METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n

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1 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Lezione n

2 GLI INSIEMI NUMERICI N Numeri naturali Z : Numeri interi Q : Numeri razionali R : Numeri reali

3 Q A meno di isomorfismi!!! R 5 π Digitare l'equazione qui N Z

4 I NUMERI NATURALI

5 IL CONCETTO DI SUCCESSIVO Il fulcro della consapevolezza numerica dei bambini è la successione dei vocaboli numerali che: - inizia da un numero particolare: uno - dopo ogni numero c è sempre un altro numero - nel contare non si torna mai indietro Ciò è espresso con il concetto di «passaggio al successivo»

6 Da conquistare 1) il successivo di n è n+1 (cioè passare al successivo equivale ad aggiungere 1) 2) I numeri naturali sono infiniti N.B.: Il meccanismo dell aggiungere uno è legato ragionamento per ricorrenza, con il quale una proprietà può essere estesa da un caso particolare all altro.

7 I Naturali e l ordinamento Comunque presi due numeri naturali m e n, può accadere soltanto una delle tre possibilità: n < m oppure n = m oppure n > m (Legge di Tricotomia) È sempre possibile quindi confrontare due qualunque numeri naturali!!

8 LE OPERAZIONI DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

9 ADDIZIONE Che vuol dire a + b? Sommare ad a tante unità quante sono quelle contenute in b E necessario quindi l aspetto cardinale del numero, cioè la consapevolezza che il numero b esprime una numerosità, ma anche il ragionamento per ricorrenza, cioè aggiungere 1 b volte

10 I termini dell addizione 18+ addendo 13= addendo 31 Somma

11 PROPRIETÀ DELL ADDIZIONE È una operazione interna: m, n N, m + n N Ciò vuol dire che l operazione somma ha sempre un risultato tra i naturali Vale la proprietà associativa: m, n, p N, m + n + p = m + (n + p) Tale proprietà permette di estendere l operazione somma a più addendi senza doversi preoccupare dell ordine con cui vengono eseguite le operazioni Vale la proprietà commutativa: m, n N, m + n = n + m Neutralità dello 0: n N, n + 0 = 0 + n = n Tale proprietà evidenzia la prima funzione dello 0 nelle operazioni

12 In molti testi si trovano le proprietà enunciate nel seguente modo:

13 Ricordiamo Rivediamo le proprietà dell uguaglianza: Proprietà riflessiva: a = a Proprietà simmetrica: a = b b = a Proprietà transitiva: a = b e b = c a = c N.B.: la proprietà simmetrica fa si che io possa leggere una uguaglianza in entrambi i sensi Es: (12+5)+7=17+7 perciò 17+7=(12+5)+7 quindi: Non esiste la proprietà dissociativa!!!!!!

14 SOTTRAZIONE Che vuol dire a b? Si può vedere in due modi: (1)Togliere ad a tante unità quante sono quelle contenute in b (2)Trovare quel numero c che sommato a b da come risultato a L espressione (1) presenta una procedura con cui eseguire l operazione L espressione (2) presenta la sottrazione come operazione inversa dell addizione.

15 I termini della sottrazione 65 - minuendo 31 = sottraendo 34 differenza

16 Proprietà la sottrazione non è una operazione interna all insieme dei numeri naturali: è possibile associare un risultato solo se a b (requisito necessario: saper riconoscere il maggiore tra due numeri) Non vale la proprietà commutativa Non vale la proprietà associativa Es.: (15-7)-5 15-(7-5) Vale la proprietà invariantiva: la differenza tra due numeri non cambia se ad entrambi si addiziona o si sottrae lo stesso numero. a b = a + c (b + c)

17 Le proprietà delle operazioni e il calcolo mentale 55+27=55+(20+7)= (55+20)+7=75+7=82 Quali proprietà abbiamo applicato? In ogni passaggio (escluso l ultimo) sempre la proprietà associativa 55+27= = (50+20)+(5+7)=70+12=82 In questo caso proprietà associativa e proprietà commutativa = (125-25)-(75-25)=100-50=50 Qui è applicata la proprietà invariantiva

18 Con attenzione possiamo coinvolgere insieme addizione e sottrazione: 33+49=33+(50-1)=(33+50)-1=83-1= 82 Di fatto abbiamo applicato la proprietà associativa anche in presenza della sottrazione. Perché è possibile?

19 LE OPERAZIONI DI MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE

20 Moltiplicazione Solitamente la moltiplicazione viene presentate come addizione ripetuta. m n = m + m + + m n volte In questo caso i due numeri hanno un ruolo diverso: il simbolo m mantiene il ruolo di numero, mentre n è un aggettivo numerale cardinale (riferito a volte ). Anche i nomi assegnati ai due numeri evidenziano quanto sopra affermato

21 I termini della moltiplicazione

22 Si può rappresentare la moltiplicazione anche in un altro modo, che fa si che entrambi i fattori assumano lo stesso ruolo. Vediamolo con un esempio: colonne 5 colonne 5 righe 4 righe Come si può vedere, in questo modo è più facile riconoscere la proprietà commutativa

23 Proprietà della moltiplicazione È una operazione interna: Vale la proprietà associativa: m, n N, m n N m, n, p N, Vale la proprietà commutativa: m, n N, Neutralità dell 1: n N, m n p = m (n p) m n = n m n 1 = 1 n = n 0 è elemento assorbente: n N, n 0 = 0 la seconda funzione dello 0 nelle operazioni

24 Il legame tra addizione e moltiplicazione è la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma In formula: a (b + c) = a b + a c Usando la proprietà commutativa, si può anche scrivere: (b + c) a = b a + c a 24

25 Osservazioni 1 1) Già nella scrittura della relazione sono necessarie le parentesi, per indicare qual è l ordine delle operazioni. Per esempio: a (b + c) a b + c 3 (7 + 5) = = = = novembre 2013 R. Manara 25

26 Osservazioni 2 2) Infatti, il ruolo delle due operazioni non è simmetrico: non c è modo di distribuire la somma sul prodotto. (a b) + c (a c) + (b c) 16 novembre 2013 R. Manara 26

27 Osservazioni 3 3) Leggendo la proprietà da destra a sinistra, si individua la proprietà del raccoglimento : a (b + c) = a b + a c (2) 16 novembre 2013 R. Manara 27

28 Le due letture operative (1) a ( b + c) = a b + a c Per moltiplicare un numero per una somma, si moltiplica quel numero per ciascun addendo e si sommano i risultati. (2) a b + a c = a (b + c) Una somma di prodotti in cui ogni addendo presenta lo stesso fattore (fattore comune), si può trasformare nel prodotto di quel fattore per la somma dei fattori restanti in ogni addendo. 16 novembre 2013 R. Manara 28

29 Osservazioni 4 4) Vale anche la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla differenza: (b c) a = b a - c a 16 novembre 2013 R. Manara 29

30 Ancora un po di calcolo mentale = = = (proprietà...) = = (proprietà ) = = = = (proprietà..) = = 425 (proprietà....) Oppure: = = = =

31 Concetto di Multiplo Il numero a si dice multiplo di b se esiste un numero c tale che: a = b c Dato un qualunque numero n, i suoi multipli sono tutti i numeri che si ottengono moltiplicando n per i vari numeri naturali. Per esempio, se il numero assegnato è 3, i suoi multipli sono: 3 0=0, 3 1=3, 3 2=6, 3 3=9,, 3 10=30,, 3 25=75, Quanti sono? Evidentemente tanti quanti sono i numeri naturali. 0 è multiplo di qualsiasi numero I multipli di 2 si chiamano numeri pari Se un numero non è pari allora si dice dispari

32 LA DIVISIONE non è una operazione interna all insieme dei numeri naturali: all operazione a: b è possibile associare un risultato solo se a è multiplo di b Non vale la proprietà commutativa Non vale la proprietà associativa: 12: 4 : 3 è possibile 12: 4: 3 non è possibile

33 Proprietà della divisione Neutralità dell 1 n N n: 1 = n Comportamento dello 0: - n N 0: n = 0 -non è possibile la divisione per 0 infatti non esiste un m N tale che 0 m = n Vale la proprietà invariantiva m: n = m p : n p = m: c : (n: c) Vale la proprietà distributiva della divisione rispetto all addizione o sottrazione (quando le operazioni sono possibili) m ± n : p = (m: p) ± (n: p)

34 Il concetto di Divisore Il numero b si dice divisore di a se esiste un numero c tale che: a = b c Ogni numero è divisore di se stesso 1 è divisore di ciascun numero I divisori di un numero sono sempre in numero finito: quanti sono?

35 I Numeri primi Un numero che ammette come divisori solo se stesso e l unità si dice primo Se un numero non è primo si dice composto 0 e 1 non sono né primi né composti I numeri primi sono infiniti: la prima dimostrazione la dobbiamo a Euclide La distribuzione dei numeri primi all interno dei naturali non ha una apparente regolarità. Oggi i numeri primi sono molto utilizzati in crittografia

36 Criteri di divisibilità un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra pari (0,2,4,6,8) un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3 un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4 un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5 un numero è divisibile per 6 se è divisibile sia per 2 che per 3 un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9 un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0

37 La Divisione con il resto Dati due qualunque numeri naturali a e b (b 0), esistono sempre, e sono unici, due numeri q ed r tali che: a = b q + r Ciò vuol dire che la divisione con il resto è sempre possibile. N.B.1: il resto è sempre minore del divisore, cioè 0 r < b N.B.2: La divisione con resto può essere vista come una generalizzazione della divisione