il nostro oggetto di prova. Si supponga inoltre, in quanto segue, che nella regione di spazio in considerazione non ci siano campi elettrici echesianotrascurabili gli effetti gravitazionali.

10 Definizione Campo Magnetico (III) Risultati sperimentali sul moto di punti materiali (particelle) carichi in un campo magnetico B : 1. La Forza Magnetica è proporzionale alla carica q e alla velocità v della particella: se la particella e` ferma (v = 0) la Forza Magnetica e` nulla. Modulo e verso della Forza Magnetica dipendono da modulo e verso div e dal modulo e verso di B 3. Se la particella carica si muove parallelamente al campo magnetico allora F, Forza Magnetica che agisce sulla carica, e`zero 4. Quando il vettore forma un angolo con il campo magnetico B v, la Forza Magnetica F e` perpendicolare al piano formato da v e da B 5. La Forza Magnetica F su una carica positiva e` diretta in verso opposto a quella che agisce su una carica negativa che si muove nello stesso verso 6. Se il vettore v forma un angolo con il vettore campo magnetico B, il modulo della Forza Magnetica e` proporzionale a sin

11 Definizione Campo Magnetico (III) In sintesi da quanto sopra enunciato, si puo` asserire che il modulo della forza magnetica e` proporzionale alla carica q della particella, al modulo del vettore induzione magnetica e alla componente di in direzione perpendicolare a B B v, cioe` F qbvsen F ovvero q vb F k qbvsen Quindi, tenendo conto delle direzioni dei vettori v, B, F,del segno della carica q, scegliendo per B un unità di misura coerente tale che sia k =1, le conclusioni di cui sopra possono essere riassunte nella relazione vettoriale (V. figure a fianco) N.B. Regola della mano destra per determinare il prodotto vettoriale v B Se si dispongono le quattro dita della mano destra nel verso in cui il vettore ruota verso il vettore con il palmo rivolto verso la carica q, allora il pollice punta nel verso di v B B v

12 Definizione Operativa del Campo Magnetico (IV) L espressione della Forza di Lorentz F q vb puo` essere vista come una definizione operativa del vettore induzione magnetica in un punto dello spazio, cioe` il vettore induzione magnetica e` definito in termini di una forza trasversale che agisce su una particella carica in movimento. Si supponga che in una certa regione di spazio dove B e` uniforme entri una particella di carica q edimassam con velocita` v ortogonale a B. La particella quindi subisce una forza trasversale, perpendicolare a v e a B, e dunque un accelerazione trasversale per cui la velocita` in qualsiasi istante successivo sta nel piano ortogonale a B nn individuato dalla velocita` v e mantiene il modulo costante. Di conseguenza il moto della particella si svolge in tale piano ed e` circolare uniforme con legge del moto v F qvb ma (ricordare che F qbv sen con sen 1 ) n m r da cui si ricava il raggio di curvatura costante della traiettoria (p, q, B costanti) mv p r ( p = modulo della quantita` di moto) ovvero mv B qb qb qr Questa relazione puo` essere interpretata come una definizione operativa di B basata sul raggio di curvatura della traiettoria circolare percorsa da particelle q con velocita` v e rapporto noti m

13 Dimensioni e Unità di Misura del Campo Magnetico Da un punto di vista dimensionale il campo magnetico è una grandezza derivata definita come B M L T I T L MT I 1 Nel Sistema Internazionale (SI) l unità di misura del campo magnetico B Wb m Weber per metro quadro detto anche Tesla ( T ) vale l eguaglianza Wb N N 1T m m C A m s 1 kg A s Il Weber è un unità di flusso del campo magnetico In pratica si usa spesso l unità c.g.s. per il campo magnetico detta Gauss (G) 1T 10 4 Normali magneti da laboratorio possono generare campi fino a 5000 G o,5 T. Attualmente si costruiscono magneti superconduttori che possono produrre campi magnetici di G o 5 T. Per rendersi conto dell entità di questi valori basta paragonarli a quello del campo magnetico terrestre vicino alla superficie della Terra, che vale 0,5 G o 0,5 x 10-4 T G è il

14 Differenza fra forze elettriche e magnetiche (I) Sia le forze elettriche che le forze magnetiche agiscono su cariche elettriche: ci sono pero` delle differenze fondamentali: 1. La forza elettrica e` sempre nella direzione del campo elettrico La forza magnetica e` sempre perpendicolare al campo magnetico. La forza elettrica agisce su una particella carica indipendentemente dalla sua velocita` La forza magnetica agisce su una particella carica solo quando essa e` in movimento 3. La forza elettrica compie lavoro spostando una particella carica La forza magnetica associata ad un campo magnetico B costante non compie lavoro quando la particella viene spostata nel campo L ultima affermazione e` una conseguenza del fatto che, quando una carica e` in movimento in un campo magnetico uniforme, la forza magnetica e` sempre perpendicolare allo spostamento per cui F dr F vdt 0 dato che la forza magnetica e` un vettore perpendicolare a v Quindi dal Teorema delle Forze Vive 1 ( mv ) b a si ottiene che F dr Cioe` l energia di una particella carica non puo` essere alterata da un campo magnetico 0

15 Differenza fra forze elettriche e magnetiche (II) Riassumendo: Quando una particella carica si muove con velocita`, la presenza di un campo magnetico puo` alterare la direzione del vettore velocita`, ma non puo` modificare il modulo della velocita` della particella. v Il fatto che la forza magnetica che agisce su una particella in moto sia sempre perpendicolare alla velocita` della particella ha come conseguenza che Il lavoro fatto dalla forza magnetica e`nullo poiche` lo spostamento della carica e` sempre perpendicolare alla forza. Pertanto un campo magnetico costante fa variare la direzione della velocita` ma non influisce sul modulo di essa e sull energia cinetica della particella carica.

16 Moto di una particella carica in un campo B caso generale uniforme Se il vettore velocita` di una particella carica forma un angolo arbitrario con la direzione di B il suo moto e` elicoidale. Se il campo e` nella direzione dell asse x, come in figura, non c e` componente della forza nella direzione x e quindi a x = 0 e la componente della velocita` v x rimane costante. La forza magnetica qvb produce una variazione nel tempo delle componenti v y e v z e il moto risultante e` descritto da un elica cilindrica con l asse parallelo al campo. La proiezione del moto sul piano yz (visto lungo l asse x ) e` una circonferenza (le proiezioni sui piani xy e xz sono delle sinusoidi). Nell equazione r mv qb a v si sostituisce v v y v 1 z

17 Moto di una particella carica in un Campo Elettrico e Magnetico In molti casi la carica in esame si muove con velocità siainpresenzadiuncampoelettrico chediuncampo magnetico B E, per cui la carica è soggetta ad una forza elettrica E q oltre che a una forza magnetica v B q La forza totale sulla carica è data da F q E v B v Tale equazione, nota sotto il nome di Forza di Lorentz, è l espressione più generale della forza cui è sottoposta una particella carica in presenza contemporanea di un campo elettrico e di un campo magnetico

18 Forza agente su un conduttore percorso da corrente (I) Consideriamo un segmento di lunghezza di un sottile filo rettilineo con sezione di area A percorso da una corrente I e situato in un campo uniforme B. Il numero di portatori di carica nel segmento di lunghezza e` N n A, dove n e` il numero di portatori di carica per unita` di volume e A il volume del segmento di conduttore. Se q rappresenta la carica di ciascun portatore e v d e` la sua velocita` di deriva, la forza magnetica agente sulla carica totale N q e` La densita` di corrente ha modulo e l intensita` di corrente e` d I j A n q vd A Definito il vettore spostamento, la cui direzione coincide con quella della velocita` di deriva dei portatori di carica positiva, cioe` con il senso convenzionale della corrente, deve essere e quindi per la forza magnetica Ossia F N q v d B n A q v j nq v F n A q v F I B d v d d B v d B n q v d A B

19 Forza agente su un conduttore percorso da corrente (II) La forza magnetica che agisce su questo segmento di conduttore ha la direzione di B ed e` quindi perpendicolare al piano formato da e da B. L intensita` della forza e` F I B sen dove e` l angolo compreso tra le direzioni di e di B. In conclusione l intensita` della forza agente sul segmento di conduttore di lunghezza e` proporzionale alla lunghezza e all intensita` di corrente nel conduttore e all intensita` del campo di induzione magnetica. Se si applica l equazione F I B a un tratto di lunghezza infinitesima d di un conduttore percorso da corrente, si puo` definire I d, elemento infinitesimo di corrente, come prodotto dell intensita` di corrente I per lo spostamento d la cui direzione coincide con il senso della corrente nell elemento. Il segmento di filo che contiene l elemento di corrente puo` essere considerato rettilineo e B non varia in modo significativo lungo d. La forza d F che agisce sull elemento di corrente I d e` d F I d B La direzione della forza e` indicata in figura, la sua intensita` e` data da d F I d B sen con angolo fra d e B

20 Forza agente su un conduttore percorso da corrente (III) La forza magnetica agente su un segmento di lunghezza finita di un conduttore immerso in un campo uniforme B si ottiene sommando le forze agenti su ciascun elemento del conduttore, cioè integrando l equazione d F I d B sulla lunghezza del conduttore F I d B Applicando la formula F I d B a un segmento rettilineo di lunghezza percorso da una corrente I si ottiene F I d B I d B I Infatti I può essere portata fuori dal segno di integrale in quanto è costante lungo tutto il conduttore e anche B può essere portato fuori dal segno di integrale in quanto il conduttore è rettilineo e B è uniforme dappertutto. (Naturalmente B può essere portato fuori dal segno di integrale soltanto a destra in quanto il prodotto vettore non è commutativo) B

21 Momento agente su una spira percorsa da corrente I e immersa in un campo B Le forze agenti sui lati della spira sono tutte di origine magnetica e descritte dalla F I B. Le forze F e agenti sui lati minori della spira sono forze antagoniste che 3 F 4 agiscono parallele e lungo l asse di rotazione e quindi la loro risultante è nulla e hanno momento nullo intorno all asse di rotazione. Le forze F e sui lati maggiori sono anche loro una opposta all altra però 1 F formano una coppia intorno all asse di rotazione data in modulo da w w w w F1 sen F sen I B sen I B sen I S B sen In forma vettoriale il momento della forza agente sulla spira si scrive τ I SB mb dove m I S è il Momento Magnetico della spira

22 Momento di dipolo magnetico Il comportamento di un dipolo magnetico m in un campo magnetico B e` analogo a quello di un dipolo elettrico p in un campo elettrico E : entrambi,in assenza di altre forze, tendono ad orientarsi in modo tale che il momento di dipolo (elettrico o magnetico) e` parallelo alle linee del campo (elettrico o magnetico) in cui e` rispettivamente immerso Momento di dipolo elettrico in campo elettrico E Momento che tende ad allineare dipolo elettrico con campo elettrico E τ p E Energia potenziale di un dipolo elettrico in un campo elettrico E U p E p E cos Momento di dipolo magnetico in campo magnetico B Momento che tende ad allineare dipolo magnetico con campo magnetico B τ m B Energia potenziale di un dipolo magnetico in un campo magnetico B U m B m B cos Nel caso di una bobina di N spire avvolte in modo fitto e tali che ciascuna di esse giace sostanzialmente nello stesso piano per cui tutti i vettori superficie sono individuati dallo stesso vettore S il momento magnetico e` dato da m N I S

23 Esempio: Galvanometro di D Arsonval Consiste di un avvolgimento di filo montato in modo da poter ruotare su un asse per effetto della coppia che agisce sull avvolgimento, quando è percorso da corrente in presenza di un campo magnetico generato da un magnete permanente, opponendosi così alla coppia esercitata da una molla antagonista. La coppia che agisce sull avvolgimento, dovuta al campo magnetico, è proporzionale alla corrente che circola in esso ed è contrastata dalla coppia antagonista di una molla che blocca la rotazione per cui lo spostamento angolare dell indice è proporzionale alla corrente e lo strumento può essere usato per misurare correnti (amperometro) o differenze di potenziale (voltmetro). La coppia che si esercita sull avvolgimento, supponendo che i poli magnetici siano sagomati in modo che il campo magnetico sia sempre parallelo al piano della spira è data da m B m. Alla coppia magnetica si oppone la coppia esercitata dalla molla pari a s e, poichè l avvolgimento non ha un accelerazione angolare quando l indice è fisso su un valore, la somma di queste coppie deve essere nulla e quindi m s m B 0 Poichè il momento magnetico della spira è m N I S si ottiene dall equazione di sopra N A B N I S B 0 I per cui l angolo di deflessione dell indice è proporzionale alla corrente N A B nell avvolgimento e la costante di proporzionalità dipende dalle caratteristiche dello strumento

24 Principio di Equivalenza di Ampere Una spira percorsa da corrente posta in un campo magnetico e` soggetta ad una forza di richiamo che tende ad allineare il suo momento magnetico con il campo e si puo` dimostrare che per piccoli spostamenti angolari dall equilibrio la spira mostra un comportamento oscillatorio armonico. Il comportamento oscillatorio di una spira posta in un campo magnetico e quello di un ago magnetico sono sostanzialmente identici. Il momento magnetico di un ago magnetico viene infatti determinato misurando il suo periodo di oscillazione in un campo magnetico noto. Questa identita` di comportamento tra spira e ago magnetico venne generalizzato da Ampere sotto forma di un postulato detto Principio di Equivalenza di Ampere Una spira piana di area ds percorsa da una corrente I equivale agli effetti magnetici ad un dipolo elementare di momento magnetico dm I ds uˆ n Perpendicolare al piano della spira e orientato rispetto al verso della corrente secondo la regola della mano destra

25 Legge di Biot e Savart (I) La legge di Biot e Savart è analoga alla legge di Coulomb per l elettrostatica. Data una distribuzione di corrente, un elemento di corrente I d produce un contributo db campo di induzione magnetica nel punto P. Se r rappresenta la distanza dell elemento di corrente dal punto P, e il versore rˆ è diretto dall elemento di corrente al punto P, la legge di Biot-Savart per un elemento infinitesimo di corrente è db 4 0 I drˆ r d B 0 I d sen 4 r con modulo dove è la permeabilità magnetica del vuoto x 10-7 T m A -1 (valore esatto) Analogie fra la legge di Biot-Savart e la legge di Coulomb: 1. Entrambe contengono la dipendenza 1 dall inverso del quadrato della distanza r dalla sorgente puntiforme che e` I d per db e d q per de. 1. La costante determina l intensita` dell interazione elettrica e la costante 4 0 determina l intensita` dell interazione magnetica Differenze fra la legge di Biot-Savart e la legge di Coulomb: 1. La direzione de e` radiale rispetto alla carica d q, mentre la direzione di db e` perpendicolare al piano che contiene I d e rˆ.. Mentre la piu` semplice distribuzione di carica e` una carica puntiforme isolata, un elemento di corrente isolato non esiste per una corrente stazionaria. La carica deve entrare nell elemento da un estremita` e uscirne dall altra estremita` e l equazione che esprime la legge di Biot e Savart in forma differenziale deve essere sempre integrata lungo la linea (o linee) della distribuzione di corrente. 0 4

26 Legge di Biot e Savart (II) Quindi nel punto P il campo di induzione magnetica dovuto ad una distribuzione di corrente e` dato dalla forma integrale della legge di Biot-Savart. B 0 I drˆ 4 r dove l integrale di linea e` esteso all intera distribuzione di corrente. Cio` vale a dire che il campo magnetico in un punto e` la sovrapposizione lineare dei contributi vettoriali dovuti a ciascuno degli elementi infinitesimi di corrente.

27 Campo magnetico di un lungo filo percorso da corrente Dato un lungo (infinito) filo rettilineo di spessore trascurabile percorso da una corrente I, il contributo in P al campo di induzione 0 I drˆ magnetica è db (legge di Biot e Savart). 4 r Applicando la regola della mano destra al prodotto vettoriale si vede che in P la direzione di db è perpendicolare al piano della figura e uscente da essa e che la sua 0 I d sen intensità è d B con r x R e I d I dx. 4 r 0 I dx sen 0 I R dx R Quindi db 3 dove sen sen 1 4 x R 4 x R x R Il campo si ottiene effettuando la somma dei contributi vettoriali db relativi a ciascun elemento di corrente lungo l asse x e tutti orientati perpendicolarmente al piano della figura e uscenti da esso per cui anche il vettore B db ha medesimi direzione e verso e e il suo modulo è : filo 0 I R dx 0 I R 0 I B B db R filo x R R La direzione del campo in un punto qualsiasi è perpendicolare al piano (a sua volta qualsiasi ) che contiene il filo e il punto in accordo con la regola della mano destra. Quindi se si afferra il filo con la mano destra in modo che il pollice disteso sia rivolto nel senso della corrente, lealtre dita piegate indicano il senso del campo. Le linee di forza che rappresentano il campo magnetico in un piano perpendicolare al filo sono circolari e chiuse su se stesse.

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29 Campo magnetico di una spira percorsa da corrente Data una spira circolare di raggio a, percorsa da una corrente I, il campo di induzione magnetica B in un punto P lungo l asse x della spira (equidistante da tutti i punti della spira) è dato dalla somma dei contributi db al campo di induzione magnetica in P e cioè ˆ 0 I dr db (legge di Biot e Savart) 4 r 0 I d sen e poichè I d e rˆ sono ortogonali fra loro deve essere d B Il modulo di db 4 r è lo stesso per ogni elemento della spira ma la direzione dei vari contributi è diversa. Scomponendo db nelle componenti db x db cos lungo l asse della spira e db perpendicolare all asse, si vede che l integrale della componente db sen db esteso alla spira è nullo e quindi basta integrare dbx, componente lungo l asse x. Quindi il campo di induzione magnetica in un punto dell asse della spira ha la direzione dell asse e il suo valore è 0 I cos d Bx dbx dove r x a 4 x a spira spira a a Inoltre cos nell effettuare l integrale, dato che x è costante, ogni 1 r x a 0 I a 0 I a fattore è costante per cui B x a x a x a Per definizione il momento di dipolo magnetico è m I S e nel caso della spira m I a ed inoltre B e m hanno la stessa direzione per cui 0 B m 3 x a x x 0 B Bmax 3 3 x a 3 0 m a x a x x B 3 x andamento 1 x 3 di dipolo

30 Teorema di Ampère (1) Un filo rettilineo indefinito percorso da una corrente I genera in un punto P che dista R dal filo un campo di induzione magnetica di modulo 0 I B R il cui verso e` determinato dalla regola della mano destra. In forma vettoriale questo campo e` û t N.B. versore parallelo al filo e concorde alla corrente, û n versore normale al filo e diretto verso P uˆ ˆ ˆ u t u n versore in direzione perpendicolare al segmento condotto per P perpendicolarmente al filo (che rappresenta la distanza R da P al filo, raggio vettore di P in coordinate cilindriche) e che quindi risulta tangente ad una circonferenza giacente su un piano perpendicolare al filo e centrata nel punto in cui il piano interseca il filo Proiezione di dr lungo u Il prodotto scalare, elemento di circuitazione di lungo la linea chiusa, dipende dall angolo piano sotto cui è vista la proiezione di lungo la direzione di Ne segue che : La circuitazione di estesa ad una linea chiusa è

31 Teorema di Ampère () Per il calcolo della circuitazione due casi possibili: si presentano a) Linea chiusa che concatena (*) il filo N.B. Il segno dipende dal fatto che l orientazione della linea chiusa sia legata al verso della corrente nel filo dalla regola della mano destra (pollice disteso nel verso della corrente, le altre dita piegate indicano l orientazione della linea chiusa) o sia opposta a questa (linea chiusa orientata in verso opposto a quello indicato dalle altre dita piegate della mano destra. b) Linea chiusa che non concatena (*) il filo Per ogni trattino di curva con proiezione lungo vista sotto un angolo c è un altro trattino con proiezione vista sotto un angolo (*) concatenare = girare intorno

32 Teorema di Ampère (3) Se la linea chiusa concatena più fili rettilinei percorsi dalle correnti I 1, I,..., I n che producono i campi magnetici B B B n, il campo magnetico nello spazio è dato da 1,,..., B B1 B... B n Ne segue che Ciascuna circuitazione vale 0 I k o zero a seconda che la linea concateni o no e con quale orientamento la corrente I k e, in conclusione, la circuitazione totale è espressa dalla Legge di Ampère somma delle correnti concatenate ciascuna presa con il segno opportuno secondo la regola precedentemente stabilita. La legge di Ampère, per quanto qui ricavata nel caso del campo magnetico prodotto da fili indefiniti, ha validità generale qualunque sia la forma del circuito percorso da corrente, ed è una proprietà fondamentale del campo prodotto da correnti stazionarie. Occorre osservare che il campo magnetico che compare nell integrale di linea è quello generato da tutte le correnti presenti però la sua circuitazione dipende solo dalle correnti concatenate.

33 Teorema di Ampère (4) La legge di Ampère B dr 0 Iconc può essere scritta in forma diversa esprimendo ciascuna corrente tramite la relativa densità di corrente. Allo scopo si prende una generica superficie S appoggiata alla linea lungo cui si esegue la circuitazione di B e orientata, rispetto all orientazione della linea, secondo la regola della mano destra. Dette S 1,, S k, le intersezioni dei fili conduttori con la superficie S si può scrivere e ciò è possibile inquanto ciascuna j è diversa da zero solo su dette intersezioni dove coincide con j1,, j k. Ciascun integrale a secondo membro non dipende dalla particolare sezione considerata se la corrente è stazionaria e coincide con la corrente che percorre il rispettivo filo. Di conseguenza si può scrivere

34 Applicazioni del Teorema di Ampère (1) La legge di Ampère costituisce un legame tra sorgenti e una forma integrale del campo analogo ( manon uguale!!) a quello fornito dalla legge di Gauss. Allo stesso modo, anche se in un contesto geometrico diverso, la legge di Ampère è utilizzabile per il calcolo esplicito del campo magnetico quando sono presenti particolari condizioni di simmetria. Conviene cercare in questo caso linee di integrazione lungo le quali il campo sia costante in modulo e orientato sempre allo stesso modo rispetto all elemento di linea (tipicamente tangente o normale) in modo che il calcolo dell integrale B d sia immediato. r Filo rettilineo indefinito Un filo rettilineo indefinito di raggio R è percorso da una corrente di intensità I e si vuole calcolare il campo magnetico in funzione della distanza r dall asse del filo. La simmetria assiale del problema indica che il modulo del campo magnetico può solo dipendere dalla distanza dall asse del filo, cioè B B r ; questo fatto, insieme alla direzione e al verso dati dalla Legge di Biot e Savart, dice che le linee del campo B sono circonferenze con centro sull asse del filo e poste in piani ortogonali al filo. Si devono distinguere due casi r>re r<r Per r>re per la legge di Ampère B dr I si ha B r r B I Per r<r(regione interna al filo) la corrente concatenata, nell ipotesi che la densità di corrente sia uniforme sulla sezione e valga Per cui dalla Legge di Ampère r B j r 0 0 conc r 0 I R j I r 0 d B I R 0 B 0 r R è I conc r j r I j r 0 I r R

35 Applicazioni del Teorema di Ampère () Solenoide e solenoide rettilineo indefinito Un solenoide si ottiene avvolgendo un filo molto lungo su un cilindro di solito circolare in modo che gli avvolgimenti (o spire) formino una bobina elicoidale la cui lunghezza, misurata sull asse del solenoide, è normalmente maggiore del diametro. Un solenoide viene solitamente individuato dal numero di spire per unità di lunghezza n= N / L 0,doveN èilnumero (a) (b) totale di spire del solenoide e L 0 la sua lunghezza. Passando da una singola spira (fig. (a)) ad un solenoide poco fitto (fig. (b)) a) all interno del solenoide i contributi di ciascuna spira tendono a rafforzarsi reciprocamente generando un campo approssimativamente uniforme e parallelo all asse del solenoide b) all esterno icontributidiognispiratendonoadelidersi eilcampochenerisultaè relativamente debole Queste tendenze diventano più pronunciate per un solenoide molto lungo con un avvolgimento molto fitto. Nel caso ideale la distribuzione di corrente nell avvolgimento è equivalente a uno strato cilindrico di corrente e il solenoide ha una lunghezza praticamente infinita. Il campo magnetico all interno del solenoide ideale è parallelo all asse, mentre il campo all esterno è nullo Si applica il Th. di Ampère

36 Forza agente fra conduttori percorsi da corrente (1) Dati due lunghi fili paralleli percorsi dalle correnti I 1 e I eseparatida una distanza R piccola rispetto alla lunghezza dei fili (approssimazione di fili infinitamente lunghi), la forza magnetica che si esercita su un segmento di lunghezza l del filo percorso dalla corrente I 1 può essere considerata come un effetto del campo prodotto dalla corrente I che fluisce nell altro filo. Il campo di induzione magnetica B prodotto dalla corrente I nella posizione del filo percorso dalla corrente I 1 ha la direzione in figura e la sua intensità è (campo di un lungofilorettilineo) 0 I B R La forza F, dovuta a questo campo, che agisce sull elemento di corrente I 1 è F I e la sua direzione è mostrata in figura. La sua intensità è 1 B F I 1 B Sostituendo il valore di B sopra trovato si ottiene l intensità della forza esercitata dalla corrente I,che percorre un lungo filo rettilineo, su un tratto di lunghezza l di un filo parallelo percorso da una corrente I 1 : F 0 I1 I R Un analoga analisi mostra che questa equazione è valida anche per l intensità della forza agente su un tratto di lunghezza l del filo percorso dalla corrente I mentre la direzione della forza agente sul filo è opposta alla direzione della forza che agisce sul filo 1, cioè i fili si attraggono. Seifilisonopercorsidacorrentichehannoversiopposti l intensità della forza èla stessa ma la direzione della forza è opposta, ifilicioèsi respingono.

37 Forza agente fra conduttori percorsi da corrente () In conclusione : la formula per l intensità della forza fra due lunghi fili percorsi da corrente è sempre la stessa indipendentemente dai versi relativi delle correnti nei due fili : tuttavia se i versi sono concordi la forza è attrattiva mentre se i versi sono opposti la forza è repulsiva. Se entrambe le correnti hanno un intensità di 1Ae se i fili sono alla distanza di 1m, l intensità della forza agente su un segmento lungo 1m di ciascun filo è F A 1A 1m m 10 Questa relazione viene utilizzata per definire l Ampère (A), unità di misura dell intensità della corrente elettrica, in termini delle grandezze meccaniche forza e lunghezza (l intensità di corrente viene comunque presa come grandezza fondamentale e non derivata) L Ampère (A) è l intensità di corrente che passando in due lunghi (idealmente infiniti) fili rettilinei e paralleli, posti a una distanza di 1 m, genera tra i fili una forza per unità di lunghezza di x10-7 N/m Di conseguenza L unità di misura della carica, il Coulomb (C) è definita come la quantità di carica che attraversa in 1suna sezione di un conduttore percorso da una corrente costante di 1 Ampère : (1C) = (1A) (1s) Nota: Questa scelta di definire prima l unità di intensità di corrente e poi quella della carica è motivata dal fatto che la forza magnetica può essere misurata più facilmente della forza elettrica fra cariche note (o ricorrendo alla carica depositata in un fenomeno di elettrolisi). N

38 Ulteriori proprieta` del Campo Magnetico (I) Visualizzando mediante limatura di ferro le linee di forza di un campo magnetico in vicinanza di un magnete rettilineo si osserva che queste hanno la stessa configurazione geometrica delle line di forza del campo elettrico generato da un dipolo elettrico. Alternativamente si puo` fare una mappa del campo magnetico utilizzando un ago magnetico abbastanza piccolo affinche` il campo non varii in modo sensibile lungo la sua lunghezza cosi` da compiere una misura effettivamente puntuale e non mediata. La proprieta` piu` caratteristica delle linee di forza del campo elettrostatico di partire e terminare sulle cariche sorgenti non puo` essere estesa al campo magnetico: da questo punto di vista le linee di forza dei due campi sono intrinsecamente diverse. Infatti per spiegare le azioni fra magneti bisogna pensare che in ogni atomo o molecola devono esistere delle correnti microscopiche locali dette correnti molecolari di Ampere o correnti amperiane. E` chiaro quindi che sia le masse magnetiche sia la loro unione sotto forma di dipolo magnetico non hanno realta` fisica: si ricorre ai dipoli solo per rappresentare il modo con cui si manifestano le interazioni magnetiche. Si consideri una superficie S che racchiude al suo interno un magnete o anche parte di questo: l equivalenza fra le correnti microscopiche e i dipoli magnetici (Principio di Equivalenza di Ampere) comporta che all interno di una superficie S sia contenuto sempre un numero intero di dipoli: una qualsiasi superficie non puo` mai tagliare uno di questi ipotetici dipoli elementari. D altra parte il campo magnetico da` luogo ad * * q1 q una forza fra i componenti dei dipoli che ha la forma F km con una dipendenza r dall inverso del quadrato della distanza fra i poli che e` stata la condizione necessaria e sufficiente per formulare la Legge di Gauss per il campo elettrico.

39 Ulteriori proprieta` del Campo Magnetico (II) A causa della struttura dipolare la somma delle masse magnetiche e` sempre nulla per cui per il campo magnetico deve valere S B nˆ d S 0 Il flusso del campo magnetico attraverso una qualsiasi superficie chiusa e` sempre nullo E`importante osservare che il campo magnetico B e` quello prodotto da tutte le sorgenti, interne o esterne a S (le sorgenti esterne danno per definizione flusso nullo attraverso S). Malgrado la formula sopra sia stata dimostrata con riferimento ad un magnete, essa e` vera in generale e costituisce una delle proprieta` fondamentali del campo magnetico e costituisce una delle Equazioni di Maxwell dell elettromagnetismo in forma integrale. Per questa proprieta` si dice che il campo magnetico B e` solenoidale. Una conseguenza della formula sopra e` che, presa una superficie chiusa, per ogni linea di forza entrante, deve esserci una linea di forza uscente: diversamente il flusso attraverso la superficie chiusa sarebbe diverso da zero. Questa considerazione, insieme alla non esistenza delle masse magnetiche isolate e di dipoli magnetici reali porta alla conclusione che le linee di forza del campo magnetico B sono linee chiuse senza inizio ne` fine.