Tecniche di Ordinamento dei Vettori

Transcript

1 Tecniche di Ordinamento dei Vettori Corso di Laurea Ingegneria Corso B A.A

2 Contenuto 1) Generalità 2) Metodi a Minimo Ingombro di Memoria 2.1) Ordinamento per selezione ( Selection Sort ) 2.2) Ordinamento per scambio ( Exchange Sort ) 2.3) Ordinamento per gorgogliamento ( Bubble Sort ) 2.4) Ordinamento per fusione e scambio ( Shell Sort ) Corso di Laurea Ingegneria Corso B A.A

3 1) Generalità Il motivo fondamentale per cui ha interesse effettuare l ordinamento di un insieme di informazioni è quello di facilitare le operazioni di ricerca, infatti il tempo di ricerca di un informazione in un insieme ad accesso diretto non ordinato e proporzionale al numero n delle informazioni, mentre se l insieme è ordinato è proporzionale a log n. Il problema dell ordinamento si può porre nei termini di organizzare le informazioni nell ordine crescente o decrescente dei valori assunti dai singoli elementi. Molti metodi si basano su operazioni di confronto e comparazione degli elementi. Nessuna tecnica di ordinamento è in assoluto la migliore, i metodi più veloci sono i più complessi da programmare e non efficienti per piccole liste di elementi. La scelta del metodo dipende quindi dai fattori : - lunghezza della lista - relazione della lunghezza della lista e spazio di memoria disponibile per l ordinamento - distribuzione dei valori degli elementi - grado di ordinamento della lista. Verranno descritte nel seguito le caratteristiche salienti delle fondamentali tecniche di ordinamento. 2) Metodi a Minimo Ingombro di Memoria I metodi illustrati in questo capitolo sono detti a minimo ingombro di memoria poiché non richiedono vettori addizionali per effettuare l ordinamento. In pratica gli elementi che si trovano in un certo vettore A devono essere ordinati nel vettore A medesimo. Le operazioni tipiche di questi metodi sono quelle di comparazione e scambio di elementi; essi di differenziano per i relativi campi di applicazione, in particolare i primi tre metodi che verranno di seguito descritti vengono applicati quando il numero degli elementi da ordinare è abbastanza ridotto (ad esempio dell ordine della decina), mentre il quarto metodo descritto si adattano a vettori relativamente lunghi. 2.1) Ordinamento per Selezione ( Selection Sort ) L ordinamento per selezione è il metodo più facile da comprendere ma è anche quello meno efficiente; lo si utilizzerà come metodo di paragone con gli altri metodi in termini di efficienza. Dato un vettore A [ a 1, a 2, a 3,., a n ], si seleziona il più piccolo elemento a m, del vettore stesso, questo elemento viene scambiato con a 1 : n a m = min ii i =1 a i a 1 Viene quindi scelto il più piccolo tra i rimanenti n-1 elementi e scambiato con a 2 : [ a 2, a 3, a 4,., a n ] a 2 = a i per i = m Corso di Laurea Ingegneria Corso B A.A

4 n a m = min ii i = 2 a i a 2 e così via. Al termine dell algoritmo il vettore A è ordinato in senso crescente. Evidentemente il metodo richiede n-1 iterazioni ed al passo i, n-i comparazioni; pertanto il numero totale di comparazione è dato da : n-1 i=1 (n-i) = n(n-1)/2 Il diagramma di flusso dell algoritmo è riportato in Fig. 1, si osservi che durante un iterazione (ciclo in J) viene tenuta in MIN la posizione dell elemento più piccolo del vettore e soltanto alla fine dell iterazione in J viene effettuato lo scambio tra a i e a min questo consente, in generale, di ridurre il numero di scambi effettuati ad un valore pari ad n-1. Fig. 1 Algoritmo di Ordinamento per Selezione 2.2) Ordinamento per Scambio ( Exchange Sort ) Questo metodo non differisce sostanzialmente da quello visto nel paragrafo precedente. Nel primo passo vengono comparati elementi adiacenti del vettore A [ a 1, a 2, a 3,., a n ] a i : : a i+1 per i = 1, 2, 3, n-1 e vengono scambiati se a i > a i+1. Questa prima iterazione porta il più grande elemento in posizione A n ed il valore A n non verrà più esaminato nelle successive comparazioni. Nel secondo passo viene posto il più grande fra i primi n-1 elementi in A n-1 e così via. Il procedimento termina anticipatamente se in un passo non è stato effettuato alcuno scambio; questo ovviamente riduce in alcuni casi il numero di comparazioni al di sotto del valore (1/2) n (n-1). In particolare se i dati sono già ordinati questo metodo richiede solo n-1 comparazioni, se invece i dati sono in ordine inverso vengono richiesti n(n+1)/2 comparazioni e scambi come nel peggiore metodo di ordinamento per Corso di Laurea Ingegneria Corso B A.A

5 selezione (come nell esempio precedente visto in figura 1 dove gli scambi sono programmati nel ciclo interno). Si riporta in Fig. 2 il diagramma di flusso dell algoritmo Ordinamento per scambio Fig. 2 Algoritmo di Ordinamento per Scambio 2.3) Ordinamento per Gorgogliamento ( Bubble Sort ) Questa tecnica è una variante del metodo esposto nel paragrafo precedente e consente in alcuni casi di migliorarne l efficienza. Gli elementi del vettore sono al solito comparati a coppie adiacenti; se una coppia deve essere scambiata poiché a i > a i+1, l elemento che è stato mosso verso l inizio del vettore a i, è ancora comparato con quello precedente e se a i-1 > a i viene effettuato un ulteriore scambio fino a che l elemento stesso ha trovato il suo posto nel vettore; con un linguaggio espressivo si può dire che l elemento che occupava il posto A i+1 se più leggero di a i Viene fatto gorgogliare nel vettore fino a trovare un elemento più leggero dei esso. Con questo metodo sarà quindi necessario effettuare una sola interazione tra i dati. Nella Fig. 3 viene riportata una esemplificazione di quanto esposto. Corso di Laurea Ingegneria Corso B A.A

6 Fig. 3 Esempio del metodo di gorgogliamento ( Con l indicazione. vengono indicati gli elementi comparati, con le frecce quelli scambiati ) In questo metodo vi saranno al massimo n-1 comparazioni più che scambi; se gli elementi sono già in ordine il numero degli scambi è zero, se l ordine è inverso il numero degli scambi è quello massimo ed è pari a n(n-1)/2. In media il numero degli scambi è pari a n(n-1)/4. Nelle Figure 4 e 5 sono mostrate due implementazioni dell algoritmo di ordinamento per gorgogliamento Fig. 4 Algoritmo di Ordinamento per Gorgogliamento L algoritmo di Fig. 4 può essere migliorato se l elemento da far gorgogliare è posto in una locazione di comodo e la locazione libera risultante è propagata verso la testa del vettore fino raggiungere la posizione effettiva dell elemento; in tal caso non occorrerà effettuare nel ciclo di gorgogliamento degli scambi ma solo degli slittamenti di posto. In Fig. 5 è mostrato il diagramma di flusso che implementa questa variante ed in particolare con GLUGLU si è indicato l elemento che potrebbe gorgogliare verso la testa del vettore. Il diagramma di flusso di Fig. 5 minimizza il numero delle istruzioni ma non il tempo di esecuzione ( il lettore diligente è invitato ad ipotizzare una soluzione alternativa che migliori il tempo di esecuzione del programma ). Corso di Laurea Ingegneria Corso B A.A

7 Fig. 5 Algoritmo di Ordinamento per Gorgogliamento 2.4) Ordinamento per Fusione e Scambio ( Shell Sort ) I metodi descritti nei paragrafi precedenti sono adatti per piccoli valori di n, ad esempio nell ordine della decina; in questo paragrafo viene descritto un metodo adatto per lunghe liste di numeri ( ad esempio n = 1000 ) il quale accoppia alla velocità di esecuzione, il vantaggio dei metodi precedenti e cioè una minima richiesta di spazio addizionale di memoria. Si supponga che A [ a 1, a 2, a 3,., a n ] Sia il vettore di n elementi da ordinare. Nel primo passo del procedimento sono ordinati per gorgogliamento elementi ad una fissata distanza d 1 < n cioè a i : : a i+d1 per i = 1, 2, 3, n- d 1 nel secondo passo elementi a distanza d 2 < d 1 e così via fino a d m = 1. L i-esimo passo di ordinamento è quindi effettuato come nel metodo del gorgogliamento solo che invece di comparare elementi adiacenti vengono comparati elementi a distanza d 1. Una valutazione conveniente dei valori d i può essere effettuata con la formula d 0 = 2 log 2 n d i = (d i-1-1) / 2 1 =1,2,3, m-1 d m = 1 (la notazione log 2 n si indica il piu piccolo intero non minore di x) In generale si può dire che il tempo di esecuzione cresce più rapidamente di n ma meno di nlogn Nella figura 6 è riportato il diagramma di flusso dove si è programmato, per semplicità, le interazioni del metodo del gorgogliamento come riportato in Fig. 4 Corso di Laurea Ingegneria Corso B A.A

8 Fig. 1 Algoritmo di Ordinamento per Fusione e Scambio Corso di Laurea Ingegneria Corso B A.A